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        探究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑問(wèn)題的教學(xué)與思考

        2014-10-11 04:25:45丁衛(wèi)東
        關(guān)鍵詞:位線圓周角半軸

        丁衛(wèi)東

        在近幾年各地中考中,出現(xiàn)了一些關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的問(wèn)題,而在現(xiàn)在的初中教材中,沒(méi)有明確軌跡的知識(shí),所以學(xué)生往往只從操作等直觀的方面去思考,或者畫出幾個(gè)特殊位置時(shí)的圖形,來(lái)判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可能形成的路徑,但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問(wèn)題,而不能說(shuō)明道理.本文從如何運(yùn)用現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)判斷、說(shuō)明和計(jì)算點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的角度提出自己在教學(xué)過(guò)程中的一些方法.

        一、用幾何知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        1.用平行線的性質(zhì)“平行線間的距離處處相等”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例1】

        如圖1,△ABC的邊長(zhǎng)分別6、8、10,一個(gè)以P為圓心且半徑為1的圓在其內(nèi)部滾動(dòng),且總是與△ABC的邊相切,當(dāng)P第一次回到它原來(lái)的位置時(shí),P走過(guò)的路程是多少?

        分析:圓在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中圓心到三角形各邊的距離不變,所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑就是在三角形內(nèi)部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形,三角形的周長(zhǎng)就是P走過(guò)的路程.

        2.用圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫做圓”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例2】

        如圖2,一根木棒AB長(zhǎng)為2,斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上,與地面的傾角為60°,若木棒A端沿NO下滑,B端沿OM向右滑行,木棒的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),已知A端下滑到A′時(shí),AA′=-3-2,則中點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)的路線有多長(zhǎng)?

        分析:抓住點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)由于運(yùn)動(dòng)中木棒長(zhǎng)度不變,所以P到O的距離也不變(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心,以1為半徑的圓.

        3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例3】

        如圖3,已知AB=10,點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2;P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn),分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB,連結(jié)EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G;當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),求點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng).

        分析:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的CD長(zhǎng)度不變,G為EF中點(diǎn)和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變,發(fā)現(xiàn)△ABQ是一個(gè)不變的等邊三角形,而G始終是PQ中點(diǎn),從而想到用三角形中位線定理找到G的運(yùn)動(dòng)路徑.

        4.用圓周角性質(zhì)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例4】如圖4,已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn).P(0,m)是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C除外).設(shè)過(guò)點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作直線ME的垂線,垂足為H.當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).求點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

        分析:在點(diǎn)H隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠OHM始終等于90°,與定點(diǎn)OM構(gòu)成直角三角形.所以根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”反過(guò)來(lái),可以看出點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng).

        二、用函數(shù)知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例5】

        如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=8,OC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),連接DP、DA.

        (1)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo);

        (2)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).

        分析:1.由(1)可知D的坐標(biāo)為(2+2t,t),其中縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都含有變量t,且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系為y=12x-1,是一次函數(shù),可知頂點(diǎn)在直線y=12x-1上運(yùn)動(dòng);2.由0≤t≤4,得出頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以(2,0)和(10,4)為端點(diǎn)的一條線段,應(yīng)用勾股定理,就可以求出這條線段的長(zhǎng)度.

        (責(zé)任編輯黃桂堅(jiān))endprint

        在近幾年各地中考中,出現(xiàn)了一些關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的問(wèn)題,而在現(xiàn)在的初中教材中,沒(méi)有明確軌跡的知識(shí),所以學(xué)生往往只從操作等直觀的方面去思考,或者畫出幾個(gè)特殊位置時(shí)的圖形,來(lái)判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可能形成的路徑,但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問(wèn)題,而不能說(shuō)明道理.本文從如何運(yùn)用現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)判斷、說(shuō)明和計(jì)算點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的角度提出自己在教學(xué)過(guò)程中的一些方法.

        一、用幾何知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        1.用平行線的性質(zhì)“平行線間的距離處處相等”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例1】

        如圖1,△ABC的邊長(zhǎng)分別6、8、10,一個(gè)以P為圓心且半徑為1的圓在其內(nèi)部滾動(dòng),且總是與△ABC的邊相切,當(dāng)P第一次回到它原來(lái)的位置時(shí),P走過(guò)的路程是多少?

        分析:圓在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中圓心到三角形各邊的距離不變,所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑就是在三角形內(nèi)部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形,三角形的周長(zhǎng)就是P走過(guò)的路程.

        2.用圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫做圓”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例2】

        如圖2,一根木棒AB長(zhǎng)為2,斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上,與地面的傾角為60°,若木棒A端沿NO下滑,B端沿OM向右滑行,木棒的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),已知A端下滑到A′時(shí),AA′=-3-2,則中點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)的路線有多長(zhǎng)?

