馮回祥，華中科技大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師，湖北省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師。現(xiàn)任湖北省武漢市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事，華中師范大學(xué)碩士研究生首批校外導(dǎo)師。

在“國(guó)培”講課時(shí)，有一位青年教師問(wèn)我，在求兩個(gè)數(shù)的“最大公因數(shù)”和“最小公倍數(shù)”時(shí)，是否可以用符號(hào)來(lái)表示結(jié)果，因?yàn)榻滩闹袥](méi)用符號(hào)來(lái)表示。

在我看來(lái)，他問(wèn)的是一個(gè)帶有普遍性的問(wèn)題。我的回答是：引進(jìn)“符號(hào)”是必須的，因?yàn)樗?jiǎn)潔、方便；用符號(hào)（a，b）和〔a，b〕來(lái)分別表示兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，肯定是規(guī)范的，這個(gè)可查閱谷超豪主編的數(shù)學(xué)詞典。

這次簡(jiǎn)單的交流，給人一種“批判性精神”缺失、“符號(hào)意識(shí)”淡薄的印象。在此，就“符號(hào)意識(shí)”的培養(yǎng)這一話(huà)題，來(lái)談?wù)勎业囊恍┧伎肌?/p>

英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)過(guò)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯。”可以說(shuō)，沒(méi)有符號(hào)，就沒(méi)有現(xiàn)代數(shù)學(xué)?！稑?biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用，是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式?！币虼?，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)理應(yīng)受到數(shù)學(xué)教師的高度重視。那么，教師要如何培養(yǎng)小學(xué)生的符號(hào)意識(shí)呢？

第一，借助經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)符號(hào)。

在生活中，符號(hào)無(wú)處不在。如，紅色的“十”是紅十字會(huì)的專(zhuān)用標(biāo)志，紅底黃色的“m”是麥當(dāng)勞的標(biāo)志，馬路上、街道旁有很多標(biāo)有交通符號(hào)的牌子……生活中的符號(hào)可謂舉不勝舉。了解符號(hào)，運(yùn)用符號(hào)已成為現(xiàn)代人生活中不可缺少的一部分。毫無(wú)疑問(wèn)，小學(xué)生在生活中獲得的關(guān)于符號(hào)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)以及相應(yīng)的符號(hào)意識(shí)，對(duì)于認(rèn)知數(shù)學(xué)符號(hào)會(huì)有很大的幫助。

小學(xué)生在六年的學(xué)習(xí)中，要認(rèn)識(shí)很多的數(shù)學(xué)符號(hào)，有對(duì)象符號(hào)（如數(shù)字、圓周率）、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、結(jié)合符號(hào)（如小括號(hào)）、性質(zhì)符號(hào)（如正、負(fù)號(hào)）、略寫(xiě)符號(hào)（如因?yàn)椤啊摺?、所以“∴”）等。學(xué)生如何理解和掌握這么多的符號(hào)，需要教師借助經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行智慧教學(xué)。

如，教師在教學(xué)阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)時(shí)，借助經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行形象教學(xué)，讓學(xué)生誦讀：1像鉛筆，細(xì)又長(zhǎng)；2像鴨子，水中游；3像耳朵，兩道彎；4像小旗，迎風(fēng)飄……實(shí)踐表明，富有童趣的兒歌能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知興趣，有助于他們記憶字形并掌握書(shū)寫(xiě)體。

又如，教學(xué)加、減、乘、除四種運(yùn)算符號(hào)時(shí)，教師可以通過(guò)形象的比喻并結(jié)合課件動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生去理解符號(hào)代表的含義。如，加號(hào)的演示：先出現(xiàn)一橫，再移來(lái)一豎，以顯示“合并”“添上”“增加”的意思。減號(hào)的演示：從“+”里拿走一豎，表示“去掉”“減少”的意思。乘號(hào)的演示：將“+”轉(zhuǎn)動(dòng)45°成“×”，表示特殊的加，即同數(shù)連加。有了這些做基礎(chǔ)，到教學(xué)除法時(shí)，學(xué)生一般都會(huì)自己解釋除號(hào)“÷”的含義。用這樣的方式教學(xué)，教學(xué)效果非常明顯，孩子們也印象深刻，不會(huì)出錯(cuò)。

第二，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)的特點(diǎn)。

數(shù)學(xué)符號(hào)是人們?cè)谘芯繑?shù)量關(guān)系和空間形式的過(guò)程中產(chǎn)生的。

首先，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)具有抽象性。如單位“1”不僅可以表示一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位，還可以是一個(gè)群體等。這個(gè)“1”具有一定的抽象性。

其次，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性。數(shù)學(xué)中有些內(nèi)容，學(xué)生用文字來(lái)敘述是較麻煩的，如果能用符號(hào)來(lái)表示，不僅簡(jiǎn)潔，而且方便。如，用（a+b）c=ac+bc來(lái)表示乘法的分配律。又如，對(duì)求24和30的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的題，學(xué)生很容易掌握其求法，但很不樂(lè)意把結(jié)果用文字表達(dá)出來(lái)，因?yàn)橐獙?xiě)那么多字。最終，他們表達(dá)出來(lái)的結(jié)果要么是不認(rèn)真的，要么是不夠完整的。如果教師允許學(xué)生這樣表示結(jié)果：（24，30）=6；〔24，30〕=120。學(xué)生不僅會(huì)很開(kāi)心，而且能感受到數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔美，進(jìn)而更喜愛(ài)數(shù)學(xué)，可謂一舉多得。事實(shí)上，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，還可以大膽引用一些簡(jiǎn)潔的符號(hào)，如平行“∥”、垂直“⊥”、不等號(hào)“≠”、三角形“△”、因?yàn)椤啊摺?、所以“∴”等等?/p>

