李尤發(fā)++張更容++尚晶

摘 要：揭示了微積分教學(xué)中出現(xiàn)的幾個難點問題，并給出相應(yīng)的解決辦法。

關(guān)鍵詞：微積分 教學(xué)難點 極限定義 作業(yè)抄襲 學(xué)習(xí)積極性 題海戰(zhàn)術(shù)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（b）-0191-01

作者于2013年9月至2014年1月?lián)瘟私?jīng)管類專業(yè)的微積分教學(xué)工作，總結(jié)了教學(xué)過程中出現(xiàn)的一些問題以及提出了相應(yīng)的解決辦法。

第一，有很多學(xué)生在中學(xué)階段的知識準(zhǔn)備難以快速適應(yīng)微積分學(xué)習(xí)的要求。微積分的核心內(nèi)容是極限，極限定義又是在該門課程中最難理解的內(nèi)容之一。極限定義具體劃分有數(shù)列的定義和函數(shù)的定義。學(xué)生理解該定義的困難在于的任意性以及、的相對確定性。此時，教師需要用通俗易懂的語言解釋之，是表示數(shù)列項（或者函數(shù)值）與極限的接近程度，想有多少接近程度都可以，對于預(yù)先給定的接近程度，數(shù)列從某一項開始，所有的項與極限值的距離小于接近程度。對于函數(shù)極限，對給定的接近程度，總存在正數(shù)，只要，都有。此外，一個難點就是，基于直角坐標(biāo)系來計算二重積分的問題。這方面，需要給學(xué)生講解兩種類型的區(qū)域：-型區(qū)域和-型區(qū)域。積分區(qū)域D稱為-型區(qū)域，如果≤≤ ≤≤，反之，積分區(qū)域D稱為-型區(qū)域，如果≤≤≤≤，還有一種積分區(qū)域是混合型的，就是通過分割后，得到若個-型區(qū)域和-型區(qū)域的并。

第二，學(xué)生作業(yè)抄襲的現(xiàn)象較嚴(yán)重。互聯(lián)網(wǎng)是把雙刃劍，在給我們工作、學(xué)習(xí)、生活帶來諸多便捷的同時，也對教學(xué)環(huán)節(jié)尤其是課后作業(yè)完成質(zhì)量提出了挑戰(zhàn)?？梢赃@么說，只要教材上出現(xiàn)的習(xí)題，都能在網(wǎng)上找到解題過程。這給部分學(xué)生作業(yè)抄襲提供了一個誘因。解決該問題的一個行之有效方法，布置的作業(yè)不在教材課后習(xí)題上，也不參考習(xí)題冊。而是由教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，自適應(yīng)地布置題目。該方法有兩個明顯的益處：首先，學(xué)生找不到參考答案，只能獨立完成作業(yè)。其次，所布置的作業(yè)具有較強(qiáng)針對性。另外，也需要轉(zhuǎn)變作業(yè)的批改方式。一些簡單的作業(yè)，可以隨堂完成。為了進(jìn)一步防堵學(xué)生之間的相互抄襲，課后作業(yè)，可先由課代表、班長等先查閱是否存在抄襲現(xiàn)象，這方面需要做好記錄以便給出期末總評成績部分的平時成績。

第三，提高學(xué)生積極性。由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，造成許多學(xué)生感覺十分枯燥。數(shù)學(xué)本身是來自于生產(chǎn)實踐，學(xué)生之所以感覺到枯燥，主要是體會不到數(shù)學(xué)在實踐中的應(yīng)用。為了解決這個問題，作者經(jīng)常要求學(xué)生用Matlab編程實現(xiàn)微積分的一些定理結(jié)論、定義等。例如：積分的定義分四大塊思想：分割、近似、求和以及求極限。以上四大思想的要掌握的兩個關(guān)鍵點是：（1） 對區(qū)間的分割時任意的，也就是說，不管是等距離加分點還是隨機(jī)加分點，只要使得區(qū)間被分得越來細(xì)，當(dāng)然，其中一個問題是，如何刻畫區(qū)間被細(xì)分的程度。（2）近似的方法也可以多種多樣，只要是每個小曲邊梯形的面積用一個小矩形代替即可。作者要求學(xué)生編程求函數(shù)的積分，對不同的區(qū)間分割方法和面積近似方法，當(dāng)區(qū)間被充分細(xì)分時候，得到的求和值漸進(jìn)相等。平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積計算以及最大利潤問題也是微積分中理論與實際的很好結(jié)合點。作者在針對經(jīng)管類的特點，尤其注重最大利潤問題，該問題設(shè)計到的知識點有：需求與供給函數(shù)，成本、收益與利潤函數(shù)，庫存函數(shù)，區(qū)間上函數(shù)的最值求解等。

