【摘要】針對到達(dá)時間差算法的定位精度易受監(jiān)控區(qū)域地質(zhì)條件和周圍環(huán)境等因素的影響而不能滿足威脅評估所需的目標(biāo)定位精度的問題，提出了基于最小二乘法的泰勒級數(shù)展開的定位算法來提高振動目標(biāo)的定位精度，該算法使用最小二乘算法估計振動初始位置，通過泰勒級數(shù)展開算法得到振動坐標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：改進(jìn)的到達(dá)時間差定位算法提高了定位精度、增強(qiáng)了抗干擾能力。

【關(guān)鍵詞】到達(dá)時間差;最小二乘法;泰勒級數(shù)展開;定位算法

引言

威脅評估[1]（Threat Assessment）已廣泛地應(yīng)用于防線、重要目標(biāo)（如基地、軍事設(shè)施、橋梁、監(jiān)獄等）、重要地區(qū)（如古墓遺址、博物館、銀行金庫等）等領(lǐng)域。在振動目標(biāo)的威脅評估研究中，振動目標(biāo)的定位精度直接決定著威脅評估的準(zhǔn)確性。振動目標(biāo)的定位有有源定位和無源定位兩種方法，無源定位以其探測距離遠(yuǎn)，隱蔽性好，成本低廉等優(yōu)點(diǎn)[2]成為目標(biāo)定位的首選。到達(dá)時間差定位是無源定位技術(shù)中常用的一種方法，但在實(shí)際應(yīng)用中其定位精度受到監(jiān)控區(qū)域地質(zhì)條件、時鐘采樣周期以及周圍環(huán)境干擾的影響，使得定位性能有所下降，不能滿足威脅評估所需的定位精度。因此，本文提出了基于最小二乘法的泰勒級數(shù)展開的定位算法來提高振動目標(biāo)的定位精度。

1.基于三角形陣列的TODA定位算法

本文以等腰直角三角形振動傳感器陣列為例，采用TDOA定位技術(shù)對其振動目標(biāo)的定位進(jìn)行研究。TDOA定位（Time Difference Of Arrival，TDOA）主要是通過比較多個不同傳感器采集到同一目標(biāo)信號的到達(dá)時間不同，來對目標(biāo)進(jìn)行定位[3]。TDOA法主要分為兩步：第一步是確定各個信號之間的時間延遲;第二步是根據(jù)延遲時間確定目標(biāo)信號的位置。

等腰直角三角形振動傳感器陣列布置如圖1所示，其中S表示振動目標(biāo)，M1、M2、M3分別表示三個振動傳感器。設(shè)其陣邊長為d，則陣元坐標(biāo)分別為M1（0，0）、M2（d，0）、M3（0，d），令tij（1≤i，j≤3）表示振動目標(biāo)S到達(dá)陣元i與陣元j的時間差，相應(yīng)的振動目標(biāo)S到達(dá)陣元i與陣元j的距離差。假設(shè)振動目標(biāo)坐標(biāo)為S（x，y），振動波沿直線傳播，其傳播速度是常數(shù)v，則有。

圖1 等腰直角三角形傳感器陣

圖2 振源定位示意圖

由圖1可得：

方程組中的每個方程都是雙曲線的一支，其交點(diǎn)就是目標(biāo)點(diǎn)。

令，可得：

（2）

其中：

進(jìn)而可以得出y的值，即采用此法可以對振動目標(biāo)的位置進(jìn)行二維定位。

2.基于最小二乘法的泰勒級數(shù)展開的TDOA定位算法

Friedlander、Schsu等人雖提出了基于最小二乘（LS）的定位求解算法，但給出的是次最優(yōu)解。Chan采用二重最小二乘算法給出了定位方程組的非迭代閉式解，在TDOA測量誤差比較小時，具有最優(yōu)估計性能，但隨著TDOA測量誤差的增加，該算法性能迅速下降[4][5]。

