付蒙等

摘要： 在石油鉆井的過(guò)程中，鉆井設(shè)備與巖層之間相互作用容易產(chǎn)生鉆柱的粘滑振動(dòng)。主要表現(xiàn)為井底鉆具組合周期性的粘滯、旋轉(zhuǎn)。為了更好地控制鉆井平穩(wěn)運(yùn)行以及增強(qiáng)鉆柱的性能，理解鉆柱粘滑振動(dòng)的復(fù)雜機(jī)理，研究粘滑振動(dòng)控制策略具有重要的意義。文章構(gòu)建鉆柱傳動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，對(duì)鉆柱振動(dòng)進(jìn)行仿真分析，提出抑制鉆柱粘滑振動(dòng)的控制策略。

Abstract： During the drilling process， stick-slip friction between the drill bit and the rock can cause notable undesired drill-string stick-slip vibration. The drill-string stick-slip vibration exhibits drill bit intermittent stagnation and rotation. In order to better control the drilling operation and enhance the performance of the drill string， to understand the complex mechanism of stick-slip vibration of drill string and to research its control strategy has important significance. A mathematical model of the transmission system of drilling-string was established. According to its simulation， the characteristic of stick slip friction is analyzed and control strategy to restrain stick-slip friction is proposed.

關(guān)鍵詞： 鉆柱；粘滑振動(dòng)；粘滑仿真；系統(tǒng)控制

Key words： drill-strings；stick-slip oscillation；simulation of stick-slip；system control

中圖分類號(hào)：TE21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2014）28-0045-02

0 引言

鉆具在切割巖層時(shí)受到摩擦、壓強(qiáng)、巖石質(zhì)地等因素影響，往往出現(xiàn)鉆柱振動(dòng)現(xiàn)象。鉆柱的振動(dòng)是造成鉆柱和鉆具組合疲勞的主要原因。鉆柱過(guò)度疲勞發(fā)生斷裂，則需要用特殊的工具將斷裂的鉆柱和鉆具從井中取出。鉆柱的振動(dòng)還會(huì)導(dǎo)致鉆頭偏離期望的鉆井方向，損壞井壁使井壁坍塌等。絕大多數(shù)在井下出現(xiàn)的事故是因?yàn)殂@柱粘滑振動(dòng)引起的，因此鉆柱的粘滑振動(dòng)尤為值得關(guān)注。為了增強(qiáng)鉆井設(shè)備的性能，提高鉆井效率，分析鉆柱粘滑振動(dòng)的規(guī)律十分重要。

近年來(lái)，許多專家學(xué)者在研究鉆柱振動(dòng)，特別是鉆柱粘滑振動(dòng)方面做出許多貢獻(xiàn)，研究重點(diǎn)逐漸由鉆柱材料力學(xué)向鉆柱旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)變。Richard和Detournay用一個(gè)集中了質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡(jiǎn)單彈簧來(lái)模擬鉆具組合，處理了相關(guān)的振動(dòng)問(wèn)題[1]；Tucker and Wang解釋了重力場(chǎng)對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)的影響，他們把鉆柱結(jié)構(gòu)的特殊性用彈性空間曲線描述[2]；李子豐等針對(duì)鉆柱的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題，分別建立了扭矩激勵(lì)法和轉(zhuǎn)角激勵(lì)法的鉆柱扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型，證明用轉(zhuǎn)角激勵(lì)法來(lái)研究鉆柱的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)更符合實(shí)際[3]。大多數(shù)研究主要圍繞著如何模擬鉆柱來(lái)展開(kāi)，忽視了摩擦轉(zhuǎn)矩和鉆頭轉(zhuǎn)速的靜態(tài)關(guān)系。文章構(gòu)建一個(gè)鉆柱系統(tǒng)的傳動(dòng)模型，對(duì)鉆柱粘滑振動(dòng)進(jìn)行仿真分析，設(shè)計(jì)一種抑制鉆柱粘滑振動(dòng)的控制方法。

