甘曉云

中考數(shù)學(xué)對于很多同學(xué)來說，頗為頭疼.其實，觀察近幾年的中考題就會發(fā)現(xiàn)，中考數(shù)學(xué)題的起點低，注重基礎(chǔ)，但是知識覆蓋面廣，常常一道題考察多個知識點，而且多從課本中取材，通過變式、拓展，成為新的題目.從這個趨勢來看，同學(xué)們在復(fù)習(xí)時不應(yīng)拋棄課本苦鉆題海，應(yīng)優(yōu)先利用課本的例題、習(xí)題，進行適當(dāng)拓展、演變、延伸與歸類整理，使其源于課本，又高于課本.

下面以一道具體的課本習(xí)題為例，談一談如何從一道課本的題目來復(fù)習(xí)中考知識點.

例題 如圖，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？（人教版八年級下冊第68頁第8題）

解：這兩條路等長，且垂直相交。

證明：∵ABCD是正方形，AD=DC=BC=AB，∠D=∠BAD，

又∵在△ADF與△BAE中，AD=AB，∠D=∠BAD，

DF=DC-CF=AD-DE=AE，

∴△ADF≌△BAE（SAS）.

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°.

∴BE⊥AF.

故BE=AF，BE⊥AF.

【思考】其實這道題的解題過程是利用正方形的性質(zhì)證明一對全等的直角三角形.那么由這道題經(jīng)過變形，還能考察什么知識點，得出哪些有用的結(jié)論呢？我們接著往下看.

探究一 探究例題，用變式開拓思維

拓展1 如圖1所示，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，現(xiàn)在要從門E，F(xiàn)引兩條不同的路，從E門引出的路為EH，從F門引出的路FG需垂直于EH，垂足為O，請畫出FG，并猜想路EH與FG的長度關(guān)系，說明理由.

【分析】畫FG垂直于EH很容易，但要如何證明這兩條線段的關(guān)系呢？可以作兩種輔助線.一是過E，F(xiàn)分別作AD，DC的垂線，這種作法，其實可以看成是把正方形的邊往內(nèi)部平移來構(gòu)造全等的直角三角形（如圖2）；二是過A，B分別作GF，EH的平行線，構(gòu)造出與例1一樣的圖形（如圖3）.然后再利用原來的證明方法證明.

變式 如圖4所示，點E，G分別是正方形ABCD的邊AD與AB上的定點，在另兩條邊BC，DC所在的直線上有兩個動點，分別是H，F(xiàn).不管H，F(xiàn)如何移動，若保持GF與EH垂直，GF與EH相等嗎？

請同學(xué)們試試證明.

【小結(jié)】以上兩道題，從簡單到復(fù)雜，但其實都是利用了“正方形的性質(zhì)和垂直的條件可以證明一對全等的直角三角形”這個知識點.我們能夠推出這樣一個結(jié)論：在正方形中，兩組對邊所在直線所截得的互相垂直的線段相等.

探究二 探究延伸圖形的變題

【思考】若我們把兩個全等的正方形連接成一個矩形，在矩形中同樣有兩條互相垂直的線段，那它們之間又會有什么關(guān)系呢？

拓展2 已知矩形ABCD，點E，F(xiàn)，H，G分別在矩形ABCD的邊AD，DC，BC，AB上，EH⊥GF，垂足為O，EH=4.

（1）如圖5，矩形ABCD由兩個全等的正方形組成，求GF的長.

（2）如圖6，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GF的長（用n的代數(shù)式表示）.

對于第（1）題，由上面得出的結(jié)論，和三角形中位線定理，不難看出GF=2EH=8.

對于第（2）題，同理可得出GF的長度為EH的n倍，即GF=4n.

探究三 改變例題條件，拓展圖形的變題

拓展3 如圖7，在正方形ABCD中，點F在邊CD上，F(xiàn)O⊥HO，若垂足O恰好落在對角線AC上時，請猜想OH和OF的長度關(guān)系.

這道題同樣通過構(gòu)造一對全等的直角三角形來解決問題.同學(xué)們可以試著自己做做看.

變式1 垂足在對角線上移動時，若垂足O剛好是正方形的中心（如圖8），又會引發(fā)出哪些結(jié)論呢？

這里通過探究增加條件的變題，獲取更多有用的結(jié)論.

