鄭恩興 張威 劉冉冉

【摘要】本文針對一類非均勻采樣數(shù)據(jù)Hammerstein非線性系統(tǒng)，提出一種隨機(jī)梯度算法。該算法首先基于提升技術(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，通過重新參數(shù)化，將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化待辨識模型，并利用平均法分離出系統(tǒng)參數(shù)。仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提算法的有效性。

【關(guān)鍵詞】參數(shù)估計(jì);隨機(jī)梯度;Hammerstein系統(tǒng);過參數(shù)化

1.引言

在工業(yè)過程中，為了保證產(chǎn)品的質(zhì)量和生產(chǎn)操作的連續(xù)平穩(wěn)，需要對與品質(zhì)密切相關(guān)的過程變量進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)視和控制。然而在實(shí)際過程中存在一大類變量無法或難以在線直接檢測，如化學(xué)反應(yīng)器中反應(yīng)物濃度、分餾塔產(chǎn)品組分濃度、產(chǎn)品分布等。為了解決此類變量的測量，眾多學(xué)者與專家提出利用軟測量技術(shù)對其估計(jì)與控制[1-3]。在軟測量建模中，模型的準(zhǔn)確性與精度決定軟測量模型對變量估計(jì)的成敗。數(shù)據(jù)驅(qū)動模型是利用輸入輸出數(shù)據(jù)所提供的信息來建立過程的數(shù)學(xué)模型，這種建模方法又稱為“辨識”，由于不需要知道過程的機(jī)理知識，只利用歷史數(shù)據(jù)就可達(dá)到滿意的辨識效果，已經(jīng)吸引眾多學(xué)者關(guān)注，且廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際中。非均勻采樣系統(tǒng)普遍存在于現(xiàn)實(shí)工業(yè)生產(chǎn)中[4]，當(dāng)系統(tǒng)的輸入通道或輸出通道的采樣呈現(xiàn)不等時(shí)間間隔時(shí)就得到非均勻采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)[5，6]。針對輸入非均勻周期刷新和輸出周期采樣的非均勻采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[7]利用遞歸最小二乘算法及遞歸廣義最小二乘算法對非均勻采樣BOX JENKINS系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，文獻(xiàn)[8]利用遞階辨識原理將高維參數(shù)向量的模型分為一組低維參數(shù)向量的子模型，利用最小二乘算法分別辨識。文獻(xiàn)[9]針對一類非均勻采樣多慮系統(tǒng)基于輔助模型方法提出一種最小二乘算法對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。最小二乘算法雖然原理簡單，收斂速度快，但是由于要求逆矩陣，因此計(jì)算量很大，且上述算法都是針對非均勻采樣方式下線性系統(tǒng)的辨識。

為此，本文進(jìn)一步考慮實(shí)際生產(chǎn)中的非線性特性，借助梯度搜索原理，推導(dǎo)出辨識非均勻采樣數(shù)據(jù)Hammerstein非線性系統(tǒng)的辨識算法，不僅計(jì)算量小，而且適于在線辨識。

2.問題描述

Hammerstein模型由一非線性增益后接一線性子系統(tǒng)組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 非均勻采樣數(shù)據(jù)Hammerstein非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)離散采樣輸入數(shù)據(jù)u（kT+ti）經(jīng)非線性模塊后輸出信號，連續(xù)時(shí)間過程模塊Pc的輸入由離散時(shí)間輸入序列經(jīng)非均勻零階保持器產(chǎn)生，當(dāng)無噪聲干擾時(shí)，Pc輸出y（t）經(jīng)周期為T2的采樣器ST2得到可測輸出序y（kT+T）。

非線性模塊可表示為已知基的多項(xiàng)式形式，即：

（1）

其中為已知基函數(shù)，系數(shù)未知。

在周期[kT，kT+T]上，非均勻零階保持器控制輸入非均勻刷新m次，即控制系統(tǒng)輸入信號u非均勻刷新m次，時(shí)間間隔為，若設(shè)，為簡單起見，設(shè)t0=0，則輸入刷新時(shí)刻點(diǎn)為t=kT+ti，系統(tǒng)框架周期為，經(jīng)提升技術(shù)處理后的特性為：

（2）

若圖1中的連續(xù)時(shí)間過程模塊Pc的狀態(tài)空間模型為：

（3）

式中為狀態(tài)向量，為系統(tǒng)輸出，為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣。非均勻刷新的輸入數(shù)據(jù)為，周期采樣的輸出數(shù)據(jù)為y（kT），與關(guān)系如式。利用文獻(xiàn)[10，11]方法，以周期T離散化系統(tǒng)，并引入白噪聲，得：

（4）

其中z-1為單位后移因子，即，

（5）

則非均勻采樣數(shù)據(jù)Hammerstein非線性系統(tǒng)線性部分參數(shù)向量a，b及非線性部分參數(shù)向量c分別為：

（6）

其中：

（7）

則系統(tǒng)參數(shù)向量：

3.隨機(jī)梯度算法

定義模型的信息向量及參數(shù)向量分別為：

（8）

其中：

（9）

（10）

（11）

（12）

則式可寫為：

（13）

定義準(zhǔn)則函數(shù)為：

由于式中的信息向量所含變量都是可測的，根據(jù)隨機(jī)梯度搜索原理，最小化準(zhǔn)則函數(shù)，可得辨識非均勻采樣數(shù)據(jù)Hammerstein非線性系統(tǒng)CAR模型參數(shù)的隨機(jī)梯度算法（Stochastic Gradient algorithm，SG）算法：

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

所提算法辨識出模型的參數(shù)并不是系統(tǒng)參數(shù)，因此需要從所提算法辨識出的模型參數(shù)中分離出系統(tǒng)參數(shù)。從參數(shù)的構(gòu)成中我們可以看出對任意的非零系數(shù)，和總能產(chǎn)生相同的輸入輸出結(jié)果，也就是說，任何辨識算法都不能區(qū)分和的不同，為保證參數(shù)辨識的唯一性，必須固定cj或bi中一個(gè)參數(shù)，為此提出一些解決方法[12-14]，在本文中做如下假設(shè)。

假設(shè)1：第一個(gè)系數(shù)為1[15]，即c1=1。

基于假設(shè)1，參數(shù)向量的估計(jì)值分別為模型參數(shù)中、、，個(gè)向量元素。而非線性模塊的靜態(tài)參數(shù)在向量cjbi中由于被反復(fù)估計(jì)nb次，為了提高估計(jì)精度，本文采用文獻(xiàn)[16，17]中的平均法從乘積項(xiàng)中分離出非線性系統(tǒng)參數(shù)ci，即：

至此，辨識出系統(tǒng)參數(shù)向量。

4.結(jié)論

本文針對非均勻采樣數(shù)據(jù)Hammerstein非線性系統(tǒng)，提出一種基于過參數(shù)化的隨機(jī)梯度算法，所提算法能夠有效實(shí)現(xiàn)對非均勻非線性系統(tǒng)的辨識。該算法可結(jié)合其他參數(shù)辨識方法，用于Wiener系統(tǒng)、Hammerstein-Wiener系統(tǒng)及Wiener-Hammerstein系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)、狀態(tài)識別及故障診斷中。

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作者簡介：鄭恩興，男，天津人，大學(xué)本科，湖北工業(yè)大學(xué)工程碩士研究生在讀，常州劉國鈞高等職業(yè)學(xué)校講師，從事控制理論與控制工程方面的研究。