1 鉆柱振動(dòng)簡(jiǎn)介

在鉆井作業(yè)中鉆具和巖層的相互作用產(chǎn)生有規(guī)律的周期振動(dòng)和無(wú)規(guī)律的隨機(jī)振動(dòng)。就鉆柱振動(dòng)的方向性而言，振動(dòng)主要分為橫向振動(dòng)、軸向振動(dòng)和扭矩向振動(dòng)。橫向振動(dòng)是指井底鉆具組合受力不平衡，使鉆柱的質(zhì)心偏離其中心，造成周期性偏心旋轉(zhuǎn)。軸向振動(dòng)又叫垂直振動(dòng)，是指由于井底不平整、鉆具受到的壓力不均勻，引起鉆柱在豎直方向上伸縮振動(dòng)。扭轉(zhuǎn)向振動(dòng)又叫旋轉(zhuǎn)振動(dòng)，是指鉆柱圍繞中心線的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)，是由鉆具受到的摩擦變化引起鉆具組合的速度不斷變化與鉆柱頂端速度不一致導(dǎo)致的[4]。

當(dāng)鉆井的深度達(dá)到幾千米時(shí)，則其轉(zhuǎn)矩剛度下降，鉆頭受到摩擦阻力影響，使鉆頭周期性的停滯、旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生鉆柱粘滑振動(dòng)。當(dāng)粘滑振動(dòng)頻率與鉆柱系統(tǒng)固有頻率接近時(shí)，容易產(chǎn)生共振，嚴(yán)重?fù)p害鉆柱。隨著鉆柱長(zhǎng)度逐漸增加，粘滑振動(dòng)會(huì)更加明顯、更加劇烈、更加嚴(yán)重。

產(chǎn)生鉆柱粘滑振動(dòng)的原因有很多，頂驅(qū)動(dòng)力經(jīng)過(guò)變速箱傳遞給鉆柱，變速箱齒輪磨損產(chǎn)生的嚙合沖擊傳遞給鉆柱系統(tǒng)；高壓泥漿在鉆柱內(nèi)流動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定頻率的脈沖；井底鉆具組合在不規(guī)則井眼中旋轉(zhuǎn)，與井壁之間的摩擦及相互作用有一定的隨機(jī)性，激起鉆柱系統(tǒng)多種振動(dòng)模態(tài)；鉆井過(guò)程中容易發(fā)生鉆具失效，轉(zhuǎn)動(dòng)速度降低，受力不均勻，引起粘滑振動(dòng)幅度明顯增大[5]。

2 鉆柱粘滑振動(dòng)建模

2.1 鉆柱傳動(dòng)系統(tǒng)模型 鉆井系統(tǒng)主要包括兩部分，地面驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)包括驅(qū)動(dòng)電機(jī)、變速箱和旋轉(zhuǎn)臺(tái)，井底鉆進(jìn)系統(tǒng)主要包括鉆柱、鉆鋌和鉆具，電機(jī)扭矩通過(guò)旋轉(zhuǎn)臺(tái)傳遞到鉆柱。假定鉆井系統(tǒng)是一個(gè)扭轉(zhuǎn)的單擺，用扭轉(zhuǎn)彈簧來(lái)代表鉆柱，鉆鋌剛度較高，轉(zhuǎn)盤以恒定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，可以得到鉆柱的模型，如圖1所示。

圖1中ω1表示鉆柱頂部轉(zhuǎn)速，ω2表示鉆頭轉(zhuǎn)速，m1為電機(jī)驅(qū)動(dòng)扭矩，m為鉆桿扭矩，mf為摩擦扭矩，J1表示驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J2表示負(fù)載有效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，C為系統(tǒng)阻尼系數(shù)，K為系統(tǒng)剛度系數(shù)，并構(gòu)建鉆柱粘滑系統(tǒng)微分方程。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：endprint

