王艷琴，吳愛弟，王 靜

（天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津 300222）

超分辨率圖像重建技術是指利用已知的低分辨率圖像信息采用軟件方法來重建高分辨率的圖像。根據已知低分辨率的信息，圖像的重建方法可分為單幀圖像的重建和多幀圖像的重建。圖像重建的好壞在于在提高分辨率的同時能否有效地保持圖像的邊緣及重要的紋理信息。圖像超分辨率重建技術已被廣泛應用于視頻監(jiān)控、地震勘探、衛(wèi)星遙感遙測、醫(yī)學成像、圖像處理等領域中[1-4]。

在超分辨率圖像重建算法中，最常用的也是最容易實現(xiàn)的是基于插值的算法，如最近鄰域插值法、雙線性插值法、雙三次插值法等等。插值算法的優(yōu)點是簡單直觀，且計算復雜度較低，但是本質上沒有增加圖像的信息，效果不是很理想。因此，經常與其他方法結合使用，如與小波變換方法一起使用[4]。文獻[5]提出了一種基于小波變換的超分辨率圖像的重建方法，先對低分辨率圖像進行小波變換，然后在小波域上使用插值方法，再應用小波逆變換得到重建的超分辨率圖像。

從數學角度理解，高分辨率數字圖像的重建問題是一個代數反問題，由于已知條件不足該問題是個病態(tài)問題，直接求解效果不好，習慣采用正則化優(yōu)化方法，將病態(tài)問題轉化為良態(tài)問題，然后再進行求解。最常用的正則化方法是Tikhonov正則化法，重建的超分辨率圖像的質量取決于正則化算子的設計及正則化算子的選擇[6]。基于總變差的正則化函數可以很好地保持圖像的邊緣和細節(jié)信息[7-8]，較好地刻畫圖像空間，因此成為超分辨率圖像重建方面研究的熱點。本文根據低分辨率圖像生成的矩陣模型，首先應用廣義逆矩陣理論，得到高分辨率圖像所在的解空間，然后把最小總體變差作為目標函數，應用最速下降方法求解，得到重建的高分辨率圖像。

1 問題描述與數學建模

圖像分辨率變低的原因主要是由光的擴散導致的運動模糊及物體在運動過程中的幾何變形和受硬件條件的影響導致采樣不足。將圖像矩陣按列排列成一個向量，應用矩陣變換來模擬圖像的生成過程，則被觀測到的低分辨率圖像可以用下列方程描述：

式中：y為已知的低分辨率圖像；x為待求的高分辨率圖像；F是幾何變換矩陣；H是運動模糊矩陣；D是采樣矩陣；n為隨機噪音，可以假定它為高斯噪聲。超高分辨率重建的目的是利用方程（1），從已知的低分辨率圖像y估計出未知的高分辨率圖像x。

一般地，方程（1）是病態(tài)的，故在求解方程（1）時，常做正則化處理，引入的正則化，約束求解空間，用于消除不適定性，將問題變?yōu)橐粋€最優(yōu)化問題，其數學模型為：

式中：第一項為數據保真項，表征了待估計圖像與真實高分辨率圖像之間的擬合程度；J（x）為正則化項，提供圖像先驗信息；λ為正則化參數，用于權衡兩項之間的比重。

2 基于全變差的重建方法

先不考慮噪聲影響，模型（1）可以寫為：

式中：y為低分辨率圖像；x為待求的高分辨率圖像；A=DHF為已知。根據廣義逆矩陣理論，方程（3）的通解為：

其中：z為任意向量。希望從這解集中找出所需的高分辨率圖像。

根據文獻[9]，可取A為一循環(huán)矩陣。由于式（2）中第一項已經為0，因此只要優(yōu)化第二項即可。取z作為自變量，x由式（4）確定為z的函數，令

為圖像x的總體變差，將解集中總體變差最小的解作為理想高分辨率圖像。

對數字向量x，有

則▽x=Sx-x，將式（4）代入得

于是對一維的離散向量x，可取J（z）=‖▽x‖1，從而

算法1 優(yōu)化問題J（z）=min，利用最速下降法迭代求解，其步驟為：

任選初值z0，對n=1，2，…

① 計算x=A+y+（I-A+A）zn；

③ 計算zn+1=zn- α▽J（zn）；

如果對圖像x不寫成向量形式，用矩陣方式進行處理。對x行列向量進行模糊下采樣，則可以寫成形式AxB=y，根據廣義逆矩陣理論，其通解為：

現(xiàn)選擇z使得圖像的總體有界變差J（z）=Tv（x）達最小，其對應的x即為重建的高分辨率圖像。

引理1設f（x）=‖AxB‖1為矩陣函數，則

算法2 優(yōu)化問題J（z）=min，利用最速下降法迭代求解，其步驟如下：

任選初值z0，一般選取零作為初值。

對n=1，2，…

①計算x=A+yB++z-A+AzBB+；

③ 計算zn+1=zn- α▽J（zn）；

3 數值實驗

采用圖像的峰值信噪比（PSNR）作為重建圖像質量的指標。峰值信噪比越高，表示重建圖像的質量越好。PSNR定義為：

式中：f（x，y）和f^（x，y）分別表示原始圖像和重建圖像；N1和N2為圖像的維數；MSE表示均方誤差值。

對一元函數

如圖1（a），用平均值濾波加下采樣生成低分辨率圖形；圖1（b），應用算法1得到重建的高分辨率圖形；圖1（c），均方誤差為0.05。從圖1可以看出，其線性部分的高頻信息得到比較好的恢復，其周期部分也得到了不同程度的恢復。

圖1 算法1的實驗結果

對二維數字圖像，采用Lena圖像和Barbara作為測試圖像，大小為512×512，用平均值濾波加下采樣生成低分辨率圖像，對有噪聲的圖像先應用小波閾值進行去噪處理[10]，然后應用插值方法和本文方法算法2重建高分辨率圖像，其結果如圖2、圖3和表1所示。

圖2 重建圖像結果比較（無噪聲情形）

圖3 重建圖像結果比較（有噪聲情形）

表1 圖像重建的峰值信噪比

由于采用最小變差作為優(yōu)化目標，得到的高分辨率圖像能較好地保留圖像的邊緣信息，重建的效果優(yōu)于插值方法。

4 結束語

本文應用廣義逆矩陣和總體變差思想，提出一種基于廣義逆矩陣和變差的高分辨圖像重建算法。首先利用廣義逆矩陣理論得到高分辨率圖像所在的解空間，然后把總體變差作為目標函數進行優(yōu)化，采用最速下降算法進行求解，得到高分辨率圖像。數值實驗表明，該方法能較好地保留圖像的邊緣信息，重建圖像的效果優(yōu)于插值方法。

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