董飛飛，劉滌塵，廖清芬，岑炳成，孫文濤，宋春麗，趙一婕

（武漢大學 電氣工程學院，湖北 武漢 430072）

0 引言

隨著我國電力系統(tǒng)規(guī)模的擴大和結構的進一步復雜，電力系統(tǒng)中的次同步振蕩（SSO）問題亟待解決[1-2]。當次同步振蕩發(fā)生時，機械系統(tǒng)的軸系和電氣系統(tǒng)會產生增幅的扭振，嚴重時會導致發(fā)電機轉子軸系的斷裂，造成重大的事故[3-4]?？焖贉蚀_地辨識次同步振蕩模態(tài)參數(shù)，對于次同步振蕩的監(jiān)測、預警以及控制措施的制定都起著至關重要的作用。隨著廣域測量系統(tǒng)的快速發(fā)展，基于實測數(shù)據(jù)提取振蕩模態(tài)的方法因其無需詳細的系統(tǒng)模型和大規(guī)模特征值計算，且能夠適應系統(tǒng)運行方式和參數(shù)的變化而逐漸得到廣泛應用[5]。目前基于實測數(shù)據(jù)的次同步振蕩模態(tài)辨識的典型方法有：Prony分析法、FFT算法、小波分析法、希爾伯特-黃變換（HHT）法等。但傳統(tǒng)的Prony算法抗噪能力差[6]；FFT算法無法提取出振蕩的瞬時頻率和衰減因子[7]；小波分析法較難區(qū)分信號中的相近頻率，不利于扭振模態(tài)參數(shù)的提取[8]；HHT 方法則對信號的采樣率要求較高[9]。 因此，現(xiàn)有方法難以有效地辨識次同步振蕩模態(tài)。

靜止無功補償器SVC（Static Var Compensator）等FACTS裝置在電壓控制和阻尼控制方面已有一定的應用[10-11]。針對次同步振蕩而設計的SVC次同步阻尼控制器（SVC-SSDC）能夠有效地抑制次同步振蕩，但目前常見的控制器設計方法往往不能很好地適應電力系統(tǒng)時變非線性的特點，使得設計出來的控制器無法得到較好的抑制效果。

為了克服現(xiàn)有方法的不足，本文首先提出了一種改進的阻尼正弦原子分解算法，該算法在過完備的阻尼正弦原子庫基礎上，通過改進生物地理學優(yōu)化 IBBO（Improved Biogeography-Based Optimization）算法后的匹配追蹤算法對次同步振蕩信號進行阻尼正弦原子分解，搜索到最佳阻尼正弦原子后將其參變量轉換為次同步振蕩信號模態(tài)參數(shù)。依據(jù)辨識出的模態(tài)參數(shù)，并采用改進粒子群優(yōu)化（IPSO）算法實現(xiàn)對SVC-SSDC的優(yōu)化設計。IEEE第一標準模型和錦界電廠的仿真結果表明，本文所提方法能快速、準確地辨識出次同步振蕩的頻率及衰減因子等模態(tài)參數(shù)，且將改進的原子分解算法的辨識結果應用于經IPSO算法優(yōu)化設計的SVC-SSDC具有良好的抑制效果。

1 基于IBBO的阻尼正弦原子分解算法

原子分解算法[12-13]的關鍵是針對待分析信號的特點來構造合理的原子庫以及自適應地尋找最佳匹配原子并確定其參數(shù)。本文根據(jù)次同步振蕩信號的特征，在過完備的阻尼正弦原子庫基礎上，通過IBBO算法優(yōu)化的原子分解算法來尋找與次同步振蕩信號匹配的最佳阻尼正弦原子。

1.1 阻尼正弦原子分解算法

設次同步振蕩信號f（t）?H，H表示有限維Hilbert空間，定義過完備原子庫 D=（gγ）γ?Γ，D?H，其中 Γ 為原子參數(shù)組γ的集合，且‖gγ‖=1。匹配追蹤是一種實現(xiàn)信號自適應原子分解的貪婪迭代算法，k步迭代后次同步振蕩信號可表示為庫中原子的線性展開：

其中，Rmf（m=1，2，…，k-1）為 m 步迭代后的次同步振蕩信號殘余值，令R0f=f，則有：

其中，〈Rmf，gγm〉gγm為信號 f（t）或匹配后的信號殘余值Rmf在原子gγm上的投影，為了使信號殘余值Rmf+1的能量最小，投影值〈Rmf，gγm〉必須最大，即 gγm滿足：

