陸宇威 劉景鋒

摘 要：在數(shù)學(xué)物理方法中，圍道積分是計(jì)算一些實(shí)變及復(fù)變函數(shù)積分的重要方法。本文應(yīng)用圍道積分推導(dǎo)色散關(guān)系式及處理原子自發(fā)輻射的動(dòng)力學(xué)演化問(wèn)題，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，圍道積分是后面處理重要物理問(wèn)題的有力工具，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：圍道積分 色散關(guān)系 自發(fā)輻射

中圖分類號(hào)：O4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）06（a）-0249-03

圍道積分的計(jì)算涉及留數(shù)定理、多值函數(shù)等內(nèi)容。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方法過(guò)程中，從圍道積分的介紹、推導(dǎo)到應(yīng)用計(jì)算，往往都是純數(shù)學(xué)的，強(qiáng)調(diào)了其數(shù)學(xué)性質(zhì)而忽視了物理應(yīng)用，這不僅容易使學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣，而且偏離了開(kāi)設(shè)這門課程的目的。為此，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)過(guò)程中改進(jìn)常規(guī)的教學(xué)方式，給學(xué)生展示圍道積分在處理物理學(xué)問(wèn)題上的應(yīng)用，在這個(gè)過(guò)程中既強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，又強(qiáng)調(diào)其物理應(yīng)用，最后還訓(xùn)練了學(xué)生的應(yīng)用計(jì)算和數(shù)值仿真能力，因而在教學(xué)中取得了很好的反響和教學(xué)效果。本文將針對(duì)目前物理學(xué)中的幾個(gè)研究熱點(diǎn)展開(kāi)討論。

1 光學(xué)微腔中及光學(xué)色散中的希爾伯特變換

一個(gè)因果物理系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的實(shí)部與虛部之間滿足希爾伯特變換對(duì)[1]：

（1）

這一對(duì)關(guān)系式在物理上有著廣泛應(yīng)用稱為色散關(guān)系[2]，現(xiàn)結(jié)合具體例子，應(yīng)用圍道積分解決實(shí)際問(wèn)題。

當(dāng)輻射子處在泄漏微腔中時(shí)，腔內(nèi)的局域態(tài)密度可以由洛倫茲函數(shù)來(lái)描述[3]，如（2）式，其能級(jí)移動(dòng)可表示為（3）式，下面應(yīng)用圍道積分來(lái)證明它們滿足色散關(guān)系。

（2）

（3）

因?yàn)樵趯?shí)軸上有單極點(diǎn)，我們以為圓心，以充分小的正數(shù)ε為半徑作圓弧繞過(guò)ω，構(gòu)成積分回路如圖1所示。

容易解出另外兩個(gè)單極點(diǎn)（去掉，因?yàn)槠涮摬啃∮诹悴辉趪纼?nèi)）和。記，應(yīng)用留數(shù)定理，有：

（4）

當(dāng)左邊積分值為，而右邊第一、第二項(xiàng)為所求積分，第三項(xiàng)為零，第四項(xiàng)為，即（4）可化簡(jiǎn)為：

（5）

于是：

（6）

同樣地，應(yīng)用留數(shù)定理，可算得：

（7）

模擬出這兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖2所示，相關(guān)物理意義見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3]。

2 輻射子自發(fā)輻射衰減動(dòng)力學(xué)

輻射子自發(fā)輻射衰減動(dòng)力學(xué)方程滿足下式[3]：

（8）

令，可得：

（9）

設(shè)其三個(gè)根分別為。為了便于推導(dǎo)，假設(shè)所有根都有物理意義。同時(shí)考慮的多值特性，在應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算時(shí)選取幅角為到的一個(gè)黎曼面，構(gòu)成積分回路如圖3所示，枝點(diǎn)為，虛線為枝切線（）。

把（9）式寫成留數(shù)的貢獻(xiàn)減去枝切（）的貢獻(xiàn)為：

（10）

令，，則，容易得到積分留數(shù)值為：

（11）

令，再令來(lái)計(jì)算枝切的貢獻(xiàn)，最后得：

（12）

結(jié)合（10）（11）和（12），得：

（13）

設(shè)置好參數(shù)，模擬出圖像如圖4所示，相關(guān)物理意義見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3]。

3 光子晶體自發(fā)輻射的非旋波近似處理

用非旋波近似方法處理光子晶體自發(fā)輻射過(guò)程得到如下的演化公式[4]

（14）

其中

（15）

令，易知有五個(gè)零點(diǎn)，設(shè)符合要求的零點(diǎn)的集合為，同時(shí)考慮的多值特性，在計(jì)算時(shí)選取幅角為到的一個(gè)黎曼面，構(gòu)成積分回路如圖5所示。

仿照（10），把（14）寫成留數(shù)的貢獻(xiàn)減去枝切的貢獻(xiàn)：

（16）

令，，，，，

（16）變?yōu)椋?/p>