許建軍

摘 要：本文利用相似三角形，證明粘性土和無粘性土的極限平衡條件，比傳統(tǒng)的證明方法大為簡化而且比較直觀。

關(guān)鍵詞：極限平衡條件 相似三角形 證明

一、 引言

土的極限平衡條件是土力學(xué)中最基本的公式之一。它是反映土的抗剪強(qiáng)度的重要公式。著名的朗金土壓力理論，就是根據(jù)半空間內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)和土的極限平衡條件得出的土壓力計算方法。

土力學(xué)方面的書籍一般都給出了土的極限平衡條件的證明，這些證明大同小異，都要經(jīng)過復(fù)雜的三角函數(shù)變換[1][2]。本文利用三角形相似證明土的極限平衡條件不僅簡單而且比較直觀。

二、典型的證明（參見附圖二）

中國建筑工業(yè)出版社1991年11月第二版的《地基及基礎(chǔ)》（華南工學(xué)院，南京工學(xué)院，浙江大學(xué)，湖南大學(xué)，合編），給出了典型的證明。

AD = O'D ×sinф

因 AD =1/2（σ1+σ3）

O'D =C/tgф+1/2（σ1+σ3）

故 1/2（σ1+σ3） =【C/tgф+1/2（σ1+σ3）】×sinф

簡化后得：

σ1 = σ3×（1+sinф）/（1-sinф） + 2C×cosф/（1-sinф）

由三角函數(shù)可以證明：

（1+sinф）/（1-sinф）= tg2（45 ?+ф/2）

（1-sinф）/（1+sinф）= tg2（45 ?-ф/2）

代人上式得粘性土的極限平衡條件：

σ1 = σ3tg2（45?+ф/2） + 2Ctg（45?+ф/2）

σ3 = σ1tg2（45?-ф/2） + 2Ctg（45?-ф/2）

對于無粘性土，由于 C = 0

σ1 = σ3tg2（45?+ф/2）

σ3 = σ1tg2（45?-ф/2）

即為無粘性土的極限平衡條件。

本人當(dāng)年讀書時，就感覺三角函數(shù)變換太突然，就像變魔術(shù)一樣！

有些土力學(xué)方面的書籍給出了更加詳細(xì)的證明，單單是三角函數(shù)變換就長達(dá)一頁紙。三角函數(shù)變換太復(fù)雜，就讓人感覺太神秘，結(jié)論太突然，不那么可信。

本人經(jīng)多年努力，發(fā)現(xiàn)利用三角形相似證明土的極限平衡條件，更簡單，更直觀。比如無粘性土的極限平衡條件，利用三角形相似證明，不僅是簡單明了，而且物理意義更加明確。完全不必復(fù)雜的神秘的三角函數(shù)變換！

三、無粘性土的極限平衡條件的證明（參見附圖一）

∵ ∠AOF共用， ∠OAB=∠OFA（圓切角=圓周角）

∴ ΔOAF∽ΔOAB

于是有： OF/OA=OA/OB=AF/AB

可 得： OF=AF/AB×OA=（AF/AB）2×OB

∵ ∠ADF=∠DAO +∠DOA 即2α = 90?+ф

∴ α= 45? + ф/2

∵ AF/AB = tg∠ABF = tgα

∵ OF =σ1 ； OB = σ3 ；

∴ σ1 = σ3 tg2（45 ?+ф/2）

即為無粘性土的極限平衡條件。

四、粘性土的極限平衡條件的證明（參見附圖二）

∵ ∠AO'F共用， ∠O'AB=∠O'FA（圓切角=圓周角）

∴ ΔO'AF∽ΔO'AB

于是有：O'F/O'A=O'A/O'B=AF/AB

可 得：O'F=（AF/AB）2×O'B

∵∠ADF=∠DAO'+∠DO'A

即2α= 90?+ф

∴ α= 45? + ф/2

∵ AF/AB = tgα

∵ O'F=σ1+ C/tgф

O'B=σ3 + C/tgф

∴ （σ1+ C/tgф） = （ σ3 + C/tgф） tg2（45 ?+ф/2）

即：σ1 = σ3 tg2（45?+ф/2） + C/tgф[ tg2（45 ?+ ф/2）–1]

∵ 1/tgф=–tg（90 ?+ф）

= 2tg（45 ?+ф/2）/[ tg2（45? +ф/2）–1]

∴ σ1 = σ3tg2（45?+ф/2） + 2Ctg（45?+ф/2）

即粘性土的極限平衡條件。

附圖一 附圖二

參考文獻(xiàn)

[1] 《地基及基礎(chǔ)》中國建筑工業(yè)出版社1991年11月第二版P123，P124

[2] 《土力學(xué)及基礎(chǔ)工程》陳希哲主編 中央廣播電視大學(xué)出版社1995年10月第一版P128-P130。