摘 要：光滑粒子動(dòng)力學(xué)（SPH）方法是一種純無(wú)網(wǎng)格粒子方法，目前已廣泛應(yīng)用于非牛頓流體流動(dòng)問(wèn)題。該文在探討了光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法應(yīng)用于非牛頓流體流動(dòng)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，分析了該方法數(shù)值模擬中存在精度低和張力不穩(wěn)定的問(wèn)題及產(chǎn)生原因，并提出了相應(yīng)的解決方案。

關(guān)鍵詞：光滑粒子動(dòng)力學(xué) 非牛頓 數(shù)值模擬 張力不穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O35 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）07（a）-0250-02

1 光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法應(yīng)用簡(jiǎn)介

光滑粒子動(dòng)力學(xué)（Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH）方法是一種基于Lagrange描述的純無(wú)網(wǎng)格粒子方法。它不需要使用任何網(wǎng)格，而是將連續(xù)體離散成有限個(gè)粒子，這些粒子攜帶所有物理量（密度、壓力、速度、溫度等）的信息。其次通過(guò)核函數(shù)將連續(xù)介質(zhì)的控制方程轉(zhuǎn)化為積分形式。這樣整個(gè)流場(chǎng)變成了一系列粒子的表達(dá)，每個(gè)粒子的物理量都由周圍粒子的物理量插值得到。

SPH方法最初由Lucy[1]、Gingold和Monaghan[2]提出并用于求解三維開(kāi)放空間天體物理問(wèn)題。1994年，Monaghan[3]首次將SPH方法用于自由表面流的數(shù)值模擬。隨后，許多學(xué)者運(yùn)用SPH方法對(duì)牛頓流體的自由表面流動(dòng)問(wèn)題[4-5]進(jìn)行了模擬研究，大大推動(dòng)了SPH方法在流體力學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。目前，SPH方法在聚合物自由面方面的研究也取得了一定進(jìn)展。2005年，Ellero和Tanner[6]運(yùn)用SPH方法模擬了低Reynolds數(shù)下粘彈性熔體剪切流動(dòng)問(wèn)題。2007年、2008年Rafiee[6]運(yùn)用SPH方法模擬了非牛頓熔體的自由表面流問(wèn)題。上述研究均是對(duì)簡(jiǎn)單流動(dòng)進(jìn)行研究。2006年，F(xiàn)ang等人[6]首次采用SPH方法研究了粘彈性液滴落到剛性固壁上的復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題，討論了SPH方法中的人工應(yīng)力參數(shù)的選取。2012年，本文作者等[6]對(duì)傳統(tǒng)SPH方法進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上研究了聚合物自由面問(wèn)題。2010年，F(xiàn)an等人[6]首次運(yùn)用SPH方法研究了高粘性冪律流體的充模問(wèn)題。

總之，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，SPH方法在聚合物流動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

2 光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法中存在的缺點(diǎn)

與其他方法相比，SPH方法也是計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域中一種較新的數(shù)值方法。隨著應(yīng)用范圍越來(lái)越廣，SPH方法的一些缺點(diǎn)也逐漸顯現(xiàn)出來(lái)。SPH方法的缺點(diǎn)主要體現(xiàn)以下幾方面[4，7-8]。

2.1 數(shù)值精度低、穩(wěn)定性差

SPH方法在粒子分布均勻的區(qū)域內(nèi)具有二階精度，但在粒子分布不均勻區(qū)域或邊界處至多具有一階精度。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，SPH方法精度低的主要原因是：在粒子分布不均勻區(qū)域，某流體粒子影響域內(nèi)的粒子數(shù)比較少；而對(duì)于邊界附近，流體粒子的影響域被邊界截?cái)?，邊界外不存在粒子，從而出現(xiàn)比較嚴(yán)重的粒子缺失現(xiàn)象。而流動(dòng)過(guò)程中必然出現(xiàn)粒子分布不均勻的情況。提高SPH方法的精度成為促進(jìn)SPH方法進(jìn)一步發(fā)展的重要因素。