如垂足落在正方形的邊上，又會引出哪些結(jié)論呢？

變式2 如圖9所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG.這時，EG=CF嗎？（人教版八年級下冊第69頁第14題變式）

證明：∵G，E分別為AB，BC的中點，

∴ AG=EC.

又∵∠B=90°，BG=BE，

∴∠AGE=135°.

∵CF為∠BCD外角的角平分線，

∴∠ECF=135°.

∵∠AEF=90°，

∴∠BEA+∠CEF=90°.

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF.

∴△AGE≌△CEF（AAS）.

∴GE=CF.

探究四 探究拓展圖形延伸的變題

拓展4 已知點F在矩形ABCD的邊CD上，BO⊥FO，垂足O恰好落在對角線AC上.

（1）如圖10，矩形ABCD由兩個全等的正方形組成，求[FOBO]的值.（提示：本題可通過構(gòu)造一對相似三角形來解決問題，與拓展2的解題思路相似.）

解：如圖11，過點O分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N.

則∠MON=90°，OM∥AB，ON∥AD，

∴[OMAB]=[COCA]=[ONAD].

∴[OMON]=[ABAD]=[12].

∵∠BOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°，

∴∠FON=∠BOM.

∴Rt△FON∽Rt△BOM.

∴[OFOB]=[ONOM]=2.

（2）如圖12，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求[FOBO]的值.

這道題求解類似于第（1）題，答案是n.解答過程略.

若將拓展1中的條件“正方形”改為“正三角形”，將兩條對邊所截得的線段互相垂直，改成兩個頂點向?qū)吷先我稽c引出的線段相交角度為60°，其他條件不變，則拓展1的結(jié)論還成立嗎？

拓展5 如圖13，△ABC是正三角形，點E，F(xiàn)為邊AB，BC邊上的動點，AF與CE相交于點O，若∠COF=60°，則AF與CE的長度關(guān)系如何？

【思考】如果再將題中的條件“正三角形”改為“正五邊形”（如圖14所示），在AB上取一點G，連結(jié)EG，過點A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此時EG與AF相等嗎？是否還有其他的延伸呢？

不難看出，任何一個正n邊形，設(shè)點G在AB上，點H在BC上，AH與FG相交于點O，那么當(dāng)∠FOH等于該正n邊形的一個內(nèi)角時，AH=FG（如圖15所示）.

通過一道課本的例題，我們不僅回顧復(fù)習(xí)了正方形的性質(zhì)以及全等和相似的證明，且由于正方形是特殊的正多邊形，從正方形具有的一般性結(jié)論自然地類比到了其他的正多邊形，再進行類似的探索、思考，得出相應(yīng)的結(jié)論.可見，圖形雖在變，但萬變不離其宗，解題的方法也基本不變.

中考數(shù)學(xué)對于很多同學(xué)來說，頗為頭疼.其實，觀察近幾年的中考題就會發(fā)現(xiàn)，中考數(shù)學(xué)題的起點低，注重基礎(chǔ)，但是知識覆蓋面廣，常常一道題考察多個知識點，而且多從課本中取材，通過變式、拓展，成為新的題目.從這個趨勢來看，同學(xué)們在復(fù)習(xí)時不應(yīng)拋棄課本苦鉆題海，應(yīng)優(yōu)先利用課本的例題、習(xí)題，進行適當(dāng)拓展、演變、延伸與歸類整理，使其源于課本，又高于課本.

下面以一道具體的課本習(xí)題為例，談一談如何從一道課本的題目來復(fù)習(xí)中考知識點.

例題 如圖，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？（人教版八年級下冊第68頁第8題）

解：這兩條路等長，且垂直相交。

證明：∵ABCD是正方形，AD=DC=BC=AB，∠D=∠BAD，

又∵在△ADF與△BAE中，AD=AB，∠D=∠BAD，

DF=DC-CF=AD-DE=AE，

∴△ADF≌△BAE（SAS）.

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°.

∴BE⊥AF.

故BE=AF，BE⊥AF.

【思考】其實這道題的解題過程是利用正方形的性質(zhì)證明一對全等的直角三角形.那么由這道題經(jīng)過變形，還能考察什么知識點，得出哪些有用的結(jié)論呢？我們接著往下看.