2.2 鉆具摩擦力矩模型 速度和摩擦力矩是連續(xù)變化的，這種變化是非線性的。鉆頭受到的摩擦力矩mf可以表示為以鉆頭轉(zhuǎn)速ω2為自變量的函數(shù)?？梢杂肅oulomb摩擦加Stribeck效應(yīng)的模型近似鉆柱粘滑系統(tǒng)摩擦。Stribeck效應(yīng)的摩擦模型如圖2所示。

圖2中M0表示庫(kù)倫摩擦轉(zhuǎn)矩；Ma表示最大靜摩擦轉(zhuǎn)矩；ωs表示Stribeck速度，即摩擦轉(zhuǎn)矩初始斜率與庫(kù)倫摩擦轉(zhuǎn)矩的交點(diǎn)值，當(dāng)轉(zhuǎn)速比較低時(shí)ωs對(duì)摩擦特性影響比較大?？梢垣@得Stribeck摩擦模型的表達(dá)式：

3 鉆柱粘滑振動(dòng)仿真分析

基于鉆柱動(dòng)力學(xué)分析，對(duì)鉆柱系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行仿真分析，仿真如圖3所示。系統(tǒng)受到很大的擾動(dòng)時(shí)，鉆頭轉(zhuǎn)速ω2波動(dòng)變化很大，幅值可以降低到零，最大幅值會(huì)超過(guò)ω1的兩倍，鉆柱就會(huì)產(chǎn)生粘滑振動(dòng)。在滑動(dòng)周期內(nèi)，鉆頭受到的摩擦為滑動(dòng)摩擦，如果鉆頭扭矩與轉(zhuǎn)速方向一致，鉆頭轉(zhuǎn)速逐漸升高；如果鉆頭扭矩與轉(zhuǎn)速方向相反，鉆頭轉(zhuǎn)速逐漸下降。鉆頭速度峰值超過(guò)整個(gè)鉆柱系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的兩倍，此時(shí)鉆柱容易被損壞。當(dāng)鉆頭進(jìn)入粘滯期，鉆頭受到的摩擦為靜摩擦，其摩擦扭矩與鉆桿扭矩平衡，此時(shí)鉆頭扭矩為零且鉆頭轉(zhuǎn)速為零。

4 系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)

鉆井過(guò)程存在許多不確定因素，且鉆具受到的摩擦力是連續(xù)非線性的，無(wú)法準(zhǔn)確獲知受到的摩擦力矩。隨著鉆井深度增加，鉆柱傳動(dòng)系統(tǒng)遲滯性更加明顯，普通的PID控制器無(wú)法滿足抑制鉆柱粘滑振動(dòng)的要求。針對(duì)鉆井運(yùn)行諸多不確定因素和粘滑振動(dòng)不確定性問(wèn)題，基于PID控制器提出了一種依靠提高鉆柱系統(tǒng)自身阻尼的控制策略，如圖4所示。

與經(jīng)典PID控制相比，該控制方案增加了一個(gè)基于鉆柱轉(zhuǎn)矩估計(jì)的回饋環(huán)和一個(gè)處理自然振動(dòng)頻率的濾波器。將驅(qū)動(dòng)電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速反饋給估計(jì)器，估計(jì)器計(jì)算鉆柱扭矩的估計(jì)值傳遞給控制器，控制器可以計(jì)算驅(qū)動(dòng)電機(jī)給定轉(zhuǎn)速和輸出轉(zhuǎn)速的偏差值，對(duì)偏差進(jìn)行自我補(bǔ)償，通過(guò)適當(dāng)調(diào)節(jié)使偏差趨于為零。對(duì)控制器的調(diào)節(jié)，需要獲知鉆柱自然振動(dòng)頻率，可以利用適應(yīng)性濾波方法估計(jì)頻率值，對(duì)粘滑振動(dòng)進(jìn)行有效抑制。控制調(diào)節(jié)比較穩(wěn)定，可以降低主導(dǎo)閉環(huán)點(diǎn)阻尼值，使控制器的穩(wěn)定性會(huì)加強(qiáng)。該控制方案可以不必獲知井底鉆頭的具體信息，不受外界擾動(dòng)對(duì)鉆柱傳動(dòng)系統(tǒng)的影響，具有較好的抗干擾性。

