褚超美，杜玉昊，張 斌，劉延波

(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

前言

變速器殼體是汽車變速傳動(dòng)系統(tǒng)的支撐體，由于受到齒輪軸和外部車身傳遞沖擊力的作用，極易因結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不足而引起局部斷裂，導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)的可靠性能下降。因此通常在殼體設(shè)計(jì)階段須應(yīng)用有限元分析法對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析，使之達(dá)到使用要求。網(wǎng)格劃分是建立有限元模型的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，網(wǎng)格劃分的合理性，將會(huì)對(duì)有限元計(jì)算精度和計(jì)算規(guī)模產(chǎn)生直接影響。

有限元網(wǎng)格劃分須根據(jù)不同的對(duì)象采取不同的網(wǎng)格劃分方法和單元類型，因此須針對(duì)具體目標(biāo)設(shè)定合理的網(wǎng)格劃分方案。為滿足整車空間布置、結(jié)構(gòu)輕量化和可靠性設(shè)計(jì)的要求，變速器殼體大多被設(shè)計(jì)成一個(gè)形狀不規(guī)則、內(nèi)外部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，壁厚不均勻，且在任一方向上都不對(duì)稱的特殊結(jié)構(gòu)體。對(duì)于類似變速器殼體這種復(fù)雜的幾何模型，一種高質(zhì)量、高計(jì)算效率的有限元模型網(wǎng)格劃分方法，是取得高可信度有限元分析結(jié)果的重要保障。

1 網(wǎng)格劃分對(duì)求解精度和經(jīng)濟(jì)性的影響

為了得到較高精度的計(jì)算結(jié)果，常選用高精度的高階單元或小單元尺寸對(duì)復(fù)雜體進(jìn)行整體網(wǎng)格加密。但應(yīng)用實(shí)踐表明:單純的網(wǎng)格劃分方法和單一的單元類型對(duì)變速器殼體有限元分析求解精度和經(jīng)濟(jì)性的效果并不理想。為定性分析常用網(wǎng)格劃分方法對(duì)變速器殼體有限元分析效果的影響，現(xiàn)以變速器殼體的最大應(yīng)力和位移結(jié)果為依據(jù)，對(duì)采用不同網(wǎng)格劃分方法分析的計(jì)算精度、分析效率和計(jì)算資源等綜合效果進(jìn)行對(duì)比分析。

1.1 單元尺寸的影響分析

基于高階四面體的三維實(shí)體單元，分別以4、3、2.5和2mm為基本單元尺寸，對(duì)變速器殼體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，比較單元尺寸對(duì)強(qiáng)度分析效果的影響。表1示出不同單元尺寸下的單元數(shù)量。以圖1～圖4所示的不同單元尺寸有限元模型位移云圖為例，可明顯看出變速器殼體有限元分析結(jié)果隨基本單元尺寸的改變產(chǎn)生的差異。

表1 不同單元尺寸下的單元數(shù)量

圖5和圖6所示為單元尺寸對(duì)求解精度和經(jīng)濟(jì)性的影響。由圖可見(jiàn):當(dāng)單元尺寸從4mm加密至3mm時(shí)，最大應(yīng)力和位移的計(jì)算值都有較大增加，而計(jì)算時(shí)間和占用空間僅略有增加;當(dāng)繼續(xù)減小特征尺寸至2.5mm時(shí)，最大應(yīng)力和位移變化幅度均不大，分別為5.7%和4.8%，但是由于殼體有限元模型中的節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)量增長(zhǎng)卻很快，計(jì)算經(jīng)濟(jì)性迅速下降。其中:計(jì)算時(shí)間增加了1.5倍，占用空間增加了9%;當(dāng)單元尺寸繼續(xù)從2.5mm減小至2mm時(shí)，最大應(yīng)力和最大位移值幾乎沒(méi)有增加，但是計(jì)算時(shí)間卻增加了1倍，占用空間也提高了62%。因此，從提高工作效率的角度看，整體過(guò)密的網(wǎng)格分布，對(duì)提高求解精度意義不大［1］。綜合考慮計(jì)算精度和求解經(jīng)濟(jì)性認(rèn)為:變速器殼體有限元模型基本單元尺寸取3mm較為合理。

1.2 單元類型的影響分析

根據(jù)對(duì)單元尺寸的研究結(jié)論，選取3mm為基本單元尺寸分別對(duì)殼體進(jìn)行高階四面體和低階四面體網(wǎng)格劃分和強(qiáng)度分析，結(jié)果如表2和圖7、圖8所示。

