陳 超，李婷爽

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系，廣東潮州 521041）

1 預(yù)備和引言

設(shè)En表示n 維歐氏空間，I 表示實直線上單位閉區(qū)間，C(I)表示所有I=[0 ,1]到I 的連續(xù)函數(shù)之集．對?f ∈C(I)，用Gf表示f 的函數(shù)圖像，即Gf={(x,f(x))|x ∈I }是I2的子集．設(shè)G(I)={Gf| f ∈c(I)}.

定義d：I2×I2→R 如下：

容易驗證d 是I2上的一個度量，誘導(dǎo)出歐氏度量相同的拓?fù)?

定 義1 dH：G(I)×G(I)→R 是 一個 映 射，?Gf，Gg∈G(I)，dH(Gf,Gg)=inf{ε|Bd(Gf,ε)?Gg且Bd()Gg,ε ?Gf}，其中

容易驗證dH是一個度量，稱為Hausdorff度量，從而(G (I),dH)是一個度量空間，下文提到的G(I)指的是這樣一個度量空間．由dH定義容易驗證有下面的性質(zhì)：

引理1 設(shè)fG，gG∈G(I)，則dH(fG,gG)＜ε.

引理1將在后面的證明中經(jīng)常用到.

本文主要證明G(I)滿足下面定義的拓?fù)湫再|(zhì).

定義2[1]設(shè)(X,d)是一個度量空間，若?ε ＞0 及n ∈N+，對任意兩個函數(shù)f 、g：In→X，?兩個連續(xù)函數(shù)f′,g′:In→X ，使得對任意x ∈In，d(f′(x),f(x))＜ε，d(g′(x),g(x))＜ε，且f′(In)∩g′(In)=?，則稱(X,d)具有胞腔不相交性質(zhì).

這個性質(zhì)是無限維拓?fù)渲幸粋€重要性質(zhì)[2-3]，可用來刻畫某些拓?fù)淇臻g.例如一個空間同胚于希爾伯特方體Q=[- 1,1]∞，當(dāng)且僅當(dāng)它是緊的具有胞腔不相交性質(zhì)的絕對收縮核[4].

注：對歐氏空間E1上的任意兩條相交的道路p：I →E1，q：I →E1，（p,q 連續(xù)），顯然無法通過稍微的調(diào)整使它們不相交．即不存在兩條不相交道路p′，q′，使得p′與p，q′與q 分別很接近．但E2上的任意兩條相交道路，卻可以通過微調(diào)讓它們不相交，這體現(xiàn)在現(xiàn)實中兩條相交的道路，只須在其中一條道路上修一座立交橋，就能讓兩條道路不相交了.

證明某些無限維空間滿足胞腔不相交性質(zhì)是無限維拓?fù)溲芯康闹匾獌?nèi)容之一，研究某些函數(shù)空間的拓?fù)湫再|(zhì)是拓?fù)鋵W(xué)的一個研究熱點(diǎn)，本文主要證明度量空間G(I)具有胞腔不相交性質(zhì).

2 主要結(jié)論的證明

為了表述的方便，下文中形如φ ： In→C(I)的映射，用φG表示映射In→G(I)且?x ∈In，φG(x)=G(φ(x))，反之亦然.

本文主要證明如下定理：

定理1 度量空間G(I)具有胞腔不相交性質(zhì).

證明 任取n ∈N+及任意兩個連續(xù)函數(shù)φG： In→G(I)， γG： In→G(I)，?ε ＞0，下面構(gòu)造，使得

（1） φ′G，γ′G是連續(xù)的；

設(shè)Mφ，mφ，Mγ，mγ：In→I ，為四個映射分別定義如下：

斷言1 Mφ，mφ，Mγ，mγ是連續(xù)的.

要證明Mφ連續(xù)，即?t ∈In，?tn→t(n →∞)，有Mφ(tn)→Mφ(t)(n →∞) ，即?ξ ＞0，?N ＞0，當(dāng)n ＞N 時，

則

因為φG連續(xù)，?δ ＞0，?N ＞0，當(dāng)n ＞N 時，

所以

由（1），（2）得

即|Mφ(tn)-Mφ(t)|＜ξ.

同理可證得， |mφ(tn)-mφ(t)|＜ξ，故Mφ,mφ連續(xù).

同理可證Mγ，mγ連續(xù).

斷言2 Pφi，Pφ，Pγi和Pγ是連續(xù)的.

要證Pφ連續(xù)，即?t ∈In，?tn→t(n →∞)，有即?ξ＞0，?N＞0，當(dāng)n＞N 時， |Pφ(tn)-Pφ(t)|＜ξ.

因為φ(t)∈C(I)，所以φ(t)是一致連續(xù)的.

因為φG連續(xù)，?δ ＞0，?N ＞0，當(dāng)n ＞N 時，

所以

由（5），（6）得

所以 |Pφ(tn)-Pφ(t)|＜ξ．所以Pφ是連續(xù)的.

同理可證得Pφi,Pγi和Pγ也是連續(xù)的.

構(gòu)造φ′，γ′：In→C(I).?t ∈In，φ(t)∈C(I)，γ(t)∈C(I)，則

?t ∈In顯然φ′(t),γ′(t)∈C(I).

因為φG連續(xù)，即對?t ∈In,?tn→t(n →∞)，有φG(tn)→φG(t)(n →∞)，?ξ ＞0，因為φ(t) 在I 上一致連續(xù)，所以?δ ＞0，?x′,x″∈I 且 ||x′-x″＜δ，則?μ0()μ0＞3 充分大，使得對

由φG連 續(xù)， ?N1＞0 ，當(dāng)n ＞N1時，此時，對?(x,?(tn)(x))∈?G(tn)，?(x′,φ(t)(x′))∈φG(t)，使得

由斷言1可知Mφ，mφ連續(xù)，所以當(dāng)時， |Mφ(tn)(0)-Mφ(t)(0)|＜ξ.

令N=max{N1,N2} ，下證?n ＞N,有

根據(jù)引理1，須證

下面先證（I），為此分為三種情況.

則φ′(tn)(x1)=φ(tn)(x1) ，φ′(t)(x1)=φ(t)(x1) ，

所以

因為 |xi-ai1|＜δ， |x1-ai1+1|＜δ，由（9）有

所以

此時

由φ′(t)的構(gòu)造可知，φ′(tn)(x1)介于φ(tn)(ai)和φ(tn)(ai+1)之間.

綜上所述，（I）式得證，同理可證得（II）式成立.

斷言5 ?n ∈N+，?t ∈In，且

由φ 和γ′的定義，容易驗證斷言5成立，命題得證.

（致謝 衷心感謝吳拿達(dá)博士的悉心指導(dǎo)和幫助?。?/p>

[1]VAN MILL J.The Infinite-Dimensional Topology of Function Spaces[M].Amsterdam: North-Holland Math.Library, Elsevier Sci.Publ.B.V.，2001:64.

[2]KUBI W, SAKAI K.Yaguchi M Hyperspaces of separable Banach spaces with the Wijsman topology[J].Topoloy Appl.，2005,148:7-32

[3]YANG Z Q,WU N D.A topological position of the set of continuous maps in the set of upper semicontinuous maps[J].Science in China,Ser.A:Mathematics,2009,52(8):1815-1828.

[4]ANDERSON R D.Hilbert space is homeomorphic to countable infinite product of line[J].Bull.Amer.Math.Soc.， 1966,72:515-519.

[5]WUND, YANG Z Q.Spaces of Continuous Maps on a Class of Noncompact Metric Spaces[J].Advances in Mathematics(Chinese),2013,42(4):535-541.