2.2 壓力振蕩嚴(yán)重

SPH方法雖然在模擬自由表面流動(dòng)問(wèn)題中具有優(yōu)勢(shì)，尤其是對(duì)于大變形問(wèn)題。然而，由SPH方法得到的壓力卻存在嚴(yán)重振蕩。這是因?yàn)椋撼松鲜鯯PH方法數(shù)值精度比較低的原因，另一個(gè)原因就是弱可壓SPH方法中始終采用壓力狀態(tài)方程來(lái)求解壓力。雖然有學(xué)者針對(duì)此問(wèn)題提出了改進(jìn)措施，如Colagrossi[6]采用密度初始化方法、耗散項(xiàng)方法等在一定程度上改善了壓力振蕩的情況，但是上述方法始終采用壓力狀態(tài)方程來(lái)求解壓力，無(wú)法從根本上解決壓力振蕩問(wèn)題。

2.3 存在張力不穩(wěn)定

張力不穩(wěn)定性或稱“拉伸不穩(wěn)定性”，該術(shù)語(yǔ)來(lái)源于傳統(tǒng)SPH方法求解固體力學(xué)中材料拉伸問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的一種非物理粒子簇集現(xiàn)象[7]。許多學(xué)者[6]在固體變形問(wèn)題的數(shù)值模擬中對(duì)其出現(xiàn)的原因進(jìn)行了研究和分析，但迄今為止關(guān)于張力不穩(wěn)定性產(chǎn)生的本質(zhì)原因沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的理論分析，也未能夠提出普遍應(yīng)用的克服方法。目前，應(yīng)用比較廣泛的克服張力不穩(wěn)定性的方法是Monaghan和Gray等人[6]提出的人工應(yīng)力法。

3 解決方案

上述SPH方法的缺點(diǎn)嚴(yán)重限制了SPH方法的推廣與發(fā)展。因此，對(duì)SPH方法的改進(jìn)有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

針對(duì)傳統(tǒng)SPH方法數(shù)值精度低的問(wèn)題，眾所周知，核函數(shù)在SPH方法中扮演著舉足輕重的角色。因此，本文借助Taylor展開(kāi)方法[4，8]，在核函數(shù)導(dǎo)數(shù)的左側(cè)乘以一個(gè)修正矩陣，且此修正矩陣中不需要求解核函數(shù)導(dǎo)數(shù)，以此來(lái)提高SPH方法的數(shù)值精度，即

針對(duì)壓力振蕩嚴(yán)重的問(wèn)題，本文考慮結(jié)合不可壓縮SPH方法和弱可壓SPH方法的優(yōu)點(diǎn)，借助于有限差分方法的思想，對(duì)壓力進(jìn)行迭代求解，直至求得的壓力計(jì)算得到的密度與初始密度的誤差在允許范圍之內(nèi)時(shí)，迭代終止。

針對(duì)張力不穩(wěn)定性問(wèn)題，本文根據(jù)Swegle等人[7]提出的張力不穩(wěn)定性結(jié)論，給出了一種容易施加的人工應(yīng)力方法，其具體離散形式為

其中，為一個(gè)正常數(shù)（），為流體的應(yīng)力張量分量，核函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)分量為。上述人工應(yīng)力方法離散的形式比已有的人工應(yīng)力形式簡(jiǎn)單，且同時(shí)考慮了拉伸與壓縮兩種情況引起的不穩(wěn)定。

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先對(duì)SPH方法應(yīng)用于聚合物流動(dòng)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了闡述，然后根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)及作者的數(shù)值模擬經(jīng)驗(yàn)分析了運(yùn)用SPH方法模擬聚合物流動(dòng)問(wèn)題時(shí)存在精度低和張力不穩(wěn)定性問(wèn)題及產(chǎn)生的原因，最后針對(duì)存在的問(wèn)題，提出了相應(yīng)的解決方案。

參考文獻(xiàn)

[1] L.B.Lucy.A numerical approach to the testing of the ssion hypothesis[J].Astronomical Journal，1977（83）：1013-1024.

