陳冬妮，齊輝

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

各種場地類型及地下結(jié)構(gòu)對地震波的響應(yīng)問題研究是地震工程學(xué)中波動(dòng)問題的研究內(nèi)容之一。這類研究均屬于彈性動(dòng)力學(xué)問題的范疇。目前，夾雜、孔洞、襯砌等結(jié)構(gòu)對彈性波散射問題的研究已經(jīng)很成熟［1-4］。20世紀(jì)末，大圓弧假設(shè)原理的提出徹底解決了在半無限空間表面無法進(jìn)行波函數(shù)展開的難題并在求解波動(dòng)問題中被廣泛應(yīng)用［5-8］。我國學(xué)者劉殿魁等［9］又在二維散射問題的解析當(dāng)中引入“域函數(shù)”的概念和復(fù)變函數(shù)法，大大拓展了傳統(tǒng)波函數(shù)展開法的應(yīng)用范圍［10-13］。

本文求解時(shí)基于大圓弧假設(shè)法用曲面邊界替代直邊界以構(gòu)造求解所需的波函數(shù)場，然后再結(jié)合復(fù)變函數(shù)法、波函數(shù)展開法給出具有地表覆蓋層的彈性半空間內(nèi)圓孔及圓夾雜在穩(wěn)態(tài)SH波作用下動(dòng)應(yīng)力集中問題的解。

1 理論分析

1.1 問題表述

如圖1所示，建立多個(gè)圓孔和圓柱形夾雜的彈性半空間計(jì)算模型。在地表覆蓋層的下邊界建立一個(gè)總體坐標(biāo)系XOY，在圓孔和圓柱形夾雜的圓心上建立局部坐標(biāo)系XjOjYj。地表覆蓋層的上邊界和下邊界分別標(biāo)記為TU和TD，覆蓋層的厚度為h2，密度和剪切彈性模量分別為ρ2和μ2;用來擬合地表直邊界的大圓弧中心記為O＇，到上邊界和下邊界的半徑分別記為RU和RD;基體介質(zhì)的密度和剪切彈性模量分別為ρ1和μ1;淺埋圓孔和圓柱形夾雜標(biāo)記為TS(S=1，2，…，m)，半徑用 as表示，第 s個(gè)圓孔或圓柱形夾雜的中心坐標(biāo)為cs，其中夾雜的密度和剪切彈性模量分別為ρs和μs。為了便于表述不同的邊界條件，采用“分區(qū)”的方法將整個(gè)區(qū)域分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3個(gè)分區(qū)進(jìn)行分析:基體半空間為Ⅰ區(qū)，地表覆蓋層為Ⅱ區(qū)，圓柱形夾雜為Ⅲ區(qū)，TD為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的“公共邊界”。

圖1 SH波對淺埋多個(gè)圓形結(jié)構(gòu)散射的計(jì)算模型Fig.1 The model of scattering of shallow circular structures impacted by SH-wave

1.2 控制方程

SH波入射在xy平面內(nèi)引起的反平面位移(波函數(shù))記為Wi(x，y，t)。介質(zhì)的位移場滿足 Helmholtz方程:

式中:位移函數(shù)Wi與時(shí)間的依賴關(guān)系為eiωt(以下分析略去時(shí)間諧和因子e-iωt)。簡諧波波數(shù)ki=，ω為位移 W(x，y，t)圓頻率;介質(zhì)的剪切波速=i =1，2，…，S);介質(zhì)的質(zhì)量密度和剪切模量分別為 ρi、μi。

應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系表示為

而在極坐標(biāo)系中，式(3)變?yōu)?/p>

1.3 Ⅰ區(qū)散射波的求解

基體Ⅰ中所求散射波W(SI)由圓孔和夾雜TS以及地表覆蓋層下邊界TD產(chǎn)生的散射波和組成，即

移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)到第j個(gè)圓形結(jié)構(gòu)的圓心cj上，則在 (zj)上，z=zj+cj，z-cs=zj-，其中，=c-c。由此式(4)改寫成sj

相應(yīng)的應(yīng)力場:

1.4 Ⅱ區(qū)散射波的求解

式中:z'=z+i RD，系數(shù) Cn，Dn(n=0，±1，±2，…)待求。

相應(yīng)的應(yīng)力場:

1.5 Ⅲ區(qū)駐波的求解

式中:系數(shù)En(n=0，±1，±2)待求，Jn(·)為n階Besell函數(shù)。同樣利用移動(dòng)坐標(biāo)技術(shù)將式(5)改寫成:

相應(yīng)的應(yīng)力場:

1.6 問題的解答

若半空間內(nèi)存在一與x軸正向成α0的方向入射的穩(wěn)態(tài)的SH波，如圖1所示。則入射波W(i)在復(fù)平面(z)上為

式中:W0為入射波的最大幅值。相應(yīng)的應(yīng)力場:

式中:τ0=μ1k1W0是入射波產(chǎn)生的剪應(yīng)力幅值。

由邊界條件:夾雜周邊和Ⅰ、Ⅱ2個(gè)區(qū)域的“公共邊界”上應(yīng)力、位移連續(xù)，孔洞周邊及地表覆蓋層的上邊界上應(yīng)力自由，可得求解問題的定解方程組:

在式(6)兩邊同乘 exp(-i mθj)，式(7)、(8)、(9)兩邊同乘 exp(-i mθ')(m=0，±1，±2，…)，式(10)、(11)兩邊同乘 exp(-i mθ2)(m=0，±1，±2，…)并在(-π，π)上積分，則化簡為未知系數(shù)，，Bn，Cn，Dn和En的一組無窮代數(shù)方程組。通過精度控制對方程組截取有限項(xiàng)(本文截取9項(xiàng))進(jìn)而求解。通過驗(yàn)算，本文的計(jì)算精度可以達(dá)到10-5。