        分析:抓住點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)由于運(yùn)動(dòng)中木棒長(zhǎng)度不變,所以P到O的距離也不變(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心,以1為半徑的圓.

        3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例3】

        如圖3,已知AB=10,點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2;P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn),分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB,連結(jié)EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G;當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),求點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng).

        分析:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的CD長(zhǎng)度不變,G為EF中點(diǎn)和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變,發(fā)現(xiàn)△ABQ是一個(gè)不變的等邊三角形,而G始終是PQ中點(diǎn),從而想到用三角形中位線定理找到G的運(yùn)動(dòng)路徑.

        4.用圓周角性質(zhì)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例4】如圖4,已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn).P(0,m)是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C除外).設(shè)過(guò)點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作直線ME的垂線,垂足為H.當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).求點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

        分析:在點(diǎn)H隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠OHM始終等于90°,與定點(diǎn)OM構(gòu)成直角三角形.所以根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”反過(guò)來(lái),可以看出點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng).

        二、用函數(shù)知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例5】

        如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=8,OC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),連接DP、DA.

        (1)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo);

        (2)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).

        分析:1.由(1)可知D的坐標(biāo)為(2+2t,t),其中縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都含有變量t,且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系為y=12x-1,是一次函數(shù),可知頂點(diǎn)在直線y=12x-1上運(yùn)動(dòng);2.由0≤t≤4,得出頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以(2,0)和(10,4)為端點(diǎn)的一條線段,應(yīng)用勾股定理,就可以求出這條線段的長(zhǎng)度.

        (責(zé)任編輯黃桂堅(jiān))endprint

        在近幾年各地中考中,出現(xiàn)了一些關(guān)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的問(wèn)題,而在現(xiàn)在的初中教材中,沒(méi)有明確軌跡的知識(shí),所以學(xué)生往往只從操作等直觀的方面去思考,或者畫出幾個(gè)特殊位置時(shí)的圖形,來(lái)判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可能形成的路徑,但這種方法只能用于解決填空或選擇和只需直接寫出答案的問(wèn)題,而不能說(shuō)明道理.本文從如何運(yùn)用現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)判斷、說(shuō)明和計(jì)算點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的角度提出自己在教學(xué)過(guò)程中的一些方法.

        一、用幾何知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        1.用平行線的性質(zhì)“平行線間的距離處處相等”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例1】

        如圖1,△ABC的邊長(zhǎng)分別6、8、10,一個(gè)以P為圓心且半徑為1的圓在其內(nèi)部滾動(dòng),且總是與△ABC的邊相切,當(dāng)P第一次回到它原來(lái)的位置時(shí),P走過(guò)的路程是多少?

        分析:圓在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中圓心到三角形各邊的距離不變,所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑就是在三角形內(nèi)部、平行于三條邊并且到三邊的距離等于半徑1的三條直線圍成的三角形,三角形的周長(zhǎng)就是P走過(guò)的路程.

        2.用圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫做圓”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例2】

        如圖2,一根木棒AB長(zhǎng)為2,斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上,與地面的傾角為60°,若木棒A端沿NO下滑,B端沿OM向右滑行,木棒的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),已知A端下滑到A′時(shí),AA′=-3-2,則中點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)的路線有多長(zhǎng)?

        分析:抓住點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)由于運(yùn)動(dòng)中木棒長(zhǎng)度不變,所以P到O的距離也不變(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心,以1為半徑的圓.

        3.用中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例3】

        如圖3,已知AB=10,點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2;P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn),分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB,連結(jié)EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G;當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),求點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng).

        分析:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的CD長(zhǎng)度不變,G為EF中點(diǎn)和△AEP和△PFB為等邊三角形這些條件也不變,發(fā)現(xiàn)△ABQ是一個(gè)不變的等邊三角形,而G始終是PQ中點(diǎn),從而想到用三角形中位線定理找到G的運(yùn)動(dòng)路徑.

        4.用圓周角性質(zhì)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例4】如圖4,已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn).P(0,m)是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C除外).設(shè)過(guò)點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作直線ME的垂線,垂足為H.當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).求點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

        分析:在點(diǎn)H隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠OHM始終等于90°,與定點(diǎn)OM構(gòu)成直角三角形.所以根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”反過(guò)來(lái),可以看出點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng).

        二、用函數(shù)知識(shí)探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

        【例5】

        如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=8,OC=4.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),連接DP、DA.

        (1)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo);

        (2)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).

        分析:1.由(1)可知D的坐標(biāo)為(2+2t,t),其中縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都含有變量t,且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系為y=12x-1,是一次函數(shù),可知頂點(diǎn)在直線y=12x-1上運(yùn)動(dòng);2.由0≤t≤4,得出頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以(2,0)和(10,4)為端點(diǎn)的一條線段,應(yīng)用勾股定理,就可以求出這條線段的長(zhǎng)度.

        (責(zé)任編輯黃桂堅(jiān))endprint

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