張鳳姣，宋少云

(武漢輕工大學(xué)機械工程學(xué)院，湖北武漢 430023)

隨著各國經(jīng)濟飛速的發(fā)展，有限元仿真技術(shù)開始在各行各業(yè)中得到廣泛應(yīng)用［1］。尤其在汽車行業(yè)，越來越多的研究者開始對汽車的結(jié)構(gòu)及其零部件進行有限元仿真［2-4］，以考察其力學(xué)性能，為設(shè)計師們對其結(jié)構(gòu)的設(shè)計和優(yōu)化提供理論依據(jù)。

在進行結(jié)構(gòu)分析時，應(yīng)力集中是一種很棘手的問題［5-6］。所謂應(yīng)力集中是指受力構(gòu)件由于外界因素或自身因素幾何形狀、外形尺寸發(fā)生突變而引起局部范圍內(nèi)應(yīng)力顯著增大的現(xiàn)象。筆者在用有限元軟件對汽車手剎進行強度分析時，發(fā)現(xiàn)對于某些零件，當(dāng)網(wǎng)格不斷細(xì)分時，部分尖點會出現(xiàn)應(yīng)力值無限增大，不會趨于某個值，無法得到確切的應(yīng)力值。

實際上，有限元理論表明，在尖點(形狀突變處)處應(yīng)力集中系數(shù)會無限增大，無法計算真實的應(yīng)力解［7］。同時，通過有限元仿真的實踐也表明，當(dāng)網(wǎng)格無限細(xì)分時，尖點應(yīng)力的確會無限增大，得不到收斂解。因此，使用有限元軟件無法得到尖點處的真實應(yīng)力值。

為了能夠正確地計算尖點處的真實應(yīng)力值，本文提出了三種計算尖點處應(yīng)力的方法:圓周節(jié)點應(yīng)力平均法，線段應(yīng)力外推法和不同倒角應(yīng)力外推法。并用上述三種方法對一個算例進行計算，把計算結(jié)果與精確解相比較，從而考察方法的有效性。

1 算例及精確解

為了能清晰地闡述本文提出的三種方法，先給出一個共同的算例(如圖1所示)。該圖是一個7字形截面構(gòu)件，其左邊沿和下邊沿均固定，而在右邊上施加100 MPa的均布載荷，現(xiàn)在要計算倒角處(倒角半徑為2 mm)的米塞斯應(yīng)力值。

圖1 7字型構(gòu)件幾何尺寸圖

對于這種問題，有限元軟件是可以計算其精確應(yīng)力的。為了得到該點的精確應(yīng)力，首先對該幾何體進行粗糙的網(wǎng)格劃分，固定左、下端面并在右端面施加均布載荷，然后進行靜力學(xué)仿真。在仿真結(jié)束后，記錄下倒角處的米塞斯應(yīng)力。

然后對該倒角處進行網(wǎng)格局部細(xì)分，連續(xù)加密8次，并記錄該點的應(yīng)力值。這樣計算7次后，得到該點應(yīng)力的8個值。取仿真次數(shù)為橫坐標(biāo)，而取每次仿真得到的米塞斯應(yīng)力為縱坐標(biāo)，得到的曲線如圖2所示。從該圖可以看出，在第五次仿真后，該點應(yīng)力趨于收斂。第8次計算結(jié)果為120.31MPa，可以認(rèn)為它是精確解。

圖2 倒角處點的米塞斯應(yīng)力值

2 計算方法

對于上述問題，有限元軟件可以得到拐角處的精確解。但是當(dāng)拐角處倒角半徑為0時(尖點)，用有限元軟件計算，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果會一直增大，得不到收斂值。但是就實際情況而言，該點的值是客觀存在的，而且一定是一個收斂值。那么如何通過計算的方式得到該值呢?