第四，由于受到高中應(yīng)試教育的影響，有部分學(xué)生認(rèn)為學(xué)好微積分等同于題海戰(zhàn)術(shù)。其實，學(xué)好數(shù)學(xué)離不開一定量習(xí)題的練習(xí)，但是，多做練習(xí)絕不等于題海戰(zhàn)術(shù)，更加不是不考慮效率的情況下，進(jìn)行大量的甚至是重復(fù)性的練習(xí)。具有這種心態(tài)的學(xué)生，往往那些急于求成，錯誤地認(rèn)為只要我多做練習(xí)就可以達(dá)到某種結(jié)果。因為這種人的急功近利導(dǎo)致了他不追求質(zhì)量只注重數(shù)量。當(dāng)然這種題海戰(zhàn)術(shù)的效果是微乎其微的，也可以說是只是在浪費(fèi)時間。所以，很多教師甚至一些名師明確反對沒有效率的題海戰(zhàn)術(shù)，它的最大弊端是消耗時間過多。然而，學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)必須通過一定量的習(xí)題訓(xùn)練，因為這是一個逐漸累積經(jīng)驗以及鞏固所學(xué)的過程。

第五，正確處理課件與板書的關(guān)系。課件具有如下的優(yōu)點：內(nèi)容編排相對整齊美觀，有條理性，還有就是節(jié)省了板書時間，加上課件文字、圖像、聲音等各種信息的綜合，有利于吸引學(xué)生的注意力。然而，數(shù)學(xué)本身十分注重邏輯推理過程，如果只是在課件各頁之間來回切換，往往會打碎學(xué)生的邏輯性，尤其是一些定理的證明。因此，教師要適當(dāng)處理好課件與板書的關(guān)系，對于一些與邏輯推理關(guān)系不大的部分，例如，題目或者是一些較為簡單的定義、記號等，用課件演示就可以了，但是涉及到證明、復(fù)雜計算等一定要板書講解。

參考文獻(xiàn)

[1] 段復(fù)建.微積分[M].科學(xué)出版社，2009.

[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時）（第三版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時）（第三版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[5] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[6] 徐晨，趙瑞珍，甘小冰.小波分析·應(yīng)用算法[M].科學(xué)出版社，2004.

[7] 潘文杰.傅里葉分析及其應(yīng)用[M].北京大學(xué)出版社，2000.endprint

摘 要：揭示了微積分教學(xué)中出現(xiàn)的幾個難點問題，并給出相應(yīng)的解決辦法。

關(guān)鍵詞：微積分 教學(xué)難點 極限定義 作業(yè)抄襲 學(xué)習(xí)積極性 題海戰(zhàn)術(shù)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（b）-0191-01

作者于2013年9月至2014年1月?lián)瘟私?jīng)管類專業(yè)的微積分教學(xué)工作，總結(jié)了教學(xué)過程中出現(xiàn)的一些問題以及提出了相應(yīng)的解決辦法。

第一，有很多學(xué)生在中學(xué)階段的知識準(zhǔn)備難以快速適應(yīng)微積分學(xué)習(xí)的要求。微積分的核心內(nèi)容是極限，極限定義又是在該門課程中最難理解的內(nèi)容之一。極限定義具體劃分有數(shù)列的定義和函數(shù)的定義。學(xué)生理解該定義的困難在于的任意性以及、的相對確定性。此時，教師需要用通俗易懂的語言解釋之，是表示數(shù)列項（或者函數(shù)值）與極限的接近程度，想有多少接近程度都可以，對于預(yù)先給定的接近程度，數(shù)列從某一項開始，所有的項與極限值的距離小于接近程度。對于函數(shù)極限，對給定的接近程度，總存在正數(shù)，只要，都有。此外，一個難點就是，基于直角坐標(biāo)系來計算二重積分的問題。這方面，需要給學(xué)生講解兩種類型的區(qū)域：-型區(qū)域和-型區(qū)域。積分區(qū)域D稱為-型區(qū)域，如果≤≤ ≤≤，反之，積分區(qū)域D稱為-型區(qū)域，如果≤≤≤≤，還有一種積分區(qū)域是混合型的，就是通過分割后，得到若個-型區(qū)域和-型區(qū)域的并。