表2 不同階數(shù)四面體網(wǎng)格計(jì)算信息對(duì)比

通過(guò)對(duì)表2中模型單元、節(jié)點(diǎn)數(shù)、計(jì)算時(shí)間和占用空間對(duì)比可見(jiàn)，相同單元數(shù)時(shí)，高階四面體節(jié)點(diǎn)數(shù)量遠(yuǎn)大于低階四面體節(jié)點(diǎn)數(shù)量，兩者占用空間雖然相差不大，但是采用高階四面體模型的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)大于低階四面體模型。由圖7和圖8可見(jiàn):同等網(wǎng)格密度下，高階四面體單元位移計(jì)算結(jié)果與理論解更為接近。綜上所述，高階四面體單元具有高精度計(jì)算優(yōu)勢(shì)，低階四面體單元具有高效性優(yōu)勢(shì)。

2 網(wǎng)格劃分方法計(jì)算誤差分析

通過(guò)網(wǎng)格收斂性分析，綜合比較求解精確性和計(jì)算經(jīng)濟(jì)性，得到較為合適的基本單元尺寸，但仍無(wú)法滿足對(duì)于關(guān)注部位的求解精度要求。為獲得更為精確的計(jì)算結(jié)果，須對(duì)網(wǎng)格劃分方法進(jìn)行計(jì)算誤差分析。根據(jù)有限元理論，任一有限元子空間上的計(jì)算誤差是由內(nèi)部殘值和邊界殘值造成的［2-3］，即

式中:r(uh)為內(nèi)部殘值;R(uh)為邊界殘值;τ為兩匹配單元ε、ε'的公共邊;V是空間。

當(dāng) τ = ?ε∩?Ω時(shí)，有 R(uh)=Rε(uh)，稱 r(uh)與Rε(uh)為單元ε的單元?dú)堉?，基于單元?dú)堉蹬c式(1)，可得

將單元ε內(nèi)殘值r(uh)與Rε(uh)在全域所產(chǎn)生的誤差表示為eε，滿足如下變分問(wèn)題:

由式(4)與疊加法可得

由局部誤差和全局誤差理論得知，有限元分析過(guò)程中，如果網(wǎng)格劃分不合理，高應(yīng)力梯度區(qū)域和應(yīng)力集中點(diǎn)等關(guān)鍵性區(qū)域會(huì)產(chǎn)生較大的殘值，自身易產(chǎn)生較大的局部誤差，并導(dǎo)致其他區(qū)域較大全局誤差的產(chǎn)生［5］。事實(shí)上，對(duì)于滿足協(xié)調(diào)性與完備性要求的有限元求解模型，所有關(guān)鍵性區(qū)域的網(wǎng)格劃分水平?jīng)Q定了整個(gè)有限元模型的計(jì)算精度。因此，對(duì)殼體有限元模型中所有關(guān)鍵性區(qū)域進(jìn)行合理網(wǎng)格劃分，重點(diǎn)關(guān)注部位的誤差特性和導(dǎo)致誤差產(chǎn)生的具體因素，便可同時(shí)解決模型中任一子區(qū)域或單元的局部誤差與全局誤差兩方面的問(wèn)題［6］，從而獲得較高精度的計(jì)算結(jié)果。

3 殼體關(guān)鍵性區(qū)域網(wǎng)格劃分方法

提高殼體關(guān)鍵性區(qū)域有限元計(jì)算精度的主要方法是提高單元階次和進(jìn)行網(wǎng)格加密［7］。通過(guò)對(duì)變速器殼體有限元模型單元類型的計(jì)算精度和經(jīng)濟(jì)性綜合對(duì)比分析，認(rèn)為高階四面體模型是相對(duì)理想的單元類型。因此提出運(yùn)用高階四面體模型，對(duì)關(guān)鍵性區(qū)域進(jìn)行局部網(wǎng)格加密的方法，實(shí)現(xiàn)提高局部計(jì)算效果的目的。

3.1 殼體關(guān)鍵性區(qū)域的建立

由于構(gòu)件空間拓?fù)湫螤畋容^復(fù)雜和外載荷的原因，工程中大多數(shù)有限元模型中總存在一些高應(yīng)力梯度區(qū)域或應(yīng)力集中點(diǎn)。如果有限元模型網(wǎng)格劃分太疏或質(zhì)量較差，高應(yīng)力梯度區(qū)域和應(yīng)力集中點(diǎn)附近殘值較大，可能會(huì)導(dǎo)致較大的局部誤差產(chǎn)生［8-9］。在某高應(yīng)力梯度子域Ωk內(nèi)，令