[2] R.A.Gingold，J.J.Monaghan. Smoothed particle hydrodynamics theory and application to non-spherical stars[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，1977（181）：375-389.

[3] J.J. Monaghan.Simulating free surface ows with SPH[J].Journal of Computational Physics，1994（110）：399-406.

[4] G.R.Liu，M.B.Liu.Smoothed Particle Hydrodynamics：A Mesh-free Particle Method[M].Singapore：World Scientific，2003.

[5] 劉謀斌，常建忠.光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法中粒子分布與數(shù)值穩(wěn)定性分析[J].物理學(xué)報(bào)，2010（59）：3654-3662.

[6] 蔣濤.聚合物自由面問(wèn)題的修正對(duì)稱SPH方法模擬研究[D].博士研究生學(xué)位論文，西安：西北工業(yè)大學(xué)，2012.

[7] J.Swegle，W.D.L.Hicks， S.W.Attaway.Smooth particle hydrodynamics stability analysis[J].Journal of Computational Physics，1995， （116）：123-134.

[8] Jiang T，Ouyang J，Ren J，Yang B，Xu X.A mixed corrected symmetric SPH（MC-SSPH）method for computational dynamic problems[J].Computer Physics Communications，2012（183）：50-62.endprint

摘 要：光滑粒子動(dòng)力學(xué)（SPH）方法是一種純無(wú)網(wǎng)格粒子方法，目前已廣泛應(yīng)用于非牛頓流體流動(dòng)問(wèn)題。該文在探討了光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法應(yīng)用于非牛頓流體流動(dòng)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，分析了該方法數(shù)值模擬中存在精度低和張力不穩(wěn)定的問(wèn)題及產(chǎn)生原因，并提出了相應(yīng)的解決方案。

關(guān)鍵詞：光滑粒子動(dòng)力學(xué) 非牛頓 數(shù)值模擬 張力不穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O35 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）07（a）-0250-02

1 光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法應(yīng)用簡(jiǎn)介

光滑粒子動(dòng)力學(xué)（Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH）方法是一種基于Lagrange描述的純無(wú)網(wǎng)格粒子方法。它不需要使用任何網(wǎng)格，而是將連續(xù)體離散成有限個(gè)粒子，這些粒子攜帶所有物理量（密度、壓力、速度、溫度等）的信息。其次通過(guò)核函數(shù)將連續(xù)介質(zhì)的控制方程轉(zhuǎn)化為積分形式。這樣整個(gè)流場(chǎng)變成了一系列粒子的表達(dá)，每個(gè)粒子的物理量都由周圍粒子的物理量插值得到。

SPH方法最初由Lucy[1]、Gingold和Monaghan[2]提出并用于求解三維開(kāi)放空間天體物理問(wèn)題。1994年，Monaghan[3]首次將SPH方法用于自由表面流的數(shù)值模擬。隨后，許多學(xué)者運(yùn)用SPH方法對(duì)牛頓流體的自由表面流動(dòng)問(wèn)題[4-5]進(jìn)行了模擬研究，大大推動(dòng)了SPH方法在流體力學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。目前，SPH方法在聚合物自由面方面的研究也取得了一定進(jìn)展。2005年，Ellero和Tanner[6]運(yùn)用SPH方法模擬了低Reynolds數(shù)下粘彈性熔體剪切流動(dòng)問(wèn)題。2007年、2008年Rafiee[6]運(yùn)用SPH方法模擬了非牛頓熔體的自由表面流問(wèn)題。上述研究均是對(duì)簡(jiǎn)單流動(dòng)進(jìn)行研究。2006年，F(xiàn)ang等人[6]首次采用SPH方法研究了粘彈性液滴落到剛性固壁上的復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題，討論了SPH方法中的人工應(yīng)力參數(shù)的選取。2012年，本文作者等[6]對(duì)傳統(tǒng)SPH方法進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上研究了聚合物自由面問(wèn)題。2010年，F(xiàn)an等人[6]首次運(yùn)用SPH方法研究了高粘性冪律流體的充模問(wèn)題。

