李承耕，劉 波

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系，廣東潮州 521041）

混合單調(diào)算子是一類非常重要的算子，1987年由郭大鈞教授和V.Lakshmikantham 提出．很多學(xué)者對此做了大量的研究，得到了一批很好的結(jié)果[1-7]，它的很多理論被應(yīng)用于非線性微分方程和非線性積分方程解的存在性問題的研究．本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，并結(jié)合文獻(xiàn)[9]的基本計算技巧討論了兩類混合單調(diào)算子的公共不動點(diǎn)問題，并給出了迭代序列收斂于解的誤差估計，推廣了已有文獻(xiàn)的一些結(jié)論．

1 預(yù)備知識

設(shè)E 是一個實(shí)Banach空間，如果P 是E 中的非空凸閉集，且滿足以下條件：

（1） x ∈P，λ ≥0 ?λx ∈P；

（2） x ∈P，-x ∈P ?x=θ，θ 是P 中零元；則稱P 為E 中的一個錐．

設(shè)半序“≤”是E 中的錐P 產(chǎn)生的，即?x,y ∈E，若y-x ∈P，則x ≤y.如果x ≤y，且x ≠y，則記x ＜y.

定義1[3]設(shè)P 是E 中一個錐，如果存在常數(shù)N ＞0，使得則稱P 是正規(guī)錐，滿足上式的正數(shù)N 中最小者叫做P 的正規(guī)常數(shù)．

顯然，正規(guī)常數(shù)N ≥1．

定義2[3]設(shè)D ?E，算子A:D×D →E，

（1）如果x1,x2,y1,y2∈D，x1≤x2,y1≥y2蘊(yùn)含著A(x1,y1)≤A()x2,y2，則稱A 是混合單調(diào)算子；如果A 與第一變元無關(guān)，則稱A是減算子；

（2）如果(x*,y*) ∈D×D 滿足x*=A(x*,y*) ，y*=A(y*,x*) ，則稱(x*,y*) 是A 的耦合不動點(diǎn)；

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)E 是完備的錐度量空間，且A,B:[u0,v0]×[u0,v0]→E，是兩個混合單調(diào)算子，且滿足下列條件：

(i) 存在常數(shù)β ∈(0,1) ，使得A(v,u)-A(u,v)≤2β(v-u)，u0≤u ≤v ≤v0；

(ii)A(v,u)-B(u,v)≥-2α(v-u)，當(dāng)u ≤v；

則算子方程組

在[u]0,v0中有唯一的公共解u*．而且迭代序列

n=0,1,2,.......，都收斂于u*，并且有誤差估計

其中N 為P 的正規(guī)常數(shù)．

證明 構(gòu)造迭代序列為

其中n=0,1,2,........由數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=1時，由條件()iii 和A，B為混合單調(diào)算子，有

由迭代式（1）和條件(ii)

即u0≤u1≤v1≤v0成立.

假設(shè)n=k 時，有

當(dāng)n=k+1時，由A,B為單調(diào)混合算子可得

同理有，

得到

綜上可得

下證{un} ,{vn} 是Cauchy列．由條件（i）有

于是，對于任意的自然數(shù)m,n 有，

于是，由P 的正規(guī)性，有

其中N1為P 的正規(guī)常數(shù)．又2(α+β)∈(0,1) ，于是{un} ,{ vn} 為E 中的Cauchy列．

下證u*為

在[]u0,v0中唯一公共解．

由vn+1≥un+1和條件（ii）得，

由A，B 的連續(xù)性，和un→u*,vn→u*(n →∞)，可得B(u *,u*) ≤B(u *,u*) +2α(u*-u*) ，即B(u*,u*) ≤A(u *,u*) .