其三，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)符號(hào)的一般性。

如果用具體的數(shù)和運(yùn)算符號(hào)組成式子，只能表示個(gè)別具體的數(shù)量之間的關(guān)系。如，長(zhǎng)是8厘米，寬是2厘米，8×2=16（平方厘米）僅代表的是那個(gè)具體的長(zhǎng)方形的面積。又如，2014新版教材五年級(jí)上冊(cè)第五單元例1的題目是，小紅1歲，爸爸就是1+30=31歲，也是僅僅表示具體的年齡。而用字母表示，則簡(jiǎn)單明了，還能概括出數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律，在較大范圍內(nèi)肯定了數(shù)學(xué)規(guī)律的正確性。在剛才例1的題目中，如果說(shuō)“1+30，2+30，3+30”代表的是特殊性關(guān)系式，那么“a+30”就可代表一般關(guān)系式。該式既是表示任何一年爸爸與小紅的歲數(shù)關(guān)系，又抽象概括出了數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律，即無(wú)論過(guò)多少年，兩人的年齡差是不變的。當(dāng)然，運(yùn)算定律、計(jì)算公式、有關(guān)法則均可表示變化的一般規(guī)律。

第三，在具體情境中，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的作用。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一是要使學(xué)生懂得符號(hào)的意義，會(huì)運(yùn)用符號(hào)解決問(wèn)題。小學(xué)生處于形象思維向抽象思維發(fā)展階段，教師要盡可能地向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)材料，使學(xué)習(xí)活動(dòng)處于情境之中。教師還要有意識(shí)地利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生感受到符號(hào)引入的必要，鼓勵(lì)學(xué)生用自己獨(dú)特的方式表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系，逐步走進(jìn)符號(hào)化的數(shù)學(xué)世界。

在進(jìn)行常用的數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)時(shí)，教師要結(jié)合具體情境，讓學(xué)生了解符號(hào)產(chǎn)生的需要，認(rèn)識(shí)到由于使用符號(hào)，才能清楚、簡(jiǎn)便地表達(dá)這些具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。如，在“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)“等分蘋(píng)果”的情境，引導(dǎo)學(xué)生從“一半”過(guò)渡到“二分之一”，最終引出數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言“[12]”。又如，教學(xué)方程的意義時(shí)，可以借助天平，創(chuàng)設(shè)“平衡——不平衡——平衡”的問(wèn)題情境：

（1）天平左邊放的是一個(gè)100g的杯子中裝了一些水，左邊的質(zhì)量怎樣表示？

（2）天平右邊放的是250g的砝碼，如果天平不平衡，怎樣用算式來(lái)表示？

（3）如果天平平衡，又該用一個(gè)怎樣的算式來(lái)表示？

針對(duì)上述問(wèn)題，學(xué)生需要用字母x來(lái)表示杯子中水的質(zhì)量，并用“x+100”來(lái)表示第（1）問(wèn)；用算式“x+100>250”或“x+100<250”來(lái)表示第（2）問(wèn)；用“x+100=250”來(lái)表示第（3）問(wèn)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅體驗(yàn)到了引用x的需要，也認(rèn)識(shí)到了用x表示水的質(zhì)量的作用，同時(shí)加深了對(duì)符號(hào)在數(shù)學(xué)中作用的體會(huì)。

第四，在解決問(wèn)題中，經(jīng)歷符號(hào)化的過(guò)程。

系統(tǒng)地運(yùn)用符號(hào)，可以簡(jiǎn)明地表達(dá)數(shù)學(xué)思想，以順應(yīng)思路解決問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算或推理過(guò)程，加快數(shù)學(xué)思維的速度，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的交流。以一道計(jì)算題為例：

6只雞的質(zhì)量，等于3只鴨的質(zhì)量，等于2只鵝的質(zhì)量。已知一只雞的質(zhì)量是3千克，鴨和鵝的質(zhì)量各是多少？

這道題雖然是一道計(jì)算題，但與普通計(jì)算題相比，它對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求更高些。要想讓學(xué)生思維順暢，就必須自覺(jué)地運(yùn)用符號(hào)去進(jìn)行描述和表達(dá)。

首先，學(xué)生可以列出下面的等式：

6只雞=3只鴨=2只鵝

2只雞=1只鴨

這里，學(xué)生用漢字來(lái)代替真實(shí)的動(dòng)物，已經(jīng)是在運(yùn)用符號(hào)了，但僅此是不夠的，教師還應(yīng)該因勢(shì)利導(dǎo)，要求學(xué)生用更簡(jiǎn)潔的符號(hào)來(lái)表示，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生用x、y、z分別代替雞、鴨、鵝，上面的式子就變成了：

6x=3y=2z

2x=1y

至此，學(xué)生不僅成功地運(yùn)用符號(hào)描述并表達(dá)了數(shù)量關(guān)系，而且，成功地實(shí)現(xiàn)了從文字到字母符號(hào)的轉(zhuǎn)變。接下來(lái)在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得到結(jié)果就很容易了。

由此可見(jiàn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化的過(guò)程，再通過(guò)交流、分享，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，他們就會(huì)體會(huì)到用數(shù)、形將實(shí)際問(wèn)題“符號(hào)化”的優(yōu)越性。

符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。我們應(yīng)緊密結(jié)合數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表征、轉(zhuǎn)換、運(yùn)算和推理，切實(shí)有效地發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