總之，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，SPH方法在聚合物流動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

2 光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法中存在的缺點(diǎn)

與其他方法相比，SPH方法也是計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域中一種較新的數(shù)值方法。隨著應(yīng)用范圍越來(lái)越廣，SPH方法的一些缺點(diǎn)也逐漸顯現(xiàn)出來(lái)。SPH方法的缺點(diǎn)主要體現(xiàn)以下幾方面[4，7-8]。

2.1 數(shù)值精度低、穩(wěn)定性差

SPH方法在粒子分布均勻的區(qū)域內(nèi)具有二階精度，但在粒子分布不均勻區(qū)域或邊界處至多具有一階精度。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，SPH方法精度低的主要原因是：在粒子分布不均勻區(qū)域，某流體粒子影響域內(nèi)的粒子數(shù)比較少；而對(duì)于邊界附近，流體粒子的影響域被邊界截?cái)?，邊界外不存在粒子，從而出現(xiàn)比較嚴(yán)重的粒子缺失現(xiàn)象。而流動(dòng)過(guò)程中必然出現(xiàn)粒子分布不均勻的情況。提高SPH方法的精度成為促進(jìn)SPH方法進(jìn)一步發(fā)展的重要因素。

2.2 壓力振蕩嚴(yán)重

SPH方法雖然在模擬自由表面流動(dòng)問(wèn)題中具有優(yōu)勢(shì)，尤其是對(duì)于大變形問(wèn)題。然而，由SPH方法得到的壓力卻存在嚴(yán)重振蕩。這是因?yàn)椋撼松鲜鯯PH方法數(shù)值精度比較低的原因，另一個(gè)原因就是弱可壓SPH方法中始終采用壓力狀態(tài)方程來(lái)求解壓力。雖然有學(xué)者針對(duì)此問(wèn)題提出了改進(jìn)措施，如Colagrossi[6]采用密度初始化方法、耗散項(xiàng)方法等在一定程度上改善了壓力振蕩的情況，但是上述方法始終采用壓力狀態(tài)方程來(lái)求解壓力，無(wú)法從根本上解決壓力振蕩問(wèn)題。

2.3 存在張力不穩(wěn)定

張力不穩(wěn)定性或稱“拉伸不穩(wěn)定性”，該術(shù)語(yǔ)來(lái)源于傳統(tǒng)SPH方法求解固體力學(xué)中材料拉伸問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的一種非物理粒子簇集現(xiàn)象[7]。許多學(xué)者[6]在固體變形問(wèn)題的數(shù)值模擬中對(duì)其出現(xiàn)的原因進(jìn)行了研究和分析，但迄今為止關(guān)于張力不穩(wěn)定性產(chǎn)生的本質(zhì)原因沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的理論分析，也未能夠提出普遍應(yīng)用的克服方法。目前，應(yīng)用比較廣泛的克服張力不穩(wěn)定性的方法是Monaghan和Gray等人[6]提出的人工應(yīng)力法。

3 解決方案

上述SPH方法的缺點(diǎn)嚴(yán)重限制了SPH方法的推廣與發(fā)展。因此，對(duì)SPH方法的改進(jìn)有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

針對(duì)傳統(tǒng)SPH方法數(shù)值精度低的問(wèn)題，眾所周知，核函數(shù)在SPH方法中扮演著舉足輕重的角色。因此，本文借助Taylor展開(kāi)方法[4，8]，在核函數(shù)導(dǎo)數(shù)的左側(cè)乘以一個(gè)修正矩陣，且此修正矩陣中不需要求解核函數(shù)導(dǎo)數(shù)，以此來(lái)提高SPH方法的數(shù)值精度，即

針對(duì)壓力振蕩嚴(yán)重的問(wèn)題，本文考慮結(jié)合不可壓縮SPH方法和弱可壓SPH方法的優(yōu)點(diǎn)，借助于有限差分方法的思想，對(duì)壓力進(jìn)行迭代求解，直至求得的壓力計(jì)算得到的密度與初始密度的誤差在允許范圍之內(nèi)時(shí)，迭代終止。

