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        淺析中考數(shù)學(xué)壓軸題解題技巧

        2014-11-14 04:39:30原歡春
        教育界·上旬 2014年10期
        關(guān)鍵詞:技巧

        原歡春

        【摘 要】 初中數(shù)學(xué)的教育應(yīng)該從學(xué)生的接受能力角度出發(fā),將題目以規(guī)律形式表現(xiàn)出來,讓學(xué)生能有一套自己的解題思路和解題方法。

        【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)中考 解題規(guī)律 技巧

        一、初中數(shù)學(xué)中考的復(fù)習(xí)方案與知識點(diǎn)的串聯(lián)

        根據(jù)山東省歷年中考的實(shí)際情況來看,數(shù)學(xué)考試的知識點(diǎn)分散較大??季V雖然明確提出的有148個(gè)考點(diǎn),但是許多考點(diǎn)的考查都是通過知識的串聯(lián)進(jìn)行的,有些考點(diǎn)甚至只是作為隱形考點(diǎn)加以考查。

        二、以實(shí)例探討中考考題的解題技巧以及解題思想的建立

        例題(山東省) 如圖1所示,已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)。

        (1)求二次函數(shù)y = ax2+bx+c的具體表達(dá)式并標(biāo)明圖象的對稱軸;

        (2)現(xiàn)假設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q分別從B點(diǎn)和O點(diǎn)出發(fā),以每秒0.1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動。其中P點(diǎn)沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動,Q點(diǎn)從O點(diǎn)沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動,當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)也立即停止運(yùn)動,設(shè)最終運(yùn)動總時(shí)間為t(s)。

        ①要想讓四邊形ABPQ正好為等腰梯形,那么t應(yīng)該取何值?

        ②假設(shè)PQ與對稱軸交于一點(diǎn)M,過M點(diǎn)作x軸的平行線與AB相交,并設(shè)其交點(diǎn)為N,若假設(shè)S四邊形ANPQ=S,請求出面積S與時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式和t的取值范圍;并求出當(dāng)t為何值時(shí),S取最值(可以為最大值和最小值)。

        解:具體分析如圖2所示。

        (1)由于二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過C(0,-3),可以得出c=-3,

        再將點(diǎn)A與點(diǎn)B的值帶入就得到了關(guān)于a,b的二元一次方程組,解之可得:a=1 ;b=-2。

        二次函數(shù)的表達(dá)式為:y = x2-2x-3。

        注:第一問的解答并不算難,應(yīng)該要求所有學(xué)生掌握。但是對于這種簡單的計(jì)算,要讓學(xué)生們注意,不能因?yàn)橐粫r(shí)馬虎而算錯(cuò)數(shù)據(jù)。而在這個(gè)簡單的解題之下,包含了哪些內(nèi)容呢?首先,考查的是函數(shù)的定義,以及二元一次方程的計(jì)算。

        (2)①由題意可得:BP=OQ=0.1t,

        由于點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等,所以BC//OA。

        過點(diǎn)B,P分別作垂線BD,PE,垂足為D,E。

        題目中要求算出四邊形ABPQ為等腰梯形時(shí)t的值 (利用這一條件找等式),只有當(dāng)PQ=AB時(shí)可以實(shí)現(xiàn),

        即 QE=AD=1,

        QE=OE-OQ=2-0.2t=1,

        t=5,也就是當(dāng)t為5時(shí),四邊形ABPQ成等腰梯形。

        注:這是第二問的解答,可以看得出來,這一題的設(shè)計(jì)十分巧妙,將幾何與解析幾何聯(lián)系在一起出題。當(dāng)學(xué)生看到等腰梯形時(shí),應(yīng)該首先想到等腰梯形的性質(zhì),并根據(jù)題目所給的條件看看是否能構(gòu)造等式。在本題中,這個(gè)等式的構(gòu)造就是等腰梯形的兩個(gè)腰相等。這就是正確的解題思路,當(dāng)學(xué)生看到這個(gè)題目直接考慮腰相等而建立等式時(shí),就已經(jīng)解開了大半了。根據(jù)筆者的系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn),近些年來中考的發(fā)展趨勢主要面向?qū)W生的空間思考能力和動手能力。

        ②先設(shè)對稱軸與BC的交點(diǎn)為F,并設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G。

        此時(shí)可以看出對稱軸x=1垂直平分線段BC,也就可以得出: BF=CF=OG=1。

        又因?yàn)锽P=OQ。

        所以PF=OG。

        再因?yàn)椤螾MF=∠QMG,可以推出△MFP≌△MGQ。

        所以MF=MG。

        由條件可得:S=S四邊形ABPQ-S△BPN=S四邊形ABFG-S△BPN

        而S四邊形ABFG= ,S△BPN= t。

        所以S= - t.

