楊濤+周皓+季冬+顧濟(jì)華

摘 要： 為了提高三維物體計(jì)算全息圖的生成速度，在主菲涅爾波帶法的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)算法。首先依據(jù)衍射距離將二維主菲涅爾波帶轉(zhuǎn)換為兩組一維波帶；然后依據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況與顯示裝置進(jìn)行尺寸匹配；最后將得到的波帶疊加獲得三維物體全息圖。該算法與改進(jìn)前相比，內(nèi)存空間的占用較小，運(yùn)算速度得到顯著提高，生成的全息圖經(jīng)由DMD再現(xiàn)獲得高質(zhì)量的三維物體再現(xiàn)圖像。

關(guān)鍵詞： 計(jì)算全息； 主菲涅爾波帶； 光電再現(xiàn)； DMD

中圖分類號(hào)： TN911?34； O438.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）20?0112?04

“Host” Fresnel wave zone holographic imaging method based on

three?dimensional objects

YANG Tao， ZHOU Hao， JI Dong， GU Ji?hua

（Department of Physics Science and Technology， Soochow University， Suzhou 215006， China）

Abstract： In order to improve the generating speed to the three?dimensional objects calculation hologram， an improved algorithm based on the “host” Fresnel wave zone method is proposed. The two?dimensional “host” Fresnel wave zone is converted to two one?dimensional wave zones according to the diffraction distance， and then the desired Fresnel wave zones are matched with the size of the display device according to the actual application. Finally， the obtained Fresnel wave zones are superimposed to achieve three?dimensional objects hologram. Compared to the previous algorithm， the improved algorithm occupies less memory space， its computing speed has been significantly improved and a high quality reconstructed image generated by the DMD can be obtained.

Keywords： CGH； “host” Fresnel wave zone； photoelectric reconstruction； DMD

0 引 言

人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的感知中，80%的信息來(lái)源于雙眼的視覺(jué)，而目前占據(jù)主流地位的顯示技術(shù)仍是二維顯示技術(shù)，雖然二維顯示技術(shù)能滿足大部分日常生活需求，但與三維顯示相比，缺乏臨場(chǎng)感和視覺(jué)沖擊感。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，三維立體顯示技術(shù)越來(lái)越成熟，逐漸成為研究的熱點(diǎn)[1?4]。目前三維立體顯示技術(shù)主要分兩種，一種是基于雙目視差的立體顯示技術(shù)，如眼鏡/頭盔式三維立體顯示和光柵式自由立體顯示[5?8]、合成成像立體顯示[9?13]、體三維顯示[14?15]等各種三維顯示技術(shù)，這些技術(shù)都是通過(guò)提供具有一定視差的圖像，使觀察者形成一定的深度印象，從而達(dá)到三維立體顯示的目的。另外一種則是顯示真實(shí)立體物體影像的技術(shù)，如全息技術(shù)，它通過(guò)干涉完整地記錄了物體的強(qiáng)度、相位等信息，再現(xiàn)像是真正意義的空間立體圖像，再現(xiàn)圖像可以直接進(jìn)行裸眼觀察，被大多數(shù)人認(rèn)為是未來(lái)三維顯示最理想的方案[16?19]。

目前采用全息技術(shù)顯示三維物體的方法主要有光學(xué)全息、數(shù)字全息和計(jì)算全息。其中計(jì)算全息具有噪聲低、可重復(fù)性好、可實(shí)現(xiàn)虛擬物體的實(shí)體化等特點(diǎn)。但由于三維物體復(fù)雜的數(shù)學(xué)描述和有限的計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力，計(jì)算效率成為了限制計(jì)算全息發(fā)展的瓶頸。研究者在不提高計(jì)算機(jī)硬件的前提下，研究了很多簡(jiǎn)化三維物體的計(jì)算全息算法，以達(dá)到提高計(jì)算速度的目的：Waters提出通過(guò)分別計(jì)算單個(gè)點(diǎn)光源在全息平面上的復(fù)振幅以疊加編碼成計(jì)算全息圖[20]；Leseberg將三維物體各個(gè)平面的菲涅爾全息圖累和組成具有全息圖[21]；張曉潔等人提出了主菲涅爾波帶法[22?24]，在點(diǎn)物散法的基礎(chǔ)上，通過(guò)規(guī)整同一深度下的所有采樣物點(diǎn)來(lái)提高運(yùn)算速度；李勇等研究者對(duì)全息圖進(jìn)行變量分離[25?26]，以達(dá)到減少計(jì)算量，提高運(yùn)算效率的目的。

