張海霞

一、談話引入

乒乓球的大小和輕重對旋轉、力度影響明顯。國際比賽對比賽用球有嚴格的標準：直徑40毫米、重2.7克。馬上就要比賽了，可是有一個比國際標準輕一些的次品球混入了三個球里面？從這3個球中找出這個次品，你有什么簡便的辦法嗎？

二、設置問題，建立模型

1.初步建立基本思維模型

師：如果用天平秤來稱，至少稱幾次可以找出這個次品呢？

師：誰來說說至少要稱幾次才能找到？

生：1次、2次。

師：（問1次的學生）你見過天平秤嗎？

生：見過。

師：如果天平秤左右兩邊不平呢？

生：如果是這種情況，高的那一盤就是次品。

師：大家看明白了嗎？剛才這位同學在天平的左右兩邊各放1球，如果平衡了，次品在哪？

生：剩下的那一個。

師：如果天平不平衡呢？

生：翹起的那一個。

師：不管是哪一種情況，幾次就可以找到次品？

生：1次。

師：果然1次就可以找到次品是哪一個了。

師：天平只有兩個盤，我們這么一放，就把這3個球分成了幾份？

生：3份。

師：哪3份？

生：天平兩邊和外邊。

師：這種稱法如果用數(shù)學符號簡單地記錄下來，天平的兩邊各放1個記為（1，1），外邊還有1個記為（1，1）1

板書：3——（1，1）1

師：是的，稱1次可以判斷兩盤的輕重，還可以判斷外邊的輕重。這外邊的我們可以看作天平的隱形的第三個盤。

2．引導猜想，激發(fā)探究欲望

師：如果不是3個，這個次品混入了81個球里面。如果81瓶球里也有1瓶次品（輕），用天平秤稱，至少幾次才能保證找到次品球呢？請你猜一猜！

三、組織探究

1.第一次探究

師：請先獨立思考，請看探究提示（課件出示探究提示一：從5個球中找次品）。開始吧！

師：誰來說一說至少幾次保證能找到？

生：1次，2次，3次，……

師：你是怎么稱的？

生1：我在天平左右兩邊各放1個，如果有翹起，就找到了。

師：你的運氣真好！這種情況是有可能的，但能保證嗎？（生：不能）如果天平平衡呢？“保證找到”就不能只考慮運氣好的時候，必須考慮運氣不好的情況下也能找到。

師：有補充嗎？

生2：我也在天平左右兩邊各放1個，如果平衡了，說明這兩個中沒有次品；就從剩下的3個中再任意選兩個放在天平的左右兩邊，如果平衡了，剩下的那個就是次品，如果有一邊翹起，翹起的那端就是次品。一共稱了2次。

師：他的方法可行嗎？

生:可行。

師：誰來把這個方法再說一次。這么一放，把5個球分成了幾份？找到次品了嗎？（生：沒有）但是我們縮小了找次品的范圍。接下來我們在幾個里面找次品？剩下的3瓶中再找1瓶次品，我們有經(jīng)驗嗎？（生：有）要幾次。（1次，課件出示（1,1）1），一共就是2次。

師：把保證找到次品的方法用數(shù)學符號記錄下來？

生：5——（1，1）3

師：有沒有不一樣的稱法？

生：我在天平左右兩邊各放2瓶，如果平衡了，說明這兩瓶中沒有次品，剩下的那瓶就是次品，但這不能保證。如果有一邊翹起（不平衡），說明次品在翹起的那一端里，然后再把翹起那一盤的2個放在天平左右兩邊，再稱一次，一定可以找到。一共稱了2次。

2.第二次探究

師：5個我們研究過了，81個還差得遠呢。接下來我們分兩組。我們分兩個組來研究左邊的同學研究8瓶，右邊的同學研究9瓶好不好？（學生合作探究，并填表）

師：先來看9個的稱法。

師：（展示學生的表格）有沒有不同的想法？我們把他們的稱法有序地整理一下。

師：這四種稱法中，那種稱法，保證找出次品的次數(shù)最少？

生：第三種。

師：為什么呢？我們一起來看。這種稱法，第一次分成了那3份，稱了過后我們排除了幾份？（2份）最少排除了幾瓶？（5瓶）次品鎖定在幾瓶里面？其他的呢？（舉例第二種和第四種）通過剛才的比較你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：稱一次，排除的越多，次品鎖定的范圍就越小，稱的次數(shù)肯定也少。

師：再來看看9瓶的稱法。

師：這種每次兩邊放幾瓶？要幾次？還有不同的稱法嗎？有序地整理一下。

師：哪種稱法保證找出次品的次數(shù)最少呢？為什么？（提示：能像剛才那樣說說嗎？——稱一次排除了……次品鎖定在……）

師：有沒有比這種稱法一次排除的更多的方法？

師：觀察一下8瓶、9瓶的最優(yōu)方法，想一想要怎么分，保證找到次品的次數(shù)最少。

生：平均分成3份。

師:8瓶呢？不能平均分成3分的怎么分呢？盡可能平均，每份相差是1。（課件）

3．驗證發(fā)現(xiàn)

師：我們的發(fā)現(xiàn)是否偶然呢？我們還需要驗證我們的發(fā)現(xiàn)。

師:15瓶至少需要幾次保證找到？

剛才我們發(fā)現(xiàn)的方法是什么？——把物品盡量平均分成3份來稱。

師：15瓶怎么分呢？需要稱幾次？

生：（5，5）5，需要稱3次。

師：有沒有更少的稱法？我們稱一次淘汰了多少？目標鎖定在幾瓶？有沒有其他的分法稱一次淘汰得更多的。也就是說我們發(fā)現(xiàn)盡量平均分成3份來稱次數(shù)最少。

師：16瓶至少需要幾次保證找到？——看來我們發(fā)現(xiàn)的方法還真可靠！

4.強化訓練

現(xiàn)在看誰的反應快。

如果81瓶中有1瓶次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證

找到？

生：4次。

師：別亂說，不可能吧？81瓶蠻多的呀，4次怎么可以保證

找到？

生：我把81瓶平均分成3份，每份27瓶；再把27瓶平均分成3份，每份9瓶，稱2次就可以推斷次品在哪9個瓶里。然后9瓶就像剛才那位同學那樣再均分3份來稱，2次就夠了。我這里只增加了2次，所以4次就找到了。

81→（27，27）27→（9，9）9

師：真聰明！真了不起！也學會轉化了。

生：6次。跟上面一樣，把729均分3份，每份243，再把243平均分成3份，只比81瓶多稱了1次。所以是6次。

師：課剛開始時猜需要729次的是那位同學，請問此時此刻有什么想說的嗎？

師：這里邊還有更多的秘密！想不想知道待測物品數(shù)量和稱的次數(shù)有什么關系？

四、全課總結

1.通過這節(jié)課的學習你有什么收獲。

2.這節(jié)課我們研究從7百多瓶中找一瓶次品，起初我們本能地感覺怎么也要好幾百次，其實6次足矣。前后相差之大，遠遠超出了我們的想象。這就是數(shù)學思考的魅力。

3.延伸：3個零件中有1個次品（不知道輕還是重），用天平至少要稱幾次才能保證找出次品？

（作者單位 重慶市萬州區(qū)王牌小學）

編輯 楊兆東