由A，B 為混合單調(diào)算子有，

即

于是，θ ≤B(u *,u*) -un≤vn-un，由P 的正規(guī)性，有

N2為P 的正規(guī)常數(shù)．

由上式可得

即

故B(u *,u*) =u*．類似可以證明A(u *,u*) =u*．即u*為

使用SRV 3/4”NPT螺紋型在線黏度計，根據(jù)稀釋釜的尺寸和投料情況，準(zhǔn)備適合長度的加長套管、法蘭和內(nèi)外絲連接頭，從釜頂插入釜中，見圖1。

在[]u0,v0的公共解．

下證u*的唯一性．

設(shè)v*為（1.1）的另一個公共解．由迭代式（1）及A，B 為混合單調(diào)算子，類似可以得到

由上式可得

由P 的正規(guī)性，有

故u*=v*．唯一性得證．

由

令m →∞，得到誤差估計為

類似有

將增算子看成是一種特殊的混合單調(diào)算子，于是有以下結(jié)論．

定理2 設(shè)E 為完備的錐度量空間， A:[]u0,v0→E， A 為增算子，且滿足下列條件：（i）存在常數(shù)β ∈(0,1) ，使得Av-Au ≤2β(v-u)，?u,v ∈[u0,v0]，且u0≤u ≤v ≤v0；（ii） u0+α(v0-u0)≤Au0, Av0≤v0-α(v0-u0)，其中α ∈[0 ,1]，且則算子A 在[u0,v0]中有唯一的不動點(diǎn)u*．有誤差估計

其中N 為P 的正規(guī)常數(shù)．

證明 構(gòu)造迭代序列

類似定理1的證明，由歸納法知

由條件（i）有

于是對于任意的自然數(shù)n,m，有

由P 的正規(guī)性有

其中N4為P 的正規(guī)常數(shù)．

于是{un} ,{ vn} 為E 中的Cauchy列．由E 的完備性，所以存在，使得

由P 的正規(guī)性和式（5），得到

現(xiàn)證u*為A 在[]u0，v0中的不動點(diǎn)．由A 為增算子及迭代式（4），有

即un≤Aun≤Avn≤vn，得到Aun-un≤vn-un.

由P 的正規(guī)性，有

其中N6為P 的正規(guī)常數(shù)．

即得到

故Au*=u*，u*為A 在[]u0,v0中的不動點(diǎn)．

設(shè)v*也是迭代序列產(chǎn)生的另一個不動點(diǎn)，則有un≤v*≤vn．又由于un≤u*≤vn及P 的正規(guī)性，有

其中N7為P 的正規(guī)常數(shù)，故u*=v*．不動點(diǎn)的唯一性得證．

由‖ un+m-un‖≤N(2α+2β)n‖ v0-u0‖，令m →+∞，得誤差估計為

類似有

[1]GUO Da-jun,LAKSHMIKANTHAM V.Coupled fixed points of nonlinear operators with application[J].Nonlinear Analysis,TM A.,1987,11(5):623-637.

[2]孫經(jīng)先．非線性泛函分析及其應(yīng)用[M]．北京：科學(xué)出版社，2008.[3]郭大鈞．非線性泛函分析[M]．濟(jì)南：山東科技出版社，1985.

[4]郭大鈞．非線性分析中的半序方法[M]．濟(jì)南：山東科技出版社，2000：18-141.

[5]李國禎，朱傳喜．關(guān)于混合單調(diào)算子的藕合不動點(diǎn)定理[J]．工程數(shù)學(xué)學(xué)報，1993，10（1）：9-16．

[6]許紹元．混合單調(diào)算子不動點(diǎn)存在唯一性定理及其應(yīng)用[J]．吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011,32（1）：11-13.

[7]盛梅波．一類減算子新的不動點(diǎn)定理及其應(yīng)用[J]．南昌大學(xué)學(xué)報：理科版，2005，29（1）：35-37．

[8]GUO Da-jun,LAKSHMIKANTHAM V.Nonlinear problems in abstract cone[M].New York:Academic Press,1988.

[9]揭成文武，朱傳喜．Menger PN-空間中兩類混合單調(diào)算子新的公共不動點(diǎn)定理[J]．應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2011，13（1）：100-107．