針對(duì)張力不穩(wěn)定性問(wèn)題，本文根據(jù)Swegle等人[7]提出的張力不穩(wěn)定性結(jié)論，給出了一種容易施加的人工應(yīng)力方法，其具體離散形式為

其中，為一個(gè)正常數(shù)（），為流體的應(yīng)力張量分量，核函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)分量為。上述人工應(yīng)力方法離散的形式比已有的人工應(yīng)力形式簡(jiǎn)單，且同時(shí)考慮了拉伸與壓縮兩種情況引起的不穩(wěn)定。

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先對(duì)SPH方法應(yīng)用于聚合物流動(dòng)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了闡述，然后根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)及作者的數(shù)值模擬經(jīng)驗(yàn)分析了運(yùn)用SPH方法模擬聚合物流動(dòng)問(wèn)題時(shí)存在精度低和張力不穩(wěn)定性問(wèn)題及產(chǎn)生的原因，最后針對(duì)存在的問(wèn)題，提出了相應(yīng)的解決方案。

參考文獻(xiàn)

[1] L.B.Lucy.A numerical approach to the testing of the ssion hypothesis[J].Astronomical Journal，1977（83）：1013-1024.

[2] R.A.Gingold，J.J.Monaghan. Smoothed particle hydrodynamics theory and application to non-spherical stars[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，1977（181）：375-389.

[3] J.J. Monaghan.Simulating free surface ows with SPH[J].Journal of Computational Physics，1994（110）：399-406.

[4] G.R.Liu，M.B.Liu.Smoothed Particle Hydrodynamics：A Mesh-free Particle Method[M].Singapore：World Scientific，2003.

[5] 劉謀斌，常建忠.光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法中粒子分布與數(shù)值穩(wěn)定性分析[J].物理學(xué)報(bào)，2010（59）：3654-3662.

[6] 蔣濤.聚合物自由面問(wèn)題的修正對(duì)稱SPH方法模擬研究[D].博士研究生學(xué)位論文，西安：西北工業(yè)大學(xué)，2012.

[7] J.Swegle，W.D.L.Hicks， S.W.Attaway.Smooth particle hydrodynamics stability analysis[J].Journal of Computational Physics，1995， （116）：123-134.

[8] Jiang T，Ouyang J，Ren J，Yang B，Xu X.A mixed corrected symmetric SPH（MC-SSPH）method for computational dynamic problems[J].Computer Physics Communications，2012（183）：50-62.endprint

摘 要：光滑粒子動(dòng)力學(xué)（SPH）方法是一種純無(wú)網(wǎng)格粒子方法，目前已廣泛應(yīng)用于非牛頓流體流動(dòng)問(wèn)題。該文在探討了光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法應(yīng)用于非牛頓流體流動(dòng)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，分析了該方法數(shù)值模擬中存在精度低和張力不穩(wěn)定的問(wèn)題及產(chǎn)生原因，并提出了相應(yīng)的解決方案。

關(guān)鍵詞：光滑粒子動(dòng)力學(xué) 非牛頓 數(shù)值模擬 張力不穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O35 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）07（a）-0250-02

1 光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法應(yīng)用簡(jiǎn)介

光滑粒子動(dòng)力學(xué)（Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH）方法是一種基于Lagrange描述的純無(wú)網(wǎng)格粒子方法。它不需要使用任何網(wǎng)格，而是將連續(xù)體離散成有限個(gè)粒子，這些粒子攜帶所有物理量（密度、壓力、速度、溫度等）的信息。其次通過(guò)核函數(shù)將連續(xù)介質(zhì)的控制方程轉(zhuǎn)化為積分形式。這樣整個(gè)流場(chǎng)變成了一系列粒子的表達(dá)，每個(gè)粒子的物理量都由周圍粒子的物理量插值得到。