本文改進(jìn)了主菲涅爾波帶法以進(jìn)一步提高全息圖生成效率：將分離變量原理[17?19]與主菲涅爾波帶法相結(jié)合，從主菲涅爾波帶的計(jì)算公式中分離出關(guān)于兩個(gè)軸上的獨(dú)立分量，以獨(dú)立分量代替主菲涅爾波帶，并獲取其他采樣物點(diǎn)軸上的分量，最后通過(guò)計(jì)算得到各個(gè)菲涅爾波帶。與傳統(tǒng)主菲涅爾波帶法相比，改進(jìn)后的算法不僅補(bǔ)全了文獻(xiàn)[23]中丟失的高頻信息，而且計(jì)算量進(jìn)一步減少，運(yùn)算速度得到較大提高。將生成的計(jì)算全息圖采用DMD進(jìn)行光電再現(xiàn)得到了高質(zhì)量的三維物體再現(xiàn)圖像。

1 原 理

1.1 主菲涅爾波帶法

若采用平面波垂直照射，對(duì)于給定衍射距離上的所有采樣物點(diǎn)，它們完整的菲涅爾衍射波帶都具有相同的衍射圖樣，只是菲涅爾波帶的中心位置不同，根據(jù)這一特性，主菲涅爾波帶法只需計(jì)算其中一個(gè)點(diǎn)的菲涅爾衍射波帶，其他采樣點(diǎn)的菲涅爾波帶可以通過(guò)平移操作獲得，這個(gè)需要計(jì)算的點(diǎn)稱之為主點(diǎn)，一般取物平面中央位置的采樣點(diǎn)，主點(diǎn)的全息圖則稱之為主菲涅爾波帶，所有采樣點(diǎn)的菲涅爾波帶疊加得到全息圖。

在滿足奈奎斯特采樣定理的前提下，主菲涅爾波帶法物平面像素間隔[Δx，Δy]和接收面像素間隔[Δξ，Δη]關(guān)系另外還滿足：

[Δx≥λzMHΔξ，Δy≥λzNHΔη] （1）

式中，[λ]為光源波長(zhǎng)；[MH×NH]為接收面像素?cái)?shù)目；[z]為垂直衍射距離。依據(jù)人眼的分辨率，[Δx]和[Δy]同樣也有個(gè)上限值，不同的衍射距離有不同的上限值。本文從計(jì)算方便出發(fā)，物平面和接收面的像素間隔都選取下限值[27]。

從理論角度出發(fā)，主菲涅爾波帶大小可以任意設(shè)置，假設(shè)主菲涅爾波帶大小與接收面一致，如圖1 所示，全息圖的接收面限制在：

[ξ∈[-ξh，ξh]] （2）

[η∈[-ηh，ηh]] （3）

點(diǎn)[O]和[A]分別位于物平面的中心位置和右上角邊緣位置，分別與衍射面上主菲涅爾波帶中心[O′]和[A′]相對(duì)應(yīng)。平移主菲涅爾波帶求[A]點(diǎn)的菲涅爾波帶時(shí)，主菲涅爾波帶中心[O′]平移的總長(zhǎng)度[d]，其中[x]軸和[y]軸平移長(zhǎng)度分別為：