探究一 探究例題，用變式開拓思維

拓展1 如圖1所示，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，現(xiàn)在要從門E，F(xiàn)引兩條不同的路，從E門引出的路為EH，從F門引出的路FG需垂直于EH，垂足為O，請畫出FG，并猜想路EH與FG的長度關(guān)系，說明理由.

【分析】畫FG垂直于EH很容易，但要如何證明這兩條線段的關(guān)系呢？可以作兩種輔助線.一是過E，F(xiàn)分別作AD，DC的垂線，這種作法，其實可以看成是把正方形的邊往內(nèi)部平移來構(gòu)造全等的直角三角形（如圖2）；二是過A，B分別作GF，EH的平行線，構(gòu)造出與例1一樣的圖形（如圖3）.然后再利用原來的證明方法證明.

變式 如圖4所示，點E，G分別是正方形ABCD的邊AD與AB上的定點，在另兩條邊BC，DC所在的直線上有兩個動點，分別是H，F(xiàn).不管H，F(xiàn)如何移動，若保持GF與EH垂直，GF與EH相等嗎？

請同學(xué)們試試證明.

【小結(jié)】以上兩道題，從簡單到復(fù)雜，但其實都是利用了“正方形的性質(zhì)和垂直的條件可以證明一對全等的直角三角形”這個知識點.我們能夠推出這樣一個結(jié)論：在正方形中，兩組對邊所在直線所截得的互相垂直的線段相等.

探究二 探究延伸圖形的變題

【思考】若我們把兩個全等的正方形連接成一個矩形，在矩形中同樣有兩條互相垂直的線段，那它們之間又會有什么關(guān)系呢？

拓展2 已知矩形ABCD，點E，F(xiàn)，H，G分別在矩形ABCD的邊AD，DC，BC，AB上，EH⊥GF，垂足為O，EH=4.

（1）如圖5，矩形ABCD由兩個全等的正方形組成，求GF的長.

（2）如圖6，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GF的長（用n的代數(shù)式表示）.

對于第（1）題，由上面得出的結(jié)論，和三角形中位線定理，不難看出GF=2EH=8.

對于第（2）題，同理可得出GF的長度為EH的n倍，即GF=4n.

探究三 改變例題條件，拓展圖形的變題

拓展3 如圖7，在正方形ABCD中，點F在邊CD上，F(xiàn)O⊥HO，若垂足O恰好落在對角線AC上時，請猜想OH和OF的長度關(guān)系.

這道題同樣通過構(gòu)造一對全等的直角三角形來解決問題.同學(xué)們可以試著自己做做看.

變式1 垂足在對角線上移動時，若垂足O剛好是正方形的中心（如圖8），又會引發(fā)出哪些結(jié)論呢？

這里通過探究增加條件的變題，獲取更多有用的結(jié)論.

如垂足落在正方形的邊上，又會引出哪些結(jié)論呢？

變式2 如圖9所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG.這時，EG=CF嗎？（人教版八年級下冊第69頁第14題變式）

證明：∵G，E分別為AB，BC的中點，

∴ AG=EC.

又∵∠B=90°，BG=BE，

∴∠AGE=135°.

∵CF為∠BCD外角的角平分線，

∴∠ECF=135°.

∵∠AEF=90°，

∴∠BEA+∠CEF=90°.

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF.

∴△AGE≌△CEF（AAS）.

∴GE=CF.

探究四 探究拓展圖形延伸的變題

拓展4 已知點F在矩形ABCD的邊CD上，BO⊥FO，垂足O恰好落在對角線AC上.

（1）如圖10，矩形ABCD由兩個全等的正方形組成，求[FOBO]的值.（提示：本題可通過構(gòu)造一對相似三角形來解決問題，與拓展2的解題思路相似.）

解：如圖11，過點O分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N.

則∠MON=90°，OM∥AB，ON∥AD，

∴[OMAB]=[COCA]=[ONAD].

∴[OMON]=[ABAD]=[12].

∵∠BOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°，

∴∠FON=∠BOM.

∴Rt△FON∽Rt△BOM.

∴[OFOB]=[ONOM]=2.

（2）如圖12，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求[FOBO]的值.

