張春玲

（大連海洋大學職業(yè)技術學院，遼寧 大連 116300）

0.引言

在結構力學中，結構的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一地確定，此類結構就稱為超靜定結構。解決超靜定問題的方法很多，常用有力法、位移法、力矩分配法。而位移法和力矩分配法是先作彎矩圖，后作剪力圖，再作軸力圖。彎矩圖是根據(jù)桿端彎矩和已知荷載分布情況疊加而成，但剪力圖和軸力圖，是通過繁瑣的平衡條件求出桿端內(nèi)力值，再由內(nèi)力值與已知荷載分布情況疊加而成。本文探討另外一種作圖方法，即根據(jù)分布荷載 q、剪力 FS（x）、彎矩 M（x）微分關系總結出作圖規(guī)律，直接繪出剪力、軸力圖，達到快、準、易學目的。

1.分布荷載、剪力、彎矩微分關系

如圖-1所示，分布載荷、剪力和彎矩之間存在著一定的關系，根據(jù)單元體的平衡條件可推導出

上式說明，剪力對截面位置坐標x的導數(shù)等于同一截面上的分布載荷集度。就是說，剪力圖上某點切線的斜率等于該點相應截面上的分布載荷集度q（x）。同理可導出

即彎矩對截面位置坐標x的導數(shù)等于同一截面上的剪力。亦即彎矩圖上某點切線的斜率等于該點相應截面上的剪力 FS（x）。 將式（2）對 x 求導，并利用式（1）可得

即彎矩對截面位置坐標x的二階導數(shù)等于梁在該截面的分布載荷集度。亦即彎矩圖斜率的變化與q（x）有關，若 q（x）為正值，即=q（x）>0，M（x）圖為上凸曲線（碗口朝下），反之若q（x）<0，M（x）圖為下凸曲線（碗口朝上）。

上述 q（x）、FS（x）和M（x）之間的微分關系給出了 FS（x）和 M（x）為連續(xù)曲線時三者之間的關系。以上三式就是M（x）和 FS（x）為 連 續(xù)曲 線 時彎矩、剪力和載荷集度之間的微分關系。式中內(nèi)力符號按前述規(guī)定采用，q（x）取向上為正，x的方向應取向右為正。

圖－1 荷載分布微分圖

綜合微分關系，可得到下述作圖規(guī)律：

（1）對剪力圖，有均布荷載 q就有斜直線，當 q↓時，F(xiàn)S（x）剪力斜線為（），當 q↑時，剪力 FS（x）的斜線（/），有集中力就有突變，突變值等于集中力，有集中力偶，在集中力偶作用處其剪力值不變。

（2）對彎曲矩圖，有均布荷載就有拋物線，當 q↓時，彎矩（M）的圖形∩，當 q↑時，M圖形為∪，有集中力就有轉折點，集中力處兩側的彎矩值不變，有集中力偶矩就有突變，突變值等于集中力偶矩。

（3）當彎矩圖形是斜直線，剪力圖為水平線。當彎矩（M）的圖形（），剪力為正值；當彎矩（M）的圖形（/），剪力為負值；剪力等零處，彎矩圖有極值。綜合利用這些關系和規(guī)律，不僅可以快捷地檢驗繪出的 FS（x）和M（x）圖正確與否，如熟練掌握后還可以直接繪制FS（x）和M（x）圖。這一方法在工程實際中廣泛應用。

2.根據(jù)彎矩圖直接作剪力圖的示例分析

2.1 對彎矩圖進行分段

如圖-2（a）所示多跨連續(xù)梁，由力矩分配法已繪制其彎矩圖，試根據(jù)彎矩圖求作剪力圖和約束反力。圖-2（b）所示彎矩圖，由力界點將彎矩圖分成四段，即 AE、EB、BC、CD 段。

圖－2 連續(xù)梁彎矩圖

2.2 根據(jù)內(nèi)力圖規(guī)律及微分關系分段作出剪力圖

如圖-3（a）、（c）、（e）所示，AE、EB、CD 段彎矩圖為直線圖，根據(jù)式（1）導數(shù)為常數(shù)，即剪力圖必為水平線，正負由規(guī)律（3）確定，各段剪力值（彎矩圖的斜率）為

各段剪力圖見圖-3（b）、（d）、（f）所示。

圖－3 連續(xù)梁彎矩、剪力分段圖

2.3 分解彎矩圖與疊加剪力圖

如圖-4（a）所示，BC 段彎矩圖是由圖-4（c）梯形直線圖與圖-4（e）拋物曲線疊加而成，剪力圖也應當是圖-4（d）、（f）疊加出來，即圖-4（b）所示。

圖－4 彎矩、剪力疊加分解圖

2.4 繪制全梁剪力圖

將各段剪力圖拼接后，即為整個梁剪力圖，如圖-2（c）所示，掌握上述作圖技巧，能夠快、準地繪制剪力圖。

2.5 直觀確定各支撐處約束反力

根據(jù)作圖規(guī)律，通過圖-2（b）、（c）直觀分析，容易確定各支撐處約束反力，即根據(jù)剪力圖、彎矩圖的突變值得出

3.結語

實踐證明，利用作圖規(guī)律和分布荷載、剪力、彎矩微分關系能快速繪出連續(xù)梁的剪力圖，不用或少用平衡方程，避免解題麻煩，能獲得事半功倍效果，由此也能培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力。

［1］劉文順.結構力學［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2007.

［2］姜魯珍，等.復合材料圓管構件的等效模型研究［J］.工程力學，2000，17（3）:71-73.

［3］孫訓方，方孝淑.材料力學（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.