[dξ=ΔxMO2] （4）

[dη=ΔyNO2] （5）

由圖1可見(jiàn)，平移之后，以[A′]為中心的主菲涅爾波帶只有很少一部分信息被接受面接收，而大部分高頻信息都丟失了。為了獲得高質(zhì)量的再現(xiàn)像，主菲涅爾波帶必須設(shè)置的足夠大，才能保證全息圖的信息量，即平移后以[A′]為中心的主菲涅爾波帶恰好能完整覆蓋接收面，設(shè)此時(shí)主菲涅爾波帶在[ξ]軸和[η]軸的長(zhǎng)度分別為[xf]和[yf]，由幾何關(guān)系可得：

[xf=2（dξ+ξh）] （6）

[yf=2（dη+ηh）] （7）

根據(jù)兩平面間采樣間隔關(guān)系，將距離換算成像素?cái)?shù)目，主菲涅爾波帶的像素?cái)?shù)目最小應(yīng)滿足：

[M×N=λzMHΔξ2MO+MH×λzNHΔη2NO+NH] （8）

式中，[M]和[N]的值通常不是整數(shù)，常取比其值大的最小整數(shù)。

圖1 主菲涅爾波帶法平移原理圖

1.2 改進(jìn)算法

在主菲涅爾波帶法的基礎(chǔ)上，利用分離變量原理做了相應(yīng)改進(jìn)，基本思路是利用主菲涅爾波帶在[ξ]軸和[η]軸上的獨(dú)立分量代替主菲涅爾波帶，以達(dá)到減少內(nèi)存空間占用和計(jì)算量，提高計(jì)算效率的目的。根據(jù)菲涅爾的基本衍射公式，主菲涅爾波帶在[ξ]軸和[η]軸上的獨(dú)立分量[x]和[y]的離散形式分別滿足以下公式：

[x=expjk[（m-M2-1）Δξ]22z] （9）

[y=expjk[（n-N2-1）Δη]22z] （10）

[C=exp（jkz）jλz] （11）

式中：[m∈[1，M]]；[n∈[1，N]]的正整數(shù)。

改進(jìn)算法的基本思路如圖2所示。按上述公式計(jì)算得到主菲涅爾波帶的獨(dú)立分量[x]和[y]，將平移操作的對(duì)象從主菲涅爾波帶轉(zhuǎn)換為[x]和[y]，[ξ]軸，[η]軸上的接收窗口分別限制在[ξ∈[-ξh，ξh]]和[η∈[-ηh，ηh]]以匹配顯示器件的分辨率，按坐標(biāo)相對(duì)位置平移得到其他采樣點(diǎn)在[ξ]軸獨(dú)立分量[MH×1]的獨(dú)立分量[xn]和[η]軸[1×NH]的獨(dú)立分量[yn]，通過(guò)矩陣乘法即可得到每個(gè)采樣點(diǎn)的菲涅爾波帶，疊加組合成全息圖。

計(jì)算模擬運(yùn)算中，以雙精度類型將[M×N]的主菲涅爾波帶保存到內(nèi)存中，需要內(nèi)存連續(xù)空間[size=8MN/1 0243]GB，改進(jìn)的算法以獨(dú)立分量x和y代替主菲涅爾波帶，此過(guò)程僅需要消耗內(nèi)存連續(xù)空間[size′=8（M+N）1 0243] GB，與未改進(jìn)相比，減少了內(nèi)存占用空間[Δsize=8（MN-M-N）1 0243] GB，共少計(jì)算了[（MN-M-N）]個(gè)元素的值。當(dāng)實(shí)驗(yàn)條件確定時(shí)，改進(jìn)前后內(nèi)存占用空間與衍射距離的關(guān)系如圖3所示。由圖3可知，衍射距離越遠(yuǎn)，改進(jìn)后的算法在內(nèi)存占用和計(jì)算量上越有優(yōu)勢(shì)。

圖3 改進(jìn)前后內(nèi)存占用空間對(duì)比

2 實(shí) 驗(yàn)