        又因?yàn)?BC=2,OA=3,

        所以點(diǎn)P運(yùn)動到C點(diǎn)需要20秒,也就是t的取值范圍是0≤t≤20。

        那么當(dāng)t=20時(shí)取最小值S=3。

        注:第三問的難度稍大,但只要細(xì)心也能做得出來,第三問對題目的探索最多,對知識點(diǎn)的應(yīng)用也最多。具體來看,第三問設(shè)計(jì)的最大值與最小值的求解,必定會出現(xiàn)取值范圍的應(yīng)用,否則無法判定最大值和最小值,所以當(dāng)學(xué)生看到第三問時(shí),首先能想到利用取值范圍解題就可能會直接尋找t的取值,以及t和面積S的具體關(guān)系,也就找到了解題的思路。

        結(jié)束語

        綜合題目的分析能極大程度地串聯(lián)不同章節(jié)的知識,也就是說分析綜合題是提升學(xué)生解題技巧的方法之一。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1] 解婉貞.圓“滿”的結(jié)局——談數(shù)學(xué)中考圓運(yùn)動的動態(tài)問題之一[J].考試周刊,2012(80):3-5.

        [2] 唐煌.談數(shù)學(xué)中考綜合題的解答[J].初中生輔導(dǎo),2012(18):9-18.

        [3] 趙桂芳.數(shù)學(xué)中考備考策略[J].基礎(chǔ)教育論壇,2012(8):11-12.endprint

        【摘 要】 初中數(shù)學(xué)的教育應(yīng)該從學(xué)生的接受能力角度出發(fā),將題目以規(guī)律形式表現(xiàn)出來,讓學(xué)生能有一套自己的解題思路和解題方法。

        【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)中考 解題規(guī)律 技巧

        一、初中數(shù)學(xué)中考的復(fù)習(xí)方案與知識點(diǎn)的串聯(lián)

        根據(jù)山東省歷年中考的實(shí)際情況來看,數(shù)學(xué)考試的知識點(diǎn)分散較大??季V雖然明確提出的有148個(gè)考點(diǎn),但是許多考點(diǎn)的考查都是通過知識的串聯(lián)進(jìn)行的,有些考點(diǎn)甚至只是作為隱形考點(diǎn)加以考查。

        二、以實(shí)例探討中考考題的解題技巧以及解題思想的建立

        例題(山東省) 如圖1所示,已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)。

        (1)求二次函數(shù)y = ax2+bx+c的具體表達(dá)式并標(biāo)明圖象的對稱軸;

        (2)現(xiàn)假設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q分別從B點(diǎn)和O點(diǎn)出發(fā),以每秒0.1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動。其中P點(diǎn)沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動,Q點(diǎn)從O點(diǎn)沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動,當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)也立即停止運(yùn)動,設(shè)最終運(yùn)動總時(shí)間為t(s)。

        ①要想讓四邊形ABPQ正好為等腰梯形,那么t應(yīng)該取何值?

        ②假設(shè)PQ與對稱軸交于一點(diǎn)M,過M點(diǎn)作x軸的平行線與AB相交,并設(shè)其交點(diǎn)為N,若假設(shè)S四邊形ANPQ=S,請求出面積S與時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式和t的取值范圍;并求出當(dāng)t為何值時(shí),S取最值(可以為最大值和最小值)。

        解:具體分析如圖2所示。

        (1)由于二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過C(0,-3),可以得出c=-3,

        再將點(diǎn)A與點(diǎn)B的值帶入就得到了關(guān)于a,b的二元一次方程組,解之可得:a=1 ;b=-2。

        二次函數(shù)的表達(dá)式為:y = x2-2x-3。

        注:第一問的解答并不算難,應(yīng)該要求所有學(xué)生掌握。但是對于這種簡單的計(jì)算,要讓學(xué)生們注意,不能因?yàn)橐粫r(shí)馬虎而算錯(cuò)數(shù)據(jù)。而在這個(gè)簡單的解題之下,包含了哪些內(nèi)容呢?首先,考查的是函數(shù)的定義,以及二元一次方程的計(jì)算。