SPH方法最初由Lucy[1]、Gingold和Monaghan[2]提出并用于求解三維開(kāi)放空間天體物理問(wèn)題。1994年，Monaghan[3]首次將SPH方法用于自由表面流的數(shù)值模擬。隨后，許多學(xué)者運(yùn)用SPH方法對(duì)牛頓流體的自由表面流動(dòng)問(wèn)題[4-5]進(jìn)行了模擬研究，大大推動(dòng)了SPH方法在流體力學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。目前，SPH方法在聚合物自由面方面的研究也取得了一定進(jìn)展。2005年，Ellero和Tanner[6]運(yùn)用SPH方法模擬了低Reynolds數(shù)下粘彈性熔體剪切流動(dòng)問(wèn)題。2007年、2008年Rafiee[6]運(yùn)用SPH方法模擬了非牛頓熔體的自由表面流問(wèn)題。上述研究均是對(duì)簡(jiǎn)單流動(dòng)進(jìn)行研究。2006年，F(xiàn)ang等人[6]首次采用SPH方法研究了粘彈性液滴落到剛性固壁上的復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題，討論了SPH方法中的人工應(yīng)力參數(shù)的選取。2012年，本文作者等[6]對(duì)傳統(tǒng)SPH方法進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上研究了聚合物自由面問(wèn)題。2010年，F(xiàn)an等人[6]首次運(yùn)用SPH方法研究了高粘性冪律流體的充模問(wèn)題。

總之，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，SPH方法在聚合物流動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

2 光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法中存在的缺點(diǎn)

與其他方法相比，SPH方法也是計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域中一種較新的數(shù)值方法。隨著應(yīng)用范圍越來(lái)越廣，SPH方法的一些缺點(diǎn)也逐漸顯現(xiàn)出來(lái)。SPH方法的缺點(diǎn)主要體現(xiàn)以下幾方面[4，7-8]。

2.1 數(shù)值精度低、穩(wěn)定性差

SPH方法在粒子分布均勻的區(qū)域內(nèi)具有二階精度，但在粒子分布不均勻區(qū)域或邊界處至多具有一階精度。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，SPH方法精度低的主要原因是：在粒子分布不均勻區(qū)域，某流體粒子影響域內(nèi)的粒子數(shù)比較少；而對(duì)于邊界附近，流體粒子的影響域被邊界截?cái)?，邊界外不存在粒子，從而出現(xiàn)比較嚴(yán)重的粒子缺失現(xiàn)象。而流動(dòng)過(guò)程中必然出現(xiàn)粒子分布不均勻的情況。提高SPH方法的精度成為促進(jìn)SPH方法進(jìn)一步發(fā)展的重要因素。

2.2 壓力振蕩嚴(yán)重

SPH方法雖然在模擬自由表面流動(dòng)問(wèn)題中具有優(yōu)勢(shì)，尤其是對(duì)于大變形問(wèn)題。然而，由SPH方法得到的壓力卻存在嚴(yán)重振蕩。這是因?yàn)椋撼松鲜鯯PH方法數(shù)值精度比較低的原因，另一個(gè)原因就是弱可壓SPH方法中始終采用壓力狀態(tài)方程來(lái)求解壓力。雖然有學(xué)者針對(duì)此問(wèn)題提出了改進(jìn)措施，如Colagrossi[6]采用密度初始化方法、耗散項(xiàng)方法等在一定程度上改善了壓力振蕩的情況，但是上述方法始終采用壓力狀態(tài)方程來(lái)求解壓力，無(wú)法從根本上解決壓力振蕩問(wèn)題。

2.3 存在張力不穩(wěn)定

張力不穩(wěn)定性或稱“拉伸不穩(wěn)定性”，該術(shù)語(yǔ)來(lái)源于傳統(tǒng)SPH方法求解固體力學(xué)中材料拉伸問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的一種非物理粒子簇集現(xiàn)象[7]。許多學(xué)者[6]在固體變形問(wèn)題的數(shù)值模擬中對(duì)其出現(xiàn)的原因進(jìn)行了研究和分析，但迄今為止關(guān)于張力不穩(wěn)定性產(chǎn)生的本質(zhì)原因沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的理論分析，也未能夠提出普遍應(yīng)用的克服方法。目前，應(yīng)用比較廣泛的克服張力不穩(wěn)定性的方法是Monaghan和Gray等人[6]提出的人工應(yīng)力法。