這道題求解類似于第（1）題，答案是n.解答過程略.

若將拓展1中的條件“正方形”改為“正三角形”，將兩條對邊所截得的線段互相垂直，改成兩個頂點向?qū)吷先我稽c引出的線段相交角度為60°，其他條件不變，則拓展1的結(jié)論還成立嗎？

拓展5 如圖13，△ABC是正三角形，點E，F(xiàn)為邊AB，BC邊上的動點，AF與CE相交于點O，若∠COF=60°，則AF與CE的長度關(guān)系如何？

【思考】如果再將題中的條件“正三角形”改為“正五邊形”（如圖14所示），在AB上取一點G，連結(jié)EG，過點A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此時EG與AF相等嗎？是否還有其他的延伸呢？

不難看出，任何一個正n邊形，設(shè)點G在AB上，點H在BC上，AH與FG相交于點O，那么當(dāng)∠FOH等于該正n邊形的一個內(nèi)角時，AH=FG（如圖15所示）.

通過一道課本的例題，我們不僅回顧復(fù)習(xí)了正方形的性質(zhì)以及全等和相似的證明，且由于正方形是特殊的正多邊形，從正方形具有的一般性結(jié)論自然地類比到了其他的正多邊形，再進行類似的探索、思考，得出相應(yīng)的結(jié)論.可見，圖形雖在變，但萬變不離其宗，解題的方法也基本不變.

中考數(shù)學(xué)對于很多同學(xué)來說，頗為頭疼.其實，觀察近幾年的中考題就會發(fā)現(xiàn)，中考數(shù)學(xué)題的起點低，注重基礎(chǔ)，但是知識覆蓋面廣，常常一道題考察多個知識點，而且多從課本中取材，通過變式、拓展，成為新的題目.從這個趨勢來看，同學(xué)們在復(fù)習(xí)時不應(yīng)拋棄課本苦鉆題海，應(yīng)優(yōu)先利用課本的例題、習(xí)題，進行適當(dāng)拓展、演變、延伸與歸類整理，使其源于課本，又高于課本.

下面以一道具體的課本習(xí)題為例，談一談如何從一道課本的題目來復(fù)習(xí)中考知識點.

例題 如圖，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？（人教版八年級下冊第68頁第8題）

解：這兩條路等長，且垂直相交。

證明：∵ABCD是正方形，AD=DC=BC=AB，∠D=∠BAD，

又∵在△ADF與△BAE中，AD=AB，∠D=∠BAD，

DF=DC-CF=AD-DE=AE，

∴△ADF≌△BAE（SAS）.

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°.

∴BE⊥AF.

故BE=AF，BE⊥AF.

【思考】其實這道題的解題過程是利用正方形的性質(zhì)證明一對全等的直角三角形.那么由這道題經(jīng)過變形，還能考察什么知識點，得出哪些有用的結(jié)論呢？我們接著往下看.

探究一 探究例題，用變式開拓思維

拓展1 如圖1所示，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，現(xiàn)在要從門E，F(xiàn)引兩條不同的路，從E門引出的路為EH，從F門引出的路FG需垂直于EH，垂足為O，請畫出FG，并猜想路EH與FG的長度關(guān)系，說明理由.

【分析】畫FG垂直于EH很容易，但要如何證明這兩條線段的關(guān)系呢？可以作兩種輔助線.一是過E，F(xiàn)分別作AD，DC的垂線，這種作法，其實可以看成是把正方形的邊往內(nèi)部平移來構(gòu)造全等的直角三角形（如圖2）；二是過A，B分別作GF，EH的平行線，構(gòu)造出與例1一樣的圖形（如圖3）.然后再利用原來的證明方法證明.

變式 如圖4所示，點E，G分別是正方形ABCD的邊AD與AB上的定點，在另兩條邊BC，DC所在的直線上有兩個動點，分別是H，F(xiàn).不管H，F(xiàn)如何移動，若保持GF與EH垂直，GF與EH相等嗎？

請同學(xué)們試試證明.

【小結(jié)】以上兩道題，從簡單到復(fù)雜，但其實都是利用了“正方形的性質(zhì)和垂直的條件可以證明一對全等的直角三角形”這個知識點.我們能夠推出這樣一個結(jié)論：在正方形中，兩組對邊所在直線所截得的互相垂直的線段相等.