        (2)①由題意可得:BP=OQ=0.1t,

        由于點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等,所以BC//OA。

        過點(diǎn)B,P分別作垂線BD,PE,垂足為D,E。

        題目中要求算出四邊形ABPQ為等腰梯形時(shí)t的值 (利用這一條件找等式),只有當(dāng)PQ=AB時(shí)可以實(shí)現(xiàn),

        即 QE=AD=1,

        QE=OE-OQ=2-0.2t=1,

        t=5,也就是當(dāng)t為5時(shí),四邊形ABPQ成等腰梯形。

        注:這是第二問的解答,可以看得出來,這一題的設(shè)計(jì)十分巧妙,將幾何與解析幾何聯(lián)系在一起出題。當(dāng)學(xué)生看到等腰梯形時(shí),應(yīng)該首先想到等腰梯形的性質(zhì),并根據(jù)題目所給的條件看看是否能構(gòu)造等式。在本題中,這個(gè)等式的構(gòu)造就是等腰梯形的兩個(gè)腰相等。這就是正確的解題思路,當(dāng)學(xué)生看到這個(gè)題目直接考慮腰相等而建立等式時(shí),就已經(jīng)解開了大半了。根據(jù)筆者的系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn),近些年來中考的發(fā)展趨勢主要面向?qū)W生的空間思考能力和動手能力。

        ②先設(shè)對稱軸與BC的交點(diǎn)為F,并設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G。

        此時(shí)可以看出對稱軸x=1垂直平分線段BC,也就可以得出: BF=CF=OG=1。

        又因?yàn)锽P=OQ。

        所以PF=OG。

        再因?yàn)椤螾MF=∠QMG,可以推出△MFP≌△MGQ。

        所以MF=MG。

        由條件可得:S=S四邊形ABPQ-S△BPN=S四邊形ABFG-S△BPN

        而S四邊形ABFG= ,S△BPN= t。

        所以S= - t.

        又因?yàn)?BC=2,OA=3,

        所以點(diǎn)P運(yùn)動到C點(diǎn)需要20秒,也就是t的取值范圍是0≤t≤20。

        那么當(dāng)t=20時(shí)取最小值S=3。

        注:第三問的難度稍大,但只要細(xì)心也能做得出來,第三問對題目的探索最多,對知識點(diǎn)的應(yīng)用也最多。具體來看,第三問設(shè)計(jì)的最大值與最小值的求解,必定會出現(xiàn)取值范圍的應(yīng)用,否則無法判定最大值和最小值,所以當(dāng)學(xué)生看到第三問時(shí),首先能想到利用取值范圍解題就可能會直接尋找t的取值,以及t和面積S的具體關(guān)系,也就找到了解題的思路。

        結(jié)束語

        綜合題目的分析能極大程度地串聯(lián)不同章節(jié)的知識,也就是說分析綜合題是提升學(xué)生解題技巧的方法之一。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1] 解婉貞.圓“滿”的結(jié)局——談數(shù)學(xué)中考圓運(yùn)動的動態(tài)問題之一[J].考試周刊,2012(80):3-5.

        [2] 唐煌.談數(shù)學(xué)中考綜合題的解答[J].初中生輔導(dǎo),2012(18):9-18.

        [3] 趙桂芳.數(shù)學(xué)中考備考策略[J].基礎(chǔ)教育論壇,2012(8):11-12.endprint

        【摘 要】 初中數(shù)學(xué)的教育應(yīng)該從學(xué)生的接受能力角度出發(fā),將題目以規(guī)律形式表現(xiàn)出來,讓學(xué)生能有一套自己的解題思路和解題方法。

        【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)中考 解題規(guī)律 技巧

        一、初中數(shù)學(xué)中考的復(fù)習(xí)方案與知識點(diǎn)的串聯(lián)

        根據(jù)山東省歷年中考的實(shí)際情況來看,數(shù)學(xué)考試的知識點(diǎn)分散較大。考綱雖然明確提出的有148個(gè)考點(diǎn),但是許多考點(diǎn)的考查都是通過知識的串聯(lián)進(jìn)行的,有些考點(diǎn)甚至只是作為隱形考點(diǎn)加以考查。

        二、以實(shí)例探討中考考題的解題技巧以及解題思想的建立

        例題(山東?。?如圖1所示,已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)。

        (1)求二次函數(shù)y = ax2+bx+c的具體表達(dá)式并標(biāo)明圖象的對稱軸;

        (2)現(xiàn)假設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q分別從B點(diǎn)和O點(diǎn)出發(fā),以每秒0.1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動。其中P點(diǎn)沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動,Q點(diǎn)從O點(diǎn)沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動,當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)也立即停止運(yùn)動,設(shè)最終運(yùn)動總時(shí)間為t(s)。

        ①要想讓四邊形ABPQ正好為等腰梯形,那么t應(yīng)該取何值?