有限元軟件對于尖點的應(yīng)力值求解是發(fā)散的，但是對于尖點一定距離處的點的應(yīng)力計算卻是收斂的，而尖點的應(yīng)力與周圍點的應(yīng)力應(yīng)該是連續(xù)的。基于這種考慮，可以根據(jù)尖點附近點的應(yīng)力來推算尖點處點的應(yīng)力值。

而從周圍點來估算尖點的應(yīng)力，有很多方法。本文提出三種方法來處理這種問題。

第一種方法:圓周應(yīng)力平均法。

此方法是以倒角處的點為圓心，分別以1、1.5、2、2.5為半徑作圓，分別細(xì)分網(wǎng)格6次求得應(yīng)力曲線圖，并考察這些圓周上的應(yīng)力值，最后平均，求得倒角處應(yīng)力值。

第二種方法:線段外推法。

此方法是以道交處的點為中心，畫6條偏角不同的線段，分別為 30°、45°、60°、90°、120°、150°。對這些線段分別細(xì)分網(wǎng)格7次求得應(yīng)力曲線圖，根據(jù)這些曲線的走勢，選取最收斂的那條曲線進行插值外推中心點的應(yīng)力值，即所求的倒角處的點應(yīng)力值。

第三種方法:變倒角半徑外推法。

此方法是將尖點處倒不同的角，倒角半徑分別為0.5 mm、0.6 mm、0.7 mm、0.8 mm、1 mm、1.2 mm;6種情況下計算尖點處的應(yīng)力值。將得到的6組數(shù)據(jù)進行分析，選取各組中最收斂的那條曲線進行三次樣條曲線插值外推中心點的應(yīng)力值，再與精確值作比較，最后得所求的尖點應(yīng)力值。

通過三種分析方法所得的結(jié)果進行比較，最后可以選擇一種最好的辦法來求解尖點的應(yīng)力值。

2.1 圓周應(yīng)力平均法

以倒角處點為圓心，如圖3所示。首先以半徑為1 mm的圓周開始，繪制出四個圓，半徑大小依次增大0.5 mm，并在圓周上6次細(xì)分網(wǎng)格，其中半徑為0的點即為本文要估算的點。

圖3 尖點圓心處四個不同半徑的圓

應(yīng)用有限元軟件對上述所繪的4個圓周進行有限元分析，并且依次細(xì)分網(wǎng)格6次，得到的應(yīng)力變化曲線如圖4—圖7所示(圖中橫坐標(biāo)S代表的是圓周上所有節(jié)點距離第一個節(jié)點的圓弧長度，B.C.D等字母表示的是劃分不同網(wǎng)格的次數(shù))。

圖4 半徑為1 mm圓周上的點應(yīng)力變化曲線

圖5 半徑為1.5 mm圓周上的點的應(yīng)力變化曲線

圖6 半徑為2 mm圓周上的點的應(yīng)力變化曲線

圖7 半徑為2.5 mm圓周上的點的應(yīng)力變化曲線

由圖4—圖7可以清楚看出4個不同半徑的圓周上所有節(jié)點的應(yīng)力變化情況。根據(jù)有限元原理，應(yīng)用平均值法可以從各圓周上的應(yīng)力值求得倒角處點的4種應(yīng)力結(jié)果，然后將得出的這些應(yīng)力與之前的精確值相比較得出相對誤差，如表1所示。

表1 圓周推算的應(yīng)力值

2.2 線段應(yīng)力外推法

如圖8所示，以計算的拐點為圓心，在直徑為5mm和直徑為20 mm的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)依次取6條線段，即從 30°開始，分別以 30°、45°、60°、90°、120°、150°為偏角，取6條線段。并且依次7次細(xì)分網(wǎng)格，最后讀取計算結(jié)果。結(jié)果如圖9—圖14所示(圖中的S代表的是線段上所有節(jié)點到起始第一個點的距離，B.C.D等字母表示的是劃分不同網(wǎng)格的次數(shù))。