第二，學(xué)生作業(yè)抄襲的現(xiàn)象較嚴(yán)重?；ヂ?lián)網(wǎng)是把雙刃劍，在給我們工作、學(xué)習(xí)、生活帶來諸多便捷的同時，也對教學(xué)環(huán)節(jié)尤其是課后作業(yè)完成質(zhì)量提出了挑戰(zhàn)。可以這么說，只要教材上出現(xiàn)的習(xí)題，都能在網(wǎng)上找到解題過程。這給部分學(xué)生作業(yè)抄襲提供了一個誘因。解決該問題的一個行之有效方法，布置的作業(yè)不在教材課后習(xí)題上，也不參考習(xí)題冊。而是由教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，自適應(yīng)地布置題目。該方法有兩個明顯的益處：首先，學(xué)生找不到參考答案，只能獨立完成作業(yè)。其次，所布置的作業(yè)具有較強(qiáng)針對性。另外，也需要轉(zhuǎn)變作業(yè)的批改方式。一些簡單的作業(yè)，可以隨堂完成。為了進(jìn)一步防堵學(xué)生之間的相互抄襲，課后作業(yè)，可先由課代表、班長等先查閱是否存在抄襲現(xiàn)象，這方面需要做好記錄以便給出期末總評成績部分的平時成績。

第三，提高學(xué)生積極性。由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，造成許多學(xué)生感覺十分枯燥。數(shù)學(xué)本身是來自于生產(chǎn)實踐，學(xué)生之所以感覺到枯燥，主要是體會不到數(shù)學(xué)在實踐中的應(yīng)用。為了解決這個問題，作者經(jīng)常要求學(xué)生用Matlab編程實現(xiàn)微積分的一些定理結(jié)論、定義等。例如：積分的定義分四大塊思想：分割、近似、求和以及求極限。以上四大思想的要掌握的兩個關(guān)鍵點是：（1） 對區(qū)間的分割時任意的，也就是說，不管是等距離加分點還是隨機(jī)加分點，只要使得區(qū)間被分得越來細(xì)，當(dāng)然，其中一個問題是，如何刻畫區(qū)間被細(xì)分的程度。（2）近似的方法也可以多種多樣，只要是每個小曲邊梯形的面積用一個小矩形代替即可。作者要求學(xué)生編程求函數(shù)的積分，對不同的區(qū)間分割方法和面積近似方法，當(dāng)區(qū)間被充分細(xì)分時候，得到的求和值漸進(jìn)相等。平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積計算以及最大利潤問題也是微積分中理論與實際的很好結(jié)合點。作者在針對經(jīng)管類的特點，尤其注重最大利潤問題，該問題設(shè)計到的知識點有：需求與供給函數(shù)，成本、收益與利潤函數(shù)，庫存函數(shù)，區(qū)間上函數(shù)的最值求解等。

第四，由于受到高中應(yīng)試教育的影響，有部分學(xué)生認(rèn)為學(xué)好微積分等同于題海戰(zhàn)術(shù)。其實，學(xué)好數(shù)學(xué)離不開一定量習(xí)題的練習(xí)，但是，多做練習(xí)絕不等于題海戰(zhàn)術(shù)，更加不是不考慮效率的情況下，進(jìn)行大量的甚至是重復(fù)性的練習(xí)。具有這種心態(tài)的學(xué)生，往往那些急于求成，錯誤地認(rèn)為只要我多做練習(xí)就可以達(dá)到某種結(jié)果。因為這種人的急功近利導(dǎo)致了他不追求質(zhì)量只注重數(shù)量。當(dāng)然這種題海戰(zhàn)術(shù)的效果是微乎其微的，也可以說是只是在浪費(fèi)時間。所以，很多教師甚至一些名師明確反對沒有效率的題海戰(zhàn)術(shù)，它的最大弊端是消耗時間過多。然而，學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)必須通過一定量的習(xí)題訓(xùn)練，因為這是一個逐漸累積經(jīng)驗以及鞏固所學(xué)的過程。