2 數(shù)值結(jié)果及參數(shù)分析

在理論和工程實(shí)踐中最受關(guān)注的是孔口或夾雜周邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)，該參數(shù)的大小對被研究結(jié)構(gòu)的使用年限和安全可靠性有直接影響。本文中，對于地表覆蓋層的彈性半空間內(nèi)圓形孔洞散射問題，主要討論了圓孔周邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的變化情況，其中可表達(dá)為

式中:τ0=μ1k1W0是入射波產(chǎn)生剪應(yīng)力幅值。

算例選取如圖2所示計(jì)算模型:選取具有相同半徑(采用無量綱參數(shù)即將圓孔及夾雜的半徑取為1)，且具有同一埋深的相鄰圓孔和夾雜作為研究對象。參數(shù)組合設(shè)為= μ2/μ1= μ3/μ1(其中 μ3為夾雜的剪切模量)和=k2/k1=k3/k1。

圖2 SH波對2個(gè)同一埋深的相鄰圓孔及夾雜散射計(jì)算模型Fig.2 Themodel of circular cavity and inclusion locating in same level by SH-wave

1)圖 3給出了 h2=2.0，h1=10.0，K3R=0.5 ，=2.0=0.25，l=2.5 ，SH 波入射角 α0=90°，波數(shù)k1R及不同時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)沿圓孔周邊變化情況。若取=1.0=0=1.0=1.0，則所取計(jì)算模型就退化為均勻半無限空間中垂直入射SH波對單圓孔的散射問題，此時(shí)圓孔周邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布情況與文獻(xiàn)［14］中所給研究成果吻合良好，由此也間接證明了用本文所述方法來求解本文所述問題是可行和準(zhǔn)確的。由圖中結(jié)果可知:SH波低頻入射且=2.0，θ=0°時(shí)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)達(dá)到最大值=6.09，數(shù)值大小是全空間單孔的3倍多，與均勻介質(zhì)(=1.0)時(shí)圓孔θ=0°處相比，也增加了9%左右，說明覆蓋層的存在的確影響了的大小;另外，隨 k1R 增大，孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)減小。

圖3 孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布Fig.3 Distribution of DSCF around circular cavity edge

2)圖4給出了 ，h1=3.0，h2=5.0 ，K3R=0.5，=0.25，l=2.5，SH 波入射角 α0=90°，波數(shù) k1R、及不同時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)沿圓孔周邊的變化情況。

圖4 孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布Fig.4 Distribution of DSCF around circular cavity edge

當(dāng)k1R=0.1即SH波低頻入射情況且取值較大時(shí)，覆蓋層剛度的增加并沒有明顯改變孔邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的大小;只有當(dāng)取值較小時(shí)，覆蓋層剛度的改變才明顯影響到孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的取值;當(dāng)k1R=0.5即入射波數(shù)較大時(shí)，相對于低頻情況隨覆蓋層剛度的增加圓孔周邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢。

3)圖4(a)、圖5 給出了h1=3.0，h2=5.0，k1R=0.1，K3R= 0.5= 2.0= 0.25，SH 波入射角α0=90°，孔心距及不同時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)沿圓孔周邊變化情況。由圖4(a)可知:θ=0°處與θ=180°處相比圓孔的增加了 30%;由圖 5(a)可知:處與處相比圓孔的增加了2.5%。由圖5(b)可知:當(dāng)l/R=10.0時(shí)，圓孔周邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)幾乎不受夾雜存在的影響，此時(shí)問題可近似按單孔處理?？梢娝娇仔木嘣酱罂走厔?dòng)應(yīng)力的集中受夾雜的影響越小，這樣的規(guī)律完全符合SH波散射的衰減特性。

圖5 孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布Fig.5 Distribution of DSCF around circular cavity edge

4)圖6 給出了h1/R=1.5，k1R=0.5=2.0，SH波入射角α=90°、及覆蓋層厚度h2/R不同時(shí)，圓孔動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)在θ=0°處的變化情況。

圖6 孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布Fig.6 Distribution of DSCF around circular cavity edge

由圖6(a)可知:隨覆蓋層厚度的增加動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的變化呈現(xiàn)出“周期”性，的逐漸變大引起動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的變化幅度逐漸減小，變化頻率逐漸增大，但的最大值沒有明顯變化;由圖6(b)可知:夾雜在=5.0即剛性較大時(shí)，的最大值與圖6(a)對比明顯減小，縮減了50%多，但變化頻率并沒有被改變。

3 結(jié)論

利用復(fù)變函數(shù)法、波函數(shù)展開法及大圓弧假定法給出了平面SH波對圓形孔洞的散射的近似解析解。結(jié)果表明:

1)半無限空間中地表覆蓋層、夾雜與淺埋孔洞之間存在強(qiáng)烈的相互作用，地表覆蓋層剛度和厚度、夾雜的剛度及圓孔與夾雜孔心距的變化可顯著改變淺埋圓孔周邊動(dòng)應(yīng)力集中的分布。由此在工程實(shí)踐中，必須對地表覆蓋層及其他異物質(zhì)的存在給予高度的重視。

2)本文只計(jì)算了地表覆蓋層及夾雜的存在對圓孔周邊動(dòng)應(yīng)力集中的影響，也可根據(jù)實(shí)際需要計(jì)算地表覆蓋層及圓孔的存在對夾雜周邊動(dòng)應(yīng)力集中的影響。還可以進(jìn)一步探討地面位移幅值的變化趨勢和規(guī)律。

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