【摘要】針對到達時間差算法的定位精度易受監(jiān)控區(qū)域地質條件和周圍環(huán)境等因素的影響而不能滿足威脅評估所需的目標定位精度的問題，提出了基于最小二乘法的泰勒級數(shù)展開的定位算法來提高振動目標的定位精度，該算法使用最小二乘算法估計振動初始位置，通過泰勒級數(shù)展開算法得到振動坐標。實驗結果表明：改進的到達時間差定位算法提高了定位精度、增強了抗干擾能力。

【關鍵詞】到達時間差;最小二乘法;泰勒級數(shù)展開;定位算法

引言

威脅評估[1]（Threat Assessment）已廣泛地應用于防線、重要目標（如基地、軍事設施、橋梁、監(jiān)獄等）、重要地區(qū)（如古墓遺址、博物館、銀行金庫等）等領域。在振動目標的威脅評估研究中，振動目標的定位精度直接決定著威脅評估的準確性。振動目標的定位有有源定位和無源定位兩種方法，無源定位以其探測距離遠，隱蔽性好，成本低廉等優(yōu)點[2]成為目標定位的首選。到達時間差定位是無源定位技術中常用的一種方法，但在實際應用中其定位精度受到監(jiān)控區(qū)域地質條件、時鐘采樣周期以及周圍環(huán)境干擾的影響，使得定位性能有所下降，不能滿足威脅評估所需的定位精度。因此，本文提出了基于最小二乘法的泰勒級數(shù)展開的定位算法來提高振動目標的定位精度。

1.基于三角形陣列的TODA定位算法

本文以等腰直角三角形振動傳感器陣列為例，采用TDOA定位技術對其振動目標的定位進行研究。TDOA定位（Time Difference Of Arrival，TDOA）主要是通過比較多個不同傳感器采集到同一目標信號的到達時間不同，來對目標進行定位[3]。TDOA法主要分為兩步：第一步是確定各個信號之間的時間延遲;第二步是根據延遲時間確定目標信號的位置。

等腰直角三角形振動傳感器陣列布置如圖1所示，其中S表示振動目標，M1、M2、M3分別表示三個振動傳感器。設其陣邊長為d，則陣元坐標分別為M1（0，0）、M2（d，0）、M3（0，d），令tij（1≤i，j≤3）表示振動目標S到達陣元i與陣元j的時間差，相應的振動目標S到達陣元i與陣元j的距離差。假設振動目標坐標為S（x，y），振動波沿直線傳播，其傳播速度是常數(shù)v，則有。

圖1 等腰直角三角形傳感器陣

圖2 振源定位示意圖

由圖1可得：

方程組中的每個方程都是雙曲線的一支，其交點就是目標點。

令，可得：

（2）

其中：

進而可以得出y的值，即采用此法可以對振動目標的位置進行二維定位。

2.基于最小二乘法的泰勒級數(shù)展開的TDOA定位算法

Friedlander、Schsu等人雖提出了基于最小二乘（LS）的定位求解算法，但給出的是次最優(yōu)解。Chan采用二重最小二乘算法給出了定位方程組的非迭代閉式解，在TDOA測量誤差比較小時，具有最優(yōu)估計性能，但隨著TDOA測量誤差的增加，該算法性能迅速下降[4][5]。

泰勒級數(shù)展開算法[6]是求解非線性方程的有效方法，具有精度高、頑健性強等特點。但是它要求迭代運算的初始值必須具有一定的準確度才能夠保證比較快的收斂速度，而且算法是否收斂與振動的初始位置有關。本文使用最小二乘算法估計振動初始位置，然后通過泰勒級數(shù)展開算法得到振動坐標。圖2建立了一個以特定基點為坐標原點（0，0）的二維坐標系。設已知N個接收傳感器在此坐標系中的坐標為（i=0，1，2，…，N-1），振動到N個接收傳感器的距離值為ri（i=0，1，2，…，N-1）。假定振動發(fā)出信號的傳播速度為常數(shù)c，表示振動到第i個接收傳感器與到第0個接收傳感器之間的時間差，ri0表示振動到第i個接收傳感器與到第0個接收傳感器之間的距離差，則ri，0=ri-r0。則可建立N-1個定位方程為：

（3）

其中：，，i=1， 2，…，N-1。

2.1 泰勒級數(shù)展開算法

對于一組TDOA測量值，根據選定的初值x（0），y（0），對方程（3）進行泰勒級數(shù)展開并忽略二階以上分量，得到：

（4）

其中：

對式（4）采用最小二乘算法（LS），可以得到的最小二乘估計，其中，Q為TDOA測量值的協(xié)方差矩陣。

2.2 基于最小二乘的初始坐標選擇算法

由上面的分析過程可以看出，泰勒級數(shù)展開后迭代過程是否收斂以及收斂速度的快慢直接決定于初始坐標（x（0），y（0））的選擇。對此，本文使用最小二乘算法來估計振動的初始坐標。根據文獻[7]推導的結果，可以得到如下線性方程組：

（5）

其中：i=1，2，…，N-1

將方程組轉化為矩陣形式為：GX=S

其中：

利用最小二乘法得到初始位置：

3.實驗結果及分析

實驗中傳感器分布示意圖如圖3示，5個傳感器陣元組成的五元十字陣，采用100m左右的不規(guī)則陣，其接收傳感器的坐標分別為：B0（0，0），B1（0，10），B2（-10，0），B3（0，-10），B4（10，0）;與TDOA測量值誤差相對應的距離誤差的均方差為，實驗中取=2m，Δ=0.5m。

圖3 傳感器分布示意圖

圖4 TDOA誤差對算法精度的影響

圖5 兩種算法的定位軌跡與振源軌跡的逼近程度

定位精度是衡量定位系統(tǒng)好壞以及算法有效性的重要指標，因此用定位結果的均方根誤差來表示定位精度，其中（x'，y'）表示振動的實際坐標，（x，y）表示算法的定位結果。

分兩種情況：其中A為TDOA算法;B為改進算法。

（1）設振動的實際坐標為S（5，8），改變TDOA測量誤差對應的距離誤差的均方差，得到的曲線如圖4所示。從曲線的變化趨勢可以看出，隨著的增大，算法A和B的定位誤差逐漸增大。在各種誤差均方根的情況下，算法B的定位精度要高于算法A，并且算法B的定位誤差隨著上升的速度比算法A要慢。

（2）設振動沿y=20的軌跡作勻速運動，x的取值范圍為0-60m，取樣間隔為10m，TDOA測量誤差對應的距離誤差的均方差=0.5m。軌跡如圖5所示。從圖中可以看出，算法B的軌跡更逼近實際軌跡。

4.結束語

改進的到達時間差定位算法，使用最小二乘算法估計振動初始位置，然后通過泰勒級數(shù)展開算法得到振動坐標，避免了人為設定初始值造成泰勒級數(shù)展開法的不收斂，減小了TDOA測量值誤差對定位精度的影響，比基于TDOA的三角形振動傳感器陣列定位算法的精度要高、抗干擾能力要強。因此，基于最小二乘法的泰勒級數(shù)展開來改進TDOA定位算法對于提高定位精度是有效的，為準確評估監(jiān)控區(qū)域內振動目標的威脅提供了更為精確的目標定位。

作者簡介：曾川（1981—），男，現(xiàn)供職于武警警官學院信息工程系，研究方向：無線數(shù)據通信、電子技術應用。