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        研究習題 提煉方法

        2014-10-29 14:33:03焦良存
        初中生世界·九年級 2014年10期
        關鍵詞:內切圓切點切線

        焦良存

        蘇科版《數(shù)學》九年級上冊第74頁第11題是:

        如圖1,△ABC的周長是24,面積是48,求它的內切圓的半徑.

        解:設內切圓的圓心為O,半徑為r,與△ABC三邊的切點依次為D、E、F,連 接AO、BO、CO、OD、OE、OF,則OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,OD=OE=OF=r,S△ABC=S△ABO+S△BCO+SACO=AB·r+BC·r+AC·r=r(AB+BC+AC). ∵△ABC的周長是24,面積是48,∴AB+BC+AC=24,S△ABC=48,∴r×24=48,r=4.

        一般地,應用上述方法,可以得到結論:

        已知△ABC的周長為l,面積為S,其內切圓的半徑為r,則r=.(請同學們自己證明)

        由此我們可發(fā)現(xiàn)一種重要的解題方法——將圖形分割,再利用整體面積等于各個部分面積之和,即可得到一個等量關系,進而解決問題,這是一種行之有效的解題策略.下面我們應用這種方法來解決一類問題.

        例1 如圖2,在Rt△ABC中,∠C=90°,它的內切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點D、E、F,且BD=6,AD=4,求☉O的半徑r.

        【解析】連接OA、OB、OC,將Rt△ABC分成3個三角形,分別為△OAB、△OBC、△OCA,它們的高都是內切圓的半徑,根據整體等于部分之和(設r為內切圓的半徑)可得:S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=AB·r+BC·r+AC·r=r(AB+BC+AC). 連接OE、OF、OD,根據“切線垂直于過切點的半徑”可知OE⊥BC、OF⊥AC,又∠ACB=90°,所以四邊形OECF是矩形,又OE=OF,所以四邊形OECF是正方形,CE=CF=r,根據“從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等”,所以AF=AD=4,BE=BD=6,于是有S△ABC=r(10+6+r+4+r)=r(10+r),又S△ABC=AC·BC=(6+r)(4+r),∴有(6+r)(4+r)=r(10+r),解之得r1=2,r2=-12(不合題意,舍去),所以☉O的半徑為2.

        一般地,應用上述方法,可以得到結論:

        已知直角三角形,a、b是直角邊長,c是斜邊長,則其內切圓半徑r=(a+b-c).

        例2 (1) 如圖3,已知等邊△ABC內任意一點O到各邊的距離分別為r1、r2、r3,等邊△ABC的高為h,試證明r1+r2+r3=h(為定值). (2) 拓展與延伸:

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