圖8 6條偏角不同的線段

圖9 30°線段上的點的應(yīng)力變化曲線

圖10 45°線段上的點的應(yīng)力變化曲線

圖11 60°線段上的點的應(yīng)力變化曲線

圖12 90°線段上的點的應(yīng)力變化曲線

圖13 120°線段上的點的應(yīng)力變化曲線

圖14 150°線段上的點的應(yīng)力變化曲線

根據(jù)這些曲線進行分析，發(fā)現(xiàn)30°偏角時，第四次網(wǎng)格細(xì)分的時候，應(yīng)力收斂，通過第四次的曲線進行插值，最后用外推法可以求得尖點處的應(yīng)力值。同理可得，45°、60、90°、120°、150°的時候均是第四次或者第三次就已經(jīng)應(yīng)力收斂，相應(yīng)的可以插值求得應(yīng)力值，并與精確值相比較，得到相對誤差，其結(jié)果如表2所示。

表2 線段推算的應(yīng)力值

2.3 變倒角半徑應(yīng)力外推法

對圖1尖點處(圖中倒角R2處)進行6次不同半徑的倒角處理，倒角半徑大小依次為0.5 mm、0.6 mm、0.7 mm、0.8 mm、1 mm、1.2 mm。

在取6次不同倒角的情況下，均可以通過網(wǎng)格細(xì)分得到尖點的應(yīng)力值，經(jīng)仿真，其結(jié)果如表3所示。

表3 不同倒角推算的應(yīng)力值

根據(jù)表3給出的數(shù)據(jù)，應(yīng)用曲線插值尖點應(yīng)力，并繪制米塞斯應(yīng)力值與尖點處進行倒角半徑值的曲線關(guān)系圖，如圖15所示(圖中橫坐標(biāo)代表的是尖點處倒不同倒角的半徑大小，縱坐標(biāo)是米塞斯應(yīng)力值)。

圖15 尖點處不同倒角時的拐點應(yīng)力值

根據(jù)六組將尖點進行不同倒角時的拐點米塞斯應(yīng)力值，利用上圖給出的數(shù)據(jù)，根據(jù)三次樣條曲線插值尖點的應(yīng)力值，得出其值為154.90 MPa。

3 結(jié)果分析及討論

3.1 從表1的數(shù)據(jù)結(jié)果可以得知，當(dāng)半徑不斷增大時，試驗所得的應(yīng)力值越來越偏離精確值，但是當(dāng)半徑為1.5 mm的時候，應(yīng)力值卻最接近精確值。半徑由小及大遠(yuǎn)離和接近1.5 mm時，試驗值越來越偏離精確值，且誤差越來越大。

3.2 從表2的數(shù)據(jù)結(jié)果可以得知，當(dāng)角度越大時，試驗所得的應(yīng)力值數(shù)據(jù)越來越接近精確值，當(dāng)偏角為90°的時候，應(yīng)力值卻最接近精確值，誤差最小。但是當(dāng)偏角大于90°且不斷增大的時候，試驗值越來越偏離精確值，且誤差越來越大?？梢钥闯?，沿尖點縱向方向，尖點應(yīng)力變化梯度確實是應(yīng)力變化最大的地方。

3.3 從表3的數(shù)據(jù)結(jié)果可以得知，倒角越小越接近真實值，但是當(dāng)?shù)菇且欢ㄐ〉臅r候，應(yīng)力值卻無限大，反而計算誤差很大。當(dāng)用樣條曲線插值的時候，發(fā)現(xiàn)0半徑即尖點處的應(yīng)力值為154.90 Mpa。

3.4 綜合比較上述三種方法的計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)用第一種方法中半徑為1.5 mm的圓周節(jié)點應(yīng)力值推算的尖點應(yīng)力值是最接近真實值的;用第二種方法中90°偏角線段的時候同樣也是可以推算的，只是誤差稍微大點。當(dāng)然，第三種方法誤差最大，此法不宜。

4 結(jié)論

4.1 就此例子而言，第一種方法中，當(dāng)半徑為1.5 mm的圓時，用圓周上節(jié)點的應(yīng)力值去加權(quán)平均，得到的應(yīng)力值是最接近尖點真實值的，誤差最小。

4.2 可以通過對倒角附近一定范圍的節(jié)點的收斂應(yīng)力，用加權(quán)平均或者外推的方法來估算拐角處點的應(yīng)力值。

4.3 一般情況下，越接近尖點就越能得到收斂的應(yīng)力值。

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