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        可信性空間上變動(dòng)生存年金的精算現(xiàn)值模型

        2014-10-09 08:20:38
        關(guān)鍵詞:定義模型

        楊 靜

        (北京航空航天大學(xué),北京100191)

        一、問(wèn)題的提出

        傳統(tǒng)的壽險(xiǎn)精算模型是建立在概率空間上,視人的壽命為隨機(jī)變量,用概率測(cè)度進(jìn)行度量[1-3].然而,在現(xiàn)實(shí)世界,壽險(xiǎn)中的不確定性往往表現(xiàn)為模糊性不確定性.如文獻(xiàn)[4]指出,就壽命分布而言,由于人的生存和死亡的不確定性是十分復(fù)雜的,而概率是一種滿足可加性(可列可加性)的測(cè)度,要描述一個(gè)人在某年齡的生存或死亡的可能性,概率的可加性條件是難以滿足,因此用模糊測(cè)度——可信性測(cè)度代替概率測(cè)度,建立了可信性空間上的壽險(xiǎn)精算模型.可信性測(cè)度是描述模糊性的新方法,文獻(xiàn)[5]視壽險(xiǎn)中的生命為可信性空間上的模糊變量,用具有自對(duì)偶、次可加性、正定性的可信性測(cè)度去度量,討論了其中的一些基本問(wèn)題,將壽險(xiǎn)精算理論擴(kuò)展到可信性空間上.本文在在可信性空間上,基于文獻(xiàn)[5-6]討論可信性空間上變動(dòng)生存年金的精算現(xiàn)值模型,分別建立每年期初支付變動(dòng)終身年金,期初支付變動(dòng)n年年金,期末支付變動(dòng)終身年金,期末支付變動(dòng)n年年金.

        二、預(yù)備知識(shí)

        定義1[6]設(shè)Θ是一非空集合,P(Θ)為Θ的冪集,P(Θ)中每一個(gè)元素稱為一個(gè)事件.若集函數(shù)Cr:P(Θ)→[0,1]滿足:

        (i)Cr{Θ}=1;

        (ii)當(dāng) A? B 時(shí),Cr{A}≤Cr{B};

        (iii)對(duì)于任意A∈P(Θ),Cr{A}+Cr{Ac}=1;

        (iv)對(duì)于任何Ai∈P(Θ),若,有.則稱Cr為一個(gè)可信性測(cè)度.

        三元組(Θ,P(Θ),Cr)稱為可信性空間[7].

        定義2[7]設(shè)ξ為一從可信性空間 (Θ,P(Θ),Cr)到實(shí)直線R上的函數(shù),則稱ξ為一模糊變量.

        定義3[8]設(shè)ξ為模糊變量,函數(shù)Φ:R→ [0,1]滿足

        則稱Φ為模糊變量ξ的可信性分布.

        定義4[7]設(shè)ξ是定義在可信性空間(Θ,P(Θ),Cr)上的模糊變量.那么,由可信性測(cè)度Cr可以導(dǎo)出其隸屬度函數(shù)為

        定理1[9]設(shè)ξ為模糊變量且可信性分布為Φ,假設(shè)Cr{ξ≤x}≠Cr{ξ≤x+t}(t>0 ),則有

        定義5 設(shè)T(x)為x歲的人的余壽,則稱Φx(t)=Cr{T(x)≤t}(t>0)為余壽分布函數(shù)

        Φx(t)表示x歲的人在未來(lái)的t年內(nèi)死亡的可信性,實(shí)際反映0歲的人活過(guò)x歲的條件下在x+t歲前死亡的可信性.

        可信性空間中國(guó)際精算符號(hào)的定義[8]:

        tqx表示x歲的人活不過(guò)x+t歲的可信性,即tqx=Φx(t)=Cr{T(x)≤t}

        tpx表示x歲的人活過(guò)x+t歲的可信性,即tpx=1-tqx=Cr{T(x)>t}=Sx(t)當(dāng)t=1時(shí),我們記1qx=qx,1px=px

        t|uqx表示x歲的人在x+t歲與x+t+u歲之間死亡的可信性,即

        當(dāng)u=1時(shí),我們記

        定理2[7]ξ為可信性空間上的離散型模糊變量,若其隸屬度函數(shù)為

        不失一般性,不妨假設(shè)a1≤a2≤…≤an.則模糊變量ξ的期望值

        三、主要結(jié)果

        (一)期初付變動(dòng)終身生存年金的精算現(xiàn)值模型

        一些符號(hào)規(guī)定如下:

        K——x歲的被保人自保單生效后的取整余壽

        Y——到被保險(xiǎn)人死亡之時(shí)保險(xiǎn)人所付的年金現(xiàn)值

        v——折現(xiàn)因子

        這里的K,Y均為可信性空間的離散型模糊變量

        變動(dòng)的生存年金:

        在第一年支付1單位元的現(xiàn)值,第二年支付2單位元的現(xiàn)值,以此下去直至被保險(xiǎn)人死亡.

        需要說(shuō)明的是人的壽命是有限的,我們假設(shè)被保人在整數(shù)極限年[W]歲上死亡,另對(duì)被保人來(lái)說(shuō),其第k+1年死亡的可信性為

        x歲的被保人取整余壽K,則到死亡發(fā)生時(shí)為止的所有已支付的年金現(xiàn)值

        這里的模糊事件{Y=yk+1}等介于事件{k(x)=k}

        故有uk+1=[2cr{Y=yk+1}]∧1=[2cr{K(x)=k}]∧1=(2k|qx)

        不失一般性,不妨假設(shè)y1≤y2≤…≤yk+1≤….于是由定理2的結(jié)論,得該年金的精算現(xiàn)值模型

        (二)期初付變動(dòng)n年生存年金的精算現(xiàn)值模型

        (三)期末付變動(dòng)終身生存年金的精算現(xiàn)值模型

        (四)期末付變動(dòng)n年生存年金的精算現(xiàn)值模型

        四、結(jié)論

        通過(guò)對(duì)可信性空間上年金的討論,給出了可信性空間上生存年金精算現(xiàn)值模型,分別建立了年初,年末支付變動(dòng)終身生存年金精算現(xiàn)值模型和年初,年末支付n年變動(dòng)生存年金精算現(xiàn)值模型.從而使得可信性空間上壽險(xiǎn)精算模型進(jìn)一步得到完善.

        [1]N.L.Bowers,H.U.Gerber,J.C.Hickman,D.A.Jones,C.J.Nesbitt,Actuarial Mathematics.The Society of Actuaries,Itasca,IL,1986.

        [2]M.S.Dorfman,S.W.Adelman,Life Insurance.2nd ed.Dearbom Financial Publishing,Inc.1992.

        [3]Y.Lei,Life Insurance Actuarial Science(in Chinese).Beijing:Beijing University Press,1998.

        [4]H.J.Li,M.HmHa,Basic formations and model of life assurance on Quasi-probability space(in Chinese),Journal of Hainan Normal University(Natural Science),vol.21,no.4,pp.357–361,Dec.2008.

        [5]M.Y.Yuan,Credibility distribution of a fuzzy variable that takes vale on interval.

        [6]M.Y.Yuan,Basic formations of life function based on credibility measure.

        [7]B.Liu,Y.K.Liu,Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models,IEEE Transactions on Fuzzy Systems,vol.10,no.4,pp.445–450,2002.

        [8]雷 宇.壽險(xiǎn)精算學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1998.

        [9]柏滿迎,鄭海濤.壽險(xiǎn)精算學(xué)教程[M].北京:人民郵電出版社,2007.

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