探究二 探究延伸圖形的變題

【思考】若我們把兩個全等的正方形連接成一個矩形，在矩形中同樣有兩條互相垂直的線段，那它們之間又會有什么關(guān)系呢？

拓展2 已知矩形ABCD，點E，F(xiàn)，H，G分別在矩形ABCD的邊AD，DC，BC，AB上，EH⊥GF，垂足為O，EH=4.

（1）如圖5，矩形ABCD由兩個全等的正方形組成，求GF的長.

（2）如圖6，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GF的長（用n的代數(shù)式表示）.

對于第（1）題，由上面得出的結(jié)論，和三角形中位線定理，不難看出GF=2EH=8.

對于第（2）題，同理可得出GF的長度為EH的n倍，即GF=4n.

探究三 改變例題條件，拓展圖形的變題

拓展3 如圖7，在正方形ABCD中，點F在邊CD上，F(xiàn)O⊥HO，若垂足O恰好落在對角線AC上時，請猜想OH和OF的長度關(guān)系.

這道題同樣通過構(gòu)造一對全等的直角三角形來解決問題.同學(xué)們可以試著自己做做看.

變式1 垂足在對角線上移動時，若垂足O剛好是正方形的中心（如圖8），又會引發(fā)出哪些結(jié)論呢？

這里通過探究增加條件的變題，獲取更多有用的結(jié)論.

如垂足落在正方形的邊上，又會引出哪些結(jié)論呢？

變式2 如圖9所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG.這時，EG=CF嗎？（人教版八年級下冊第69頁第14題變式）

證明：∵G，E分別為AB，BC的中點，

∴ AG=EC.

又∵∠B=90°，BG=BE，

∴∠AGE=135°.

∵CF為∠BCD外角的角平分線，

∴∠ECF=135°.

∵∠AEF=90°，

∴∠BEA+∠CEF=90°.

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF.

∴△AGE≌△CEF（AAS）.

∴GE=CF.

探究四 探究拓展圖形延伸的變題

拓展4 已知點F在矩形ABCD的邊CD上，BO⊥FO，垂足O恰好落在對角線AC上.

（1）如圖10，矩形ABCD由兩個全等的正方形組成，求[FOBO]的值.（提示：本題可通過構(gòu)造一對相似三角形來解決問題，與拓展2的解題思路相似.）

解：如圖11，過點O分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N.

則∠MON=90°，OM∥AB，ON∥AD，

∴[OMAB]=[COCA]=[ONAD].

∴[OMON]=[ABAD]=[12].

∵∠BOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°，

∴∠FON=∠BOM.

∴Rt△FON∽Rt△BOM.

∴[OFOB]=[ONOM]=2.

（2）如圖12，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求[FOBO]的值.

這道題求解類似于第（1）題，答案是n.解答過程略.

若將拓展1中的條件“正方形”改為“正三角形”，將兩條對邊所截得的線段互相垂直，改成兩個頂點向?qū)吷先我稽c引出的線段相交角度為60°，其他條件不變，則拓展1的結(jié)論還成立嗎？

拓展5 如圖13，△ABC是正三角形，點E，F(xiàn)為邊AB，BC邊上的動點，AF與CE相交于點O，若∠COF=60°，則AF與CE的長度關(guān)系如何？

【思考】如果再將題中的條件“正三角形”改為“正五邊形”（如圖14所示），在AB上取一點G，連結(jié)EG，過點A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此時EG與AF相等嗎？是否還有其他的延伸呢？

不難看出，任何一個正n邊形，設(shè)點G在AB上，點H在BC上，AH與FG相交于點O，那么當(dāng)∠FOH等于該正n邊形的一個內(nèi)角時，AH=FG（如圖15所示）.

通過一道課本的例題，我們不僅回顧復(fù)習(xí)了正方形的性質(zhì)以及全等和相似的證明，且由于正方形是特殊的正多邊形，從正方形具有的一般性結(jié)論自然地類比到了其他的正多邊形，再進行類似的探索、思考，得出相應(yīng)的結(jié)論.可見，圖形雖在變，但萬變不離其宗，解題的方法也基本不變.