2.1 計(jì)算全息圖

國(guó)際象棋中的“國(guó)王”、“皇后”和全息圖的位置關(guān)系如圖4（a）所示，“皇后”和“國(guó)王”分別位于全息圖[0.3 m]處和[0.5 m]處，共有12 994個(gè)采樣物點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)中采用[532 nm]的半導(dǎo)體綠色激光器作為光源，計(jì)算像素?cái)?shù)目為[1 024×768]的全息圖，以匹配DMD的分辨率。設(shè)定原始物圖大小為[47 mm（H）×47 mm（V）]，像素?cái)?shù)目為[512×512]，接受面像素?cái)?shù)數(shù)目為[1 024×768]，像素間隔為[3.45 μm（H）×3.45 μm（V）]。

根據(jù)公式（8）計(jì)算[0.3 m]處的主菲涅爾波帶，滿足要求的主菲涅爾波帶的像素?cái)?shù)為[28 672×21 504]，以雙精度類型存儲(chǔ)，[M×N]的主菲涅爾波帶需要[4.59 GB]的內(nèi)存連續(xù)空間，受限于實(shí)驗(yàn)室電腦（3 GB內(nèi)存）內(nèi)存空間的限制，無(wú)法將如此龐大的單個(gè)矩陣數(shù)組存放到內(nèi)存中，故未改進(jìn)的主菲涅爾波帶法的程序無(wú)法順利模擬，而改進(jìn)后的算法，[28 672×1]的獨(dú)立分量[x]和[1×21 504]獨(dú)立分量[y]僅占用[0.383 MB]的內(nèi)存連續(xù)空間，完全滿足運(yùn)行環(huán)境。改進(jìn)后算法用時(shí)150 s得到如圖4（b）所示的全息圖，并進(jìn)行了DMD光電再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)。

圖4 原始物圖和計(jì)算全息圖

2.2 DMD光電再現(xiàn)

DMD再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)采用如圖5所示的光路，對(duì)圖4（b）的全息圖進(jìn)行了再現(xiàn)，圖中采用532 nm的半導(dǎo)體綠色激光器，實(shí)驗(yàn)采用的DMD分辨率為1 024（H） ×768 （V），單個(gè)微鏡的尺寸為[10.8 μm（H）×10.8 μm（V）]，鏡面之間的間隙為[1 μm]。激光經(jīng)擴(kuò)束準(zhǔn)直后，照射到DMD上，全息圖通過(guò)計(jì)算機(jī)加載到DMD上，分別在離DMD距離[21?23]為3.5 m和5.85 m處獲得如圖6所示的再現(xiàn)像。

當(dāng)接收屏與DMD相距3.5 m時(shí)，皇后的像清晰可見(jiàn)而國(guó)王模糊不清，如圖6（a）所示；當(dāng)相距5.85 m時(shí)，遠(yuǎn)處的國(guó)王像清晰可見(jiàn)而近處的皇后模糊不清，如圖6（b）所示，不同衍射距離得到相應(yīng)位置物體的清晰再現(xiàn)像。

Laser：532 nm的半導(dǎo)體綠色激光器；BE：擴(kuò)束準(zhǔn)直裝置；

DMD：數(shù)字微鏡器件； Camera：數(shù)碼相機(jī)

圖5 DMD全息顯示系統(tǒng)

圖6 DMD光電再現(xiàn)

3 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)主菲涅爾波帶法進(jìn)行改進(jìn)，將二維全息圖信息變換到一維空間分別進(jìn)行運(yùn)算合成以提高計(jì)算效率，依據(jù)再現(xiàn)器件要求進(jìn)行尺寸匹配，得到適合的計(jì)算全息圖。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文方法具有快速高效生成三維物體全息圖的優(yōu)點(diǎn)，再現(xiàn)圖像質(zhì)量較高，對(duì)于三維物體動(dòng)態(tài)顯示具有很好的應(yīng)用前景。

注：本文通訊作者為顧濟(jì)華。

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