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，將鉆柱粘滑振動(dòng)的研究歸因于巖石與鉆頭相互作用的摩擦力，構(gòu)建產(chǎn)生粘滑振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，清晰的說(shuō)明了鉆井系統(tǒng)的傳動(dòng)關(guān)系，對(duì)鉆柱粘滑振動(dòng)進(jìn)行仿真分析。提出一種依靠提高鉆柱系統(tǒng)自身阻尼的控制策略，有效抑制鉆柱粘滑振動(dòng)，提高鉆井系統(tǒng)穩(wěn)定性，應(yīng)用前景廣闊。

參考文獻(xiàn)：

[1]T. Richard， E. Detournay. Self-excited stick-slip vibrations of drill bits[J]. Comptes Rendus Mecanique， 2004， 332 ：619-626.

[2]R.W. Tucker， C. Wang. An integrated model for drill-string dynamics[J]. Journal of Sound and Vibration，1999，224 ：123-165.

[3]李子豐，張永貴，等.鉆柱縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析[J].工程力學(xué)，2004，21（6）：203-209.

[4]韓春杰，閻鐵，畢雪亮，等.深井鉆柱振動(dòng)規(guī)律的分析及應(yīng)用[J].天然氣工業(yè)，2005，25（9）：76-79.

[5]馬斐，施太和.實(shí)測(cè)鉆柱振動(dòng)特性分析[J].天然氣工業(yè)，1997，17：48-51.endprint

2.2 鉆具摩擦力矩模型 速度和摩擦力矩是連續(xù)變化的，這種變化是非線性的。鉆頭受到的摩擦力矩mf可以表示為以鉆頭轉(zhuǎn)速ω2為自變量的函數(shù)?？梢杂肅oulomb摩擦加Stribeck效應(yīng)的模型近似鉆柱粘滑系統(tǒng)摩擦。Stribeck效應(yīng)的摩擦模型如圖2所示。

圖2中M0表示庫(kù)倫摩擦轉(zhuǎn)矩；Ma表示最大靜摩擦轉(zhuǎn)矩；ωs表示Stribeck速度，即摩擦轉(zhuǎn)矩初始斜率與庫(kù)倫摩擦轉(zhuǎn)矩的交點(diǎn)值，當(dāng)轉(zhuǎn)速比較低時(shí)ωs對(duì)摩擦特性影響比較大?？梢垣@得Stribeck摩擦模型的表達(dá)式：

3 鉆柱粘滑振動(dòng)仿真分析

基于鉆柱動(dòng)力學(xué)分析，對(duì)鉆柱系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行仿真分析，仿真如圖3所示。系統(tǒng)受到很大的擾動(dòng)時(shí)，鉆頭轉(zhuǎn)速ω2波動(dòng)變化很大，幅值可以降低到零，最大幅值會(huì)超過(guò)ω1的兩倍，鉆柱就會(huì)產(chǎn)生粘滑振動(dòng)。在滑動(dòng)周期內(nèi)，鉆頭受到的摩擦為滑動(dòng)摩擦，如果鉆頭扭矩與轉(zhuǎn)速方向一致，鉆頭轉(zhuǎn)速逐漸升高；如果鉆頭扭矩與轉(zhuǎn)速方向相反，鉆頭轉(zhuǎn)速逐漸下降。鉆頭速度峰值超過(guò)整個(gè)鉆柱系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的兩倍，此時(shí)鉆柱容易被損壞。當(dāng)鉆頭進(jìn)入粘滯期，鉆頭受到的摩擦為靜摩擦，其摩擦扭矩與鉆桿扭矩平衡，此時(shí)鉆頭扭矩為零且鉆頭轉(zhuǎn)速為零。

4 系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)