第五，正確處理課件與板書的關(guān)系。課件具有如下的優(yōu)點：內(nèi)容編排相對整齊美觀，有條理性，還有就是節(jié)省了板書時間，加上課件文字、圖像、聲音等各種信息的綜合，有利于吸引學(xué)生的注意力。然而，數(shù)學(xué)本身十分注重邏輯推理過程，如果只是在課件各頁之間來回切換，往往會打碎學(xué)生的邏輯性，尤其是一些定理的證明。因此，教師要適當(dāng)處理好課件與板書的關(guān)系，對于一些與邏輯推理關(guān)系不大的部分，例如，題目或者是一些較為簡單的定義、記號等，用課件演示就可以了，但是涉及到證明、復(fù)雜計算等一定要板書講解。

參考文獻(xiàn)

[1] 段復(fù)建.微積分[M].科學(xué)出版社，2009.

[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時）（第三版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時）（第三版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[5] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[6] 徐晨，趙瑞珍，甘小冰.小波分析·應(yīng)用算法[M].科學(xué)出版社，2004.

[7] 潘文杰.傅里葉分析及其應(yīng)用[M].北京大學(xué)出版社，2000.endprint

摘 要：揭示了微積分教學(xué)中出現(xiàn)的幾個難點問題，并給出相應(yīng)的解決辦法。

關(guān)鍵詞：微積分 教學(xué)難點 極限定義 作業(yè)抄襲 學(xué)習(xí)積極性 題海戰(zhàn)術(shù)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（b）-0191-01

作者于2013年9月至2014年1月?lián)瘟私?jīng)管類專業(yè)的微積分教學(xué)工作，總結(jié)了教學(xué)過程中出現(xiàn)的一些問題以及提出了相應(yīng)的解決辦法。

第一，有很多學(xué)生在中學(xué)階段的知識準(zhǔn)備難以快速適應(yīng)微積分學(xué)習(xí)的要求。微積分的核心內(nèi)容是極限，極限定義又是在該門課程中最難理解的內(nèi)容之一。極限定義具體劃分有數(shù)列的定義和函數(shù)的定義。學(xué)生理解該定義的困難在于的任意性以及、的相對確定性。此時，教師需要用通俗易懂的語言解釋之，是表示數(shù)列項（或者函數(shù)值）與極限的接近程度，想有多少接近程度都可以，對于預(yù)先給定的接近程度，數(shù)列從某一項開始，所有的項與極限值的距離小于接近程度。對于函數(shù)極限，對給定的接近程度，總存在正數(shù)，只要，都有。此外，一個難點就是，基于直角坐標(biāo)系來計算二重積分的問題。這方面，需要給學(xué)生講解兩種類型的區(qū)域：-型區(qū)域和-型區(qū)域。積分區(qū)域D稱為-型區(qū)域，如果≤≤ ≤≤，反之，積分區(qū)域D稱為-型區(qū)域，如果≤≤≤≤，還有一種積分區(qū)域是混合型的，就是通過分割后，得到若個-型區(qū)域和-型區(qū)域的并。

第二，學(xué)生作業(yè)抄襲的現(xiàn)象較嚴(yán)重?；ヂ?lián)網(wǎng)是把雙刃劍，在給我們工作、學(xué)習(xí)、生活帶來諸多便捷的同時，也對教學(xué)環(huán)節(jié)尤其是課后作業(yè)完成質(zhì)量提出了挑戰(zhàn)?？梢赃@么說，只要教材上出現(xiàn)的習(xí)題，都能在網(wǎng)上找到解題過程。這給部分學(xué)生作業(yè)抄襲提供了一個誘因。解決該問題的一個行之有效方法，布置的作業(yè)不在教材課后習(xí)題上，也不參考習(xí)題冊。而是由教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，自適應(yīng)地布置題目。該方法有兩個明顯的益處：首先，學(xué)生找不到參考答案，只能獨立完成作業(yè)。其次，所布置的作業(yè)具有較強(qiáng)針對性。另外，也需要轉(zhuǎn)變作業(yè)的批改方式。一些簡單的作業(yè)，可以隨堂完成。為了進(jìn)一步防堵學(xué)生之間的相互抄襲，課后作業(yè)，可先由課代表、班長等先查閱是否存在抄襲現(xiàn)象，這方面需要做好記錄以便給出期末總評成績部分的平時成績。