泰勒級數(shù)展開算法[6]是求解非線性方程的有效方法，具有精度高、頑健性強(qiáng)等特點(diǎn)。但是它要求迭代運(yùn)算的初始值必須具有一定的準(zhǔn)確度才能夠保證比較快的收斂速度，而且算法是否收斂與振動的初始位置有關(guān)。本文使用最小二乘算法估計振動初始位置，然后通過泰勒級數(shù)展開算法得到振動坐標(biāo)。圖2建立了一個以特定基點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的二維坐標(biāo)系。設(shè)已知N個接收傳感器在此坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（i=0，1，2，…，N-1），振動到N個接收傳感器的距離值為ri（i=0，1，2，…，N-1）。假定振動發(fā)出信號的傳播速度為常數(shù)c，表示振動到第i個接收傳感器與到第0個接收傳感器之間的時間差，ri0表示振動到第i個接收傳感器與到第0個接收傳感器之間的距離差，則ri，0=ri-r0。則可建立N-1個定位方程為：

（3）

其中：，，i=1， 2，…，N-1。

2.1 泰勒級數(shù)展開算法

對于一組TDOA測量值，根據(jù)選定的初值x（0），y（0），對方程（3）進(jìn)行泰勒級數(shù)展開并忽略二階以上分量，得到：

（4）

其中：

對式（4）采用最小二乘算法（LS），可以得到的最小二乘估計，其中，Q為TDOA測量值的協(xié)方差矩陣。

2.2 基于最小二乘的初始坐標(biāo)選擇算法

由上面的分析過程可以看出，泰勒級數(shù)展開后迭代過程是否收斂以及收斂速度的快慢直接決定于初始坐標(biāo)（x（0），y（0））的選擇。對此，本文使用最小二乘算法來估計振動的初始坐標(biāo)。根據(jù)文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)的結(jié)果，可以得到如下線性方程組：

（5）

其中：i=1，2，…，N-1

將方程組轉(zhuǎn)化為矩陣形式為：GX=S

其中：

利用最小二乘法得到初始位置：

3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)中傳感器分布示意圖如圖3示，5個傳感器陣元組成的五元十字陣，采用100m左右的不規(guī)則陣，其接收傳感器的坐標(biāo)分別為：B0（0，0），B1（0，10），B2（-10，0），B3（0，-10），B4（10，0）;與TDOA測量值誤差相對應(yīng)的距離誤差的均方差為，實(shí)驗(yàn)中取=2m，Δ=0.5m。

圖3 傳感器分布示意圖

圖4 TDOA誤差對算法精度的影響

圖5 兩種算法的定位軌跡與振源軌跡的逼近程度

定位精度是衡量定位系統(tǒng)好壞以及算法有效性的重要指標(biāo)，因此用定位結(jié)果的均方根誤差來表示定位精度，其中（x'，y'）表示振動的實(shí)際坐標(biāo)，（x，y）表示算法的定位結(jié)果。

分兩種情況：其中A為TDOA算法;B為改進(jìn)算法。

（1）設(shè)振動的實(shí)際坐標(biāo)為S（5，8），改變TDOA測量誤差對應(yīng)的距離誤差的均方差，得到的曲線如圖4所示。從曲線的變化趨勢可以看出，隨著的增大，算法A和B的定位誤差逐漸增大。在各種誤差均方根的情況下，算法B的定位精度要高于算法A，并且算法B的定位誤差隨著上升的速度比算法A要慢。

（2）設(shè)振動沿y=20的軌跡作勻速運(yùn)動，x的取值范圍為0-60m，取樣間隔為10m，TDOA測量誤差對應(yīng)的距離誤差的均方差=0.5m。軌跡如圖5所示。從圖中可以看出，算法B的軌跡更逼近實(shí)際軌跡。

4.結(jié)束語

改進(jìn)的到達(dá)時間差定位算法，使用最小二乘算法估計振動初始位置，然后通過泰勒級數(shù)展開算法得到振動坐標(biāo)，避免了人為設(shè)定初始值造成泰勒級數(shù)展開法的不收斂，減小了TDOA測量值誤差對定位精度的影響，比基于TDOA的三角形振動傳感器陣列定位算法的精度要高、抗干擾能力要強(qiáng)。因此，基于最小二乘法的泰勒級數(shù)展開來改進(jìn)TDOA定位算法對于提高定位精度是有效的，為準(zhǔn)確評估監(jiān)控區(qū)域內(nèi)振動目標(biāo)的威脅提供了更為精確的目標(biāo)定位。

作者簡介：曾川（1981—），男，現(xiàn)供職于武警警官學(xué)院信息工程系，研究方向：無線數(shù)據(jù)通信、電子技術(shù)應(yīng)用。