梁宇衡 鄭頂東 鄧慈貴 朱慧靈

【摘要】本文對正多面體的Dehn不變量進行了簡要的分析，并用因子分解的性質(zhì)證明了正六面體無法通過有限分割的方法重組為等體積的其他正多面體，推廣了Dehn對希爾伯特第三問題的解答，并進行了更深入的研究.

【關鍵詞】正多面體;Hilbert第三個問題;Dehn不變量

【中圖分類號】O181

MSC2010：51-06

前言

1900年，德國數(shù)學家David Hilbert在國際數(shù)學家大會上發(fā)表了23個重要的數(shù)學問題.其中第三個問題（任意兩個等體積的多面體能否通過分割成有限塊再重新拼接組合的方法將一個多面體變成另一個多面體）很快就被Hilbert的學生Dehn舉出反例解決了.我們將沿用Dehn的不變量方法證明以下命題：

定理：正六面體無法通過有限次的分割重拼組合成其余四個正多面體.

定義1：若兩個多面體可以通過分割成有限塊再重新拼接組合的方法從一個變成另外一個，則稱這兩個多面體剖分相等.

定義2：設多面體P有n條邊，邊長分別為l1，l2，…，ln，其對應的二面角弧度分別為α1，α2，…，αn.我們將多面體P的Dehn不變量定義為l1α1+l2α2+…+lnαn.

Dehn不變量有以下性質(zhì)：

①lα1+lα2=l（α1+α2），l1α+l2α=（l1+l2）α.

②對于任意的非零整數(shù)n，m，有nm·lα=lnm·α

③全體Dehn不變量組成的集合對加法構(gòu)成交換幺半群.

④lπ=0.

引理1：兩個多面體剖分相等當且僅當其Dehn不變量相等.

證明：由性質(zhì)①可以知道，分割與拼接的操作并不會影響Dehn不變量的值，即Dehn不變量是對多面體進行重組時的幾何不變量，因此如果兩個多面體剖分相等，它們的Dehn不變量一定相等.

引理2：lα1=lα2的充要條件是存在非零整數(shù)n，m使得α1-α2=nmπ.

證明：lα1=lα2lα1-lα2=lα1-α2=0=lnmπ

α1-α2=nmπ.

推論1：lα=0當且僅當存在非零整數(shù)n，m使得mα=nπ.

命題1：正六面體的Dehn不變量為0，而正四面體、正八面體、正十二面體與正二十面體的Dehn不變量均不為0.

證明：①正六面體的Dehn不變量D6為12sπ2，其中s為正六面體的邊長.由性質(zhì)②與性質(zhì)④得到D6=0.

②邊長全為1的正四面體的Dehn不變量D4為6α1，其中cosα1=13.

設D4=0，則由推論1有非零整數(shù)n，m滿足mα1=nπ且（n，m）=1.

∵enπi=ema1i=（cosα1+isinα1）m=13+22i3m=1-2i1+2im，

而enπi=（-1）n=±1，

∴（1-2i）m=±（1+2i）m.（1）

③邊長全為1的正八面體的Dehn不變量D8為12α2，其中cosα2=-13.

設D8=0，同理于②可推出存在非零整數(shù)m滿足±1=-13+22i3m=1+2i1-2im，

由于{1}不可能成立，所以矛盾.

④邊長全為1的正十二面體的Dehn不變量D12為30α，其中cosα=-55.

設D12=0，則同理于②得到存在非零整數(shù)m使得±1=-55+255im，

∴-35-45im=-55+255i2m=11-2i1+2im=1.

于是我們得到1-2im=1+2im.（2）

2+5im=-2+5im（3）

推出矛盾，因此要另作討論.

易知2+5i和-2+5i包含的最小正整數(shù)均為9，所以2+5i和-2+5i的素理想因子必為32=（3）2的素理想因子.

2+5i=p22=3，1-5i2，

-2+5i=p21=3，1+5i2.

由此得到

2+5im=2+5im=p22m與-2+5im=-2+5im=p12m

由命題1與引理1即可得到以下結(jié)論：

命題2：正六面體與正四面體、正八面體、正十二面體及正二十面體不剖分相等.

【參考文獻】

[1] 張廣祥.數(shù)學思想十講[M].北京：科學出版社，2013.

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[3] 加藤和也，黑川信重，齊藤毅.數(shù)論I——Fermat的夢想和類域論[M].胥鳴偉，印林生，譯.北京：高等教育出版社，2009：85～134.

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