3 解決方案

上述SPH方法的缺點(diǎn)嚴(yán)重限制了SPH方法的推廣與發(fā)展。因此，對(duì)SPH方法的改進(jìn)有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

針對(duì)傳統(tǒng)SPH方法數(shù)值精度低的問(wèn)題，眾所周知，核函數(shù)在SPH方法中扮演著舉足輕重的角色。因此，本文借助Taylor展開(kāi)方法[4，8]，在核函數(shù)導(dǎo)數(shù)的左側(cè)乘以一個(gè)修正矩陣，且此修正矩陣中不需要求解核函數(shù)導(dǎo)數(shù)，以此來(lái)提高SPH方法的數(shù)值精度，即

針對(duì)壓力振蕩嚴(yán)重的問(wèn)題，本文考慮結(jié)合不可壓縮SPH方法和弱可壓SPH方法的優(yōu)點(diǎn)，借助于有限差分方法的思想，對(duì)壓力進(jìn)行迭代求解，直至求得的壓力計(jì)算得到的密度與初始密度的誤差在允許范圍之內(nèi)時(shí)，迭代終止。

針對(duì)張力不穩(wěn)定性問(wèn)題，本文根據(jù)Swegle等人[7]提出的張力不穩(wěn)定性結(jié)論，給出了一種容易施加的人工應(yīng)力方法，其具體離散形式為

其中，為一個(gè)正常數(shù)（），為流體的應(yīng)力張量分量，核函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)分量為。上述人工應(yīng)力方法離散的形式比已有的人工應(yīng)力形式簡(jiǎn)單，且同時(shí)考慮了拉伸與壓縮兩種情況引起的不穩(wěn)定。

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先對(duì)SPH方法應(yīng)用于聚合物流動(dòng)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了闡述，然后根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)及作者的數(shù)值模擬經(jīng)驗(yàn)分析了運(yùn)用SPH方法模擬聚合物流動(dòng)問(wèn)題時(shí)存在精度低和張力不穩(wěn)定性問(wèn)題及產(chǎn)生的原因，最后針對(duì)存在的問(wèn)題，提出了相應(yīng)的解決方案。

參考文獻(xiàn)

[1] L.B.Lucy.A numerical approach to the testing of the ssion hypothesis[J].Astronomical Journal，1977（83）：1013-1024.

[2] R.A.Gingold，J.J.Monaghan. Smoothed particle hydrodynamics theory and application to non-spherical stars[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，1977（181）：375-389.

[3] J.J. Monaghan.Simulating free surface ows with SPH[J].Journal of Computational Physics，1994（110）：399-406.

[4] G.R.Liu，M.B.Liu.Smoothed Particle Hydrodynamics：A Mesh-free Particle Method[M].Singapore：World Scientific，2003.

[5] 劉謀斌，常建忠.光滑粒子動(dòng)力學(xué)方法中粒子分布與數(shù)值穩(wěn)定性分析[J].物理學(xué)報(bào)，2010（59）：3654-3662.

[6] 蔣濤.聚合物自由面問(wèn)題的修正對(duì)稱SPH方法模擬研究[D].博士研究生學(xué)位論文，西安：西北工業(yè)大學(xué)，2012.

[7] J.Swegle，W.D.L.Hicks， S.W.Attaway.Smooth particle hydrodynamics stability analysis[J].Journal of Computational Physics，1995， （116）：123-134.

[8] Jiang T，Ouyang J，Ren J，Yang B，Xu X.A mixed corrected symmetric SPH（MC-SSPH）method for computational dynamic problems[J].Computer Physics Communications，2012（183）：50-62.endprint