        ②假設(shè)PQ與對稱軸交于一點(diǎn)M,過M點(diǎn)作x軸的平行線與AB相交,并設(shè)其交點(diǎn)為N,若假設(shè)S四邊形ANPQ=S,請求出面積S與時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式和t的取值范圍;并求出當(dāng)t為何值時(shí),S取最值(可以為最大值和最小值)。

        解:具體分析如圖2所示。

        (1)由于二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象經(jīng)過C(0,-3),可以得出c=-3,

        再將點(diǎn)A與點(diǎn)B的值帶入就得到了關(guān)于a,b的二元一次方程組,解之可得:a=1 ;b=-2。

        二次函數(shù)的表達(dá)式為:y = x2-2x-3。

        注:第一問的解答并不算難,應(yīng)該要求所有學(xué)生掌握。但是對于這種簡單的計(jì)算,要讓學(xué)生們注意,不能因?yàn)橐粫r(shí)馬虎而算錯(cuò)數(shù)據(jù)。而在這個(gè)簡單的解題之下,包含了哪些內(nèi)容呢?首先,考查的是函數(shù)的定義,以及二元一次方程的計(jì)算。

        (2)①由題意可得:BP=OQ=0.1t,

        由于點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等,所以BC//OA。

        過點(diǎn)B,P分別作垂線BD,PE,垂足為D,E。

        題目中要求算出四邊形ABPQ為等腰梯形時(shí)t的值 (利用這一條件找等式),只有當(dāng)PQ=AB時(shí)可以實(shí)現(xiàn),

        即 QE=AD=1,

        QE=OE-OQ=2-0.2t=1,

        t=5,也就是當(dāng)t為5時(shí),四邊形ABPQ成等腰梯形。

        注:這是第二問的解答,可以看得出來,這一題的設(shè)計(jì)十分巧妙,將幾何與解析幾何聯(lián)系在一起出題。當(dāng)學(xué)生看到等腰梯形時(shí),應(yīng)該首先想到等腰梯形的性質(zhì),并根據(jù)題目所給的條件看看是否能構(gòu)造等式。在本題中,這個(gè)等式的構(gòu)造就是等腰梯形的兩個(gè)腰相等。這就是正確的解題思路,當(dāng)學(xué)生看到這個(gè)題目直接考慮腰相等而建立等式時(shí),就已經(jīng)解開了大半了。根據(jù)筆者的系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn),近些年來中考的發(fā)展趨勢主要面向?qū)W生的空間思考能力和動手能力。

        ②先設(shè)對稱軸與BC的交點(diǎn)為F,并設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G。

        此時(shí)可以看出對稱軸x=1垂直平分線段BC,也就可以得出: BF=CF=OG=1。

        又因?yàn)锽P=OQ。

        所以PF=OG。

        再因?yàn)椤螾MF=∠QMG,可以推出△MFP≌△MGQ。

        所以MF=MG。

        由條件可得:S=S四邊形ABPQ-S△BPN=S四邊形ABFG-S△BPN

        而S四邊形ABFG= ,S△BPN= t。

        所以S= - t.

        又因?yàn)?BC=2,OA=3,

        所以點(diǎn)P運(yùn)動到C點(diǎn)需要20秒,也就是t的取值范圍是0≤t≤20。

        那么當(dāng)t=20時(shí)取最小值S=3。

        注:第三問的難度稍大,但只要細(xì)心也能做得出來,第三問對題目的探索最多,對知識點(diǎn)的應(yīng)用也最多。具體來看,第三問設(shè)計(jì)的最大值與最小值的求解,必定會出現(xiàn)取值范圍的應(yīng)用,否則無法判定最大值和最小值,所以當(dāng)學(xué)生看到第三問時(shí),首先能想到利用取值范圍解題就可能會直接尋找t的取值,以及t和面積S的具體關(guān)系,也就找到了解題的思路。

        結(jié)束語

        綜合題目的分析能極大程度地串聯(lián)不同章節(jié)的知識,也就是說分析綜合題是提升學(xué)生解題技巧的方法之一。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1] 解婉貞.圓“滿”的結(jié)局——談數(shù)學(xué)中考圓運(yùn)動的動態(tài)問題之一[J].考試周刊,2012(80):3-5.

        [2] 唐煌.談數(shù)學(xué)中考綜合題的解答[J].初中生輔導(dǎo),2012(18):9-18.

        [3] 趙桂芳.數(shù)學(xué)中考備考策略[J].基礎(chǔ)教育論壇,2012(8):11-12.endprint

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