鉆井過(guò)程存在許多不確定因素，且鉆具受到的摩擦力是連續(xù)非線性的，無(wú)法準(zhǔn)確獲知受到的摩擦力矩。隨著鉆井深度增加，鉆柱傳動(dòng)系統(tǒng)遲滯性更加明顯，普通的PID控制器無(wú)法滿足抑制鉆柱粘滑振動(dòng)的要求。針對(duì)鉆井運(yùn)行諸多不確定因素和粘滑振動(dòng)不確定性問(wèn)題，基于PID控制器提出了一種依靠提高鉆柱系統(tǒng)自身阻尼的控制策略，如圖4所示。

與經(jīng)典PID控制相比，該控制方案增加了一個(gè)基于鉆柱轉(zhuǎn)矩估計(jì)的回饋環(huán)和一個(gè)處理自然振動(dòng)頻率的濾波器。將驅(qū)動(dòng)電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速反饋給估計(jì)器，估計(jì)器計(jì)算鉆柱扭矩的估計(jì)值傳遞給控制器，控制器可以計(jì)算驅(qū)動(dòng)電機(jī)給定轉(zhuǎn)速和輸出轉(zhuǎn)速的偏差值，對(duì)偏差進(jìn)行自我補(bǔ)償，通過(guò)適當(dāng)調(diào)節(jié)使偏差趨于為零。對(duì)控制器的調(diào)節(jié)，需要獲知鉆柱自然振動(dòng)頻率，可以利用適應(yīng)性濾波方法估計(jì)頻率值，對(duì)粘滑振動(dòng)進(jìn)行有效抑制。控制調(diào)節(jié)比較穩(wěn)定，可以降低主導(dǎo)閉環(huán)點(diǎn)阻尼值，使控制器的穩(wěn)定性會(huì)加強(qiáng)。該控制方案可以不必獲知井底鉆頭的具體信息，不受外界擾動(dòng)對(duì)鉆柱傳動(dòng)系統(tǒng)的影響，具有較好的抗干擾性。

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，將鉆柱粘滑振動(dòng)的研究歸因于巖石與鉆頭相互作用的摩擦力，構(gòu)建產(chǎn)生粘滑振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，清晰的說(shuō)明了鉆井系統(tǒng)的傳動(dòng)關(guān)系，對(duì)鉆柱粘滑振動(dòng)進(jìn)行仿真分析。提出一種依靠提高鉆柱系統(tǒng)自身阻尼的控制策略，有效抑制鉆柱粘滑振動(dòng)，提高鉆井系統(tǒng)穩(wěn)定性，應(yīng)用前景廣闊。

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[4]韓春杰，閻鐵，畢雪亮，等.深井鉆柱振動(dòng)規(guī)律的分析及應(yīng)用[J].天然氣工業(yè)，2005，25（9）：76-79.

[5]馬斐，施太和.實(shí)測(cè)鉆柱振動(dòng)特性分析[J].天然氣工業(yè)，1997，17：48-51.endprint

2.2 鉆具摩擦力矩模型 速度和摩擦力矩是連續(xù)變化的，這種變化是非線性的。鉆頭受到的摩擦力矩mf可以表示為以鉆頭轉(zhuǎn)速ω2為自變量的函數(shù)?？梢杂肅oulomb摩擦加Stribeck效應(yīng)的模型近似鉆柱粘滑系統(tǒng)摩擦。Stribeck效應(yīng)的摩擦模型如圖2所示。

圖2中M0表示庫(kù)倫摩擦轉(zhuǎn)矩；Ma表示最大靜摩擦轉(zhuǎn)矩；ωs表示Stribeck速度，即摩擦轉(zhuǎn)矩初始斜率與庫(kù)倫摩擦轉(zhuǎn)矩的交點(diǎn)值，當(dāng)轉(zhuǎn)速比較低時(shí)ωs對(duì)摩擦特性影響比較大?？梢垣@得Stribeck摩擦模型的表達(dá)式：