對(duì)于待求解問(wèn)題，假定C=const，0＜C＜1，關(guān)鍵性區(qū)域是有限元求解模型中的應(yīng)力集中點(diǎn)部位或高應(yīng)力梯度子區(qū)域，在其內(nèi)部α1≤C。但是對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題，真解uEX(X)無(wú)法得到，所以αi也無(wú)法得到，只能通過(guò)仿真計(jì)算進(jìn)行粗略估計(jì)。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，對(duì)于關(guān)鍵性區(qū)域，無(wú)法通過(guò)上述方式進(jìn)行劃分，只能通過(guò)對(duì)粗糙模型的計(jì)算分析，確定出關(guān)鍵性區(qū)域。工程結(jié)構(gòu)中，應(yīng)力集中點(diǎn)區(qū)域相對(duì)于整體結(jié)構(gòu)而言較小，加密的網(wǎng)格和由細(xì)密網(wǎng)格到稀疏網(wǎng)格的過(guò)渡網(wǎng)格所占據(jù)的區(qū)域應(yīng)足以包含應(yīng)力集中區(qū)域［10］。根據(jù)圣維南原理，只要細(xì)密網(wǎng)格與稀疏網(wǎng)格之間的過(guò)渡邊界與關(guān)注部位保持一定距離即可得到較為精確的計(jì)算結(jié)果［6］。

3.2 關(guān)鍵性區(qū)域網(wǎng)格加密法的應(yīng)用

根據(jù)高階四面體3mm有限元模型計(jì)算結(jié)果，可以區(qū)分出高應(yīng)力梯度區(qū)域，并視為有限元分析的關(guān)鍵性區(qū)域，直接對(duì)其有限元模型2D網(wǎng)格進(jìn)行加密(圖9)。分別采用1和0.5mm對(duì)關(guān)鍵性區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并進(jìn)行收斂性趨勢(shì)分析。表3為關(guān)鍵性區(qū)域網(wǎng)格信息。由表可見(jiàn):采用不同單元尺寸進(jìn)行局部細(xì)化時(shí)，當(dāng)關(guān)鍵性區(qū)域單元尺寸從3減小至1mm時(shí)，關(guān)鍵性區(qū)域倒角處分布有5個(gè)單元，關(guān)鍵性區(qū)域的應(yīng)力增加較為明顯，增幅為7.9%，計(jì)算精度明顯提高，但網(wǎng)格數(shù)增量不大，計(jì)算時(shí)間和占用空間沒(méi)有較大增加;當(dāng)網(wǎng)格細(xì)化至0.5mm后，再繼續(xù)減小尺寸，關(guān)鍵性區(qū)域的最大應(yīng)力由133.2增加至137.2MPa，計(jì)算精度提高甚微，此時(shí)的計(jì)算時(shí)間和占用空間相對(duì)應(yīng)力值有較為明顯的增加。因此，認(rèn)為單元尺寸收斂規(guī)律的拐點(diǎn)在1mm處;綜合考慮求解精度和計(jì)算經(jīng)濟(jì)性等因素，確定采用1mm作為殼體關(guān)鍵性區(qū)域網(wǎng)格加密的理想單元尺寸。

表3 關(guān)鍵性區(qū)域網(wǎng)格信息

4 結(jié)論

(1)對(duì)不同階次單元的變速器殼體有限元計(jì)算結(jié)果表明:同等網(wǎng)格密度下，高階四面體單元應(yīng)力、位移計(jì)算結(jié)果與有限元理論更接近，計(jì)算精度明顯優(yōu)于低階四面體單元。

(2)對(duì)所研究的目標(biāo)變速器殼體不同單元尺寸高階四面體殼體模型收斂性、計(jì)算精度和計(jì)算經(jīng)濟(jì)性的綜合分析結(jié)果表明:3mm是該有限元模型最為理想的網(wǎng)格劃分基本單元尺寸;根據(jù)此方法，同樣可尋找其他不同結(jié)構(gòu)、尺寸和復(fù)雜程度變速器殼體的最佳有限元模型網(wǎng)格劃分基本單元尺寸。

(3)由于關(guān)鍵性區(qū)域局部誤差對(duì)求解誤差有著至關(guān)重要的影響，因此運(yùn)用對(duì)高應(yīng)力梯度區(qū)域網(wǎng)格基本單元加密，是提高汽車變速器殼體類復(fù)雜零件有限元分析精度的有效方法。

(4)通過(guò)對(duì)變速器殼體關(guān)鍵性區(qū)域網(wǎng)格質(zhì)量?jī)?yōu)化測(cè)試得知:1mm單元是該目標(biāo)變速器殼體關(guān)鍵性區(qū)域網(wǎng)格加密的理想單元尺寸。

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