第三，提高學(xué)生積極性。由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，造成許多學(xué)生感覺十分枯燥。數(shù)學(xué)本身是來自于生產(chǎn)實踐，學(xué)生之所以感覺到枯燥，主要是體會不到數(shù)學(xué)在實踐中的應(yīng)用。為了解決這個問題，作者經(jīng)常要求學(xué)生用Matlab編程實現(xiàn)微積分的一些定理結(jié)論、定義等。例如：積分的定義分四大塊思想：分割、近似、求和以及求極限。以上四大思想的要掌握的兩個關(guān)鍵點是：（1） 對區(qū)間的分割時任意的，也就是說，不管是等距離加分點還是隨機(jī)加分點，只要使得區(qū)間被分得越來細(xì)，當(dāng)然，其中一個問題是，如何刻畫區(qū)間被細(xì)分的程度。（2）近似的方法也可以多種多樣，只要是每個小曲邊梯形的面積用一個小矩形代替即可。作者要求學(xué)生編程求函數(shù)的積分，對不同的區(qū)間分割方法和面積近似方法，當(dāng)區(qū)間被充分細(xì)分時候，得到的求和值漸進(jìn)相等。平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積計算以及最大利潤問題也是微積分中理論與實際的很好結(jié)合點。作者在針對經(jīng)管類的特點，尤其注重最大利潤問題，該問題設(shè)計到的知識點有：需求與供給函數(shù)，成本、收益與利潤函數(shù)，庫存函數(shù)，區(qū)間上函數(shù)的最值求解等。

第四，由于受到高中應(yīng)試教育的影響，有部分學(xué)生認(rèn)為學(xué)好微積分等同于題海戰(zhàn)術(shù)。其實，學(xué)好數(shù)學(xué)離不開一定量習(xí)題的練習(xí)，但是，多做練習(xí)絕不等于題海戰(zhàn)術(shù)，更加不是不考慮效率的情況下，進(jìn)行大量的甚至是重復(fù)性的練習(xí)。具有這種心態(tài)的學(xué)生，往往那些急于求成，錯誤地認(rèn)為只要我多做練習(xí)就可以達(dá)到某種結(jié)果。因為這種人的急功近利導(dǎo)致了他不追求質(zhì)量只注重數(shù)量。當(dāng)然這種題海戰(zhàn)術(shù)的效果是微乎其微的，也可以說是只是在浪費(fèi)時間。所以，很多教師甚至一些名師明確反對沒有效率的題海戰(zhàn)術(shù)，它的最大弊端是消耗時間過多。然而，學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)必須通過一定量的習(xí)題訓(xùn)練，因為這是一個逐漸累積經(jīng)驗以及鞏固所學(xué)的過程。

第五，正確處理課件與板書的關(guān)系。課件具有如下的優(yōu)點：內(nèi)容編排相對整齊美觀，有條理性，還有就是節(jié)省了板書時間，加上課件文字、圖像、聲音等各種信息的綜合，有利于吸引學(xué)生的注意力。然而，數(shù)學(xué)本身十分注重邏輯推理過程，如果只是在課件各頁之間來回切換，往往會打碎學(xué)生的邏輯性，尤其是一些定理的證明。因此，教師要適當(dāng)處理好課件與板書的關(guān)系，對于一些與邏輯推理關(guān)系不大的部分，例如，題目或者是一些較為簡單的定義、記號等，用課件演示就可以了，但是涉及到證明、復(fù)雜計算等一定要板書講解。

參考文獻(xiàn)

[1] 段復(fù)建.微積分[M].科學(xué)出版社，2009.

[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時）（第三版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時）（第三版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）上冊[M].高等教育出版社，2007.

[5] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）下冊[M].高等教育出版社，2007.

[6] 徐晨，趙瑞珍，甘小冰.小波分析·應(yīng)用算法[M].科學(xué)出版社，2004.

[7] 潘文杰.傅里葉分析及其應(yīng)用[M].北京大學(xué)出版社，2000.endprint