3 鉆柱粘滑振動(dòng)仿真分析

基于鉆柱動(dòng)力學(xué)分析，對(duì)鉆柱系統(tǒng)的粘滑振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行仿真分析，仿真如圖3所示。系統(tǒng)受到很大的擾動(dòng)時(shí)，鉆頭轉(zhuǎn)速ω2波動(dòng)變化很大，幅值可以降低到零，最大幅值會(huì)超過(guò)ω1的兩倍，鉆柱就會(huì)產(chǎn)生粘滑振動(dòng)。在滑動(dòng)周期內(nèi)，鉆頭受到的摩擦為滑動(dòng)摩擦，如果鉆頭扭矩與轉(zhuǎn)速方向一致，鉆頭轉(zhuǎn)速逐漸升高；如果鉆頭扭矩與轉(zhuǎn)速方向相反，鉆頭轉(zhuǎn)速逐漸下降。鉆頭速度峰值超過(guò)整個(gè)鉆柱系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的兩倍，此時(shí)鉆柱容易被損壞。當(dāng)鉆頭進(jìn)入粘滯期，鉆頭受到的摩擦為靜摩擦，其摩擦扭矩與鉆桿扭矩平衡，此時(shí)鉆頭扭矩為零且鉆頭轉(zhuǎn)速為零。

4 系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)

鉆井過(guò)程存在許多不確定因素，且鉆具受到的摩擦力是連續(xù)非線性的，無(wú)法準(zhǔn)確獲知受到的摩擦力矩。隨著鉆井深度增加，鉆柱傳動(dòng)系統(tǒng)遲滯性更加明顯，普通的PID控制器無(wú)法滿足抑制鉆柱粘滑振動(dòng)的要求。針對(duì)鉆井運(yùn)行諸多不確定因素和粘滑振動(dòng)不確定性問(wèn)題，基于PID控制器提出了一種依靠提高鉆柱系統(tǒng)自身阻尼的控制策略，如圖4所示。

與經(jīng)典PID控制相比，該控制方案增加了一個(gè)基于鉆柱轉(zhuǎn)矩估計(jì)的回饋環(huán)和一個(gè)處理自然振動(dòng)頻率的濾波器。將驅(qū)動(dòng)電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速反饋給估計(jì)器，估計(jì)器計(jì)算鉆柱扭矩的估計(jì)值傳遞給控制器，控制器可以計(jì)算驅(qū)動(dòng)電機(jī)給定轉(zhuǎn)速和輸出轉(zhuǎn)速的偏差值，對(duì)偏差進(jìn)行自我補(bǔ)償，通過(guò)適當(dāng)調(diào)節(jié)使偏差趨于為零。對(duì)控制器的調(diào)節(jié)，需要獲知鉆柱自然振動(dòng)頻率，可以利用適應(yīng)性濾波方法估計(jì)頻率值，對(duì)粘滑振動(dòng)進(jìn)行有效抑制?？刂普{(diào)節(jié)比較穩(wěn)定，可以降低主導(dǎo)閉環(huán)點(diǎn)阻尼值，使控制器的穩(wěn)定性會(huì)加強(qiáng)。該控制方案可以不必獲知井底鉆頭的具體信息，不受外界擾動(dòng)對(duì)鉆柱傳動(dòng)系統(tǒng)的影響，具有較好的抗干擾性。

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，將鉆柱粘滑振動(dòng)的研究歸因于巖石與鉆頭相互作用的摩擦力，構(gòu)建產(chǎn)生粘滑振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，清晰的說(shuō)明了鉆井系統(tǒng)的傳動(dòng)關(guān)系，對(duì)鉆柱粘滑振動(dòng)進(jìn)行仿真分析。提出一種依靠提高鉆柱系統(tǒng)自身阻尼的控制策略，有效抑制鉆柱粘滑振動(dòng)，提高鉆井系統(tǒng)穩(wěn)定性，應(yīng)用前景廣闊。

參考文獻(xiàn)：

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[5]馬斐，施太和.實(shí)測(cè)鉆柱振動(dòng)特性分析[J].天然氣工業(yè)，1997，17：48-51.endprint