式（3）表明，與次同步振蕩信號最匹配的原子即為與信號f（t）內積最大的原子。

鑒于次同步振蕩信號的特點，該振蕩原子庫可采用阻尼正弦量模型表示[14-15]：

式（4）中的阻尼正弦原子模型包含5個參數(shù)（fq，φq，ρq，ts，te）。 其中，fq為頻率；φq為相位；ρq為衰減系數(shù)；ts與te分別為阻尼正弦量的起始時間和結束時間；u（t）為單位階躍函數(shù)；Kγq為原子歸一化因子。

1.2 IBBO搜索最佳阻尼正弦原子

由于使用牛頓法進行匹配追蹤的傳統(tǒng)手段存在計算量大、分解速度慢、精度低的缺點，本文采用一種引入余弦遷移模型、改進遷移算子以及混沌變異策略的IBBO算法實現(xiàn)次同步振蕩信號匹配追蹤分解。余弦遷移模型更符合自然規(guī)律，有利于搜索到最優(yōu)解；改進遷移算子有利于增強算法的收斂性；利用混沌的遍歷性在廣闊的空間進行隨機搜索，有利于解決早熟而造成的局部最優(yōu)問題，收斂到全局最優(yōu)解。該方法在節(jié)約原子分解每次迭代時間的同時，可以提高模態(tài)參數(shù)的辨識精度。

生物地理學優(yōu)化（BBO）算法是將生物地理學理論用于求解優(yōu)化問題而形成的一種新型進化算法，其基本思想是：針對需優(yōu)化的問題，構造多個相對獨立的棲息地作為問題的候選解，依靠棲息地間物種遷移來實現(xiàn)信息共享，通過物種突變來實現(xiàn)信息更新，提高棲息地適應度，從而得到問題的最優(yōu)解[16-17]。

本文將BBO算法應用于搜索最佳阻尼正弦原子并做了如下改進。

a.遷移模型的改進。

由于線性物種遷移模型不能較準確模擬實際生物地理環(huán)境中物質遷移的復雜過程，故本文采用圖1所示更符合自然規(guī)律的余弦遷移模型計算遷移率。

余弦遷移模型對應的遷入率λ（S）和遷出率μ（S）分別如式（5）、（6）所示，其中 S 為物種數(shù)量。

圖1 余弦遷移模型Fig.1 Cosine migration model

在該遷移模型中，當棲息地上有較少或較多物種時，遷入率和遷出率變化較平穩(wěn)，而當棲息地具有一定數(shù)量物種時，遷入率和遷出率的變化相對較快。

b.遷移算子的改進。

在BBO算法中，遷移操作對推動算法的進化起關鍵作用。由于傳統(tǒng)的離散遷移形式的算子存在不易收斂的缺陷，本文采用混合遷移算子進行遷移操作，即將臨近棲息地Xj中的適宜度向量（SIV）與自身Xi的SIV按權重結合，取代原SIV。其具體表達式為：

其中，Ω*（λ，μ）為混合遷移算子；α 為加權系數(shù)，可根據(jù)實際情況定義為常數(shù)或者變系數(shù)。

采用混合遷移算子既保證了較高適宜度指數(shù)（HSI）的棲息地在遷移操作中不被削弱，又使得較低HSI的棲息地更好地享有較高HSI棲息地的SIV，有利于優(yōu)化解集從而增強算法的收斂性。

c.引入混沌變異策略。

BBO算法的變異策略直接影響著算法是否會陷入局部最優(yōu)和算法收斂精度。本文引入變尺度混沌變異策略，利用混沌的遍歷性在廣闊的空間進行隨機搜索，有利于解決早熟而造成的局部最優(yōu)問題，收斂到全局最優(yōu)解。

本文采用分段logistic混沌迭代方程：

其中，zj為第j個混沌變量；k為混沌迭代次數(shù)；當3.569 945 6≤μ≤4時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，通常取μ=4。

變尺度混沌局部優(yōu)化的公式為：

其中，X′（k）j為新產生的優(yōu)化個體，X（k）j為目前尋優(yōu)序列中得到的最優(yōu)個體，如果X′（k）j的適宜度優(yōu)于原有最優(yōu)個體X（k）j則保留，否則放棄；Pc為映射到參數(shù)搜索空間的混沌迭代變量；λk為變尺度因子，由式（10）得到。

其中，r用于控制收斂速度。

2 采用改進阻尼正弦原子分解的次同步振蕩模態(tài)辨識

采用IBBO算法優(yōu)化的阻尼正弦原子分解提取次同步振蕩模態(tài)參數(shù)的具體步驟如下。

a.初始化次同步振蕩信號的分解次數(shù)m=1，并設定信號的分解次數(shù)N。

b.初始化BBO算法的控制參數(shù)，隨機生成初始種群P，設定種群的迭代次數(shù)為T。

d.建立余弦遷移模型，計算棲息地的物種數(shù)量、遷入率及遷出率。

e.按式（7）進行遷移操作，形成新的種群P1，重新計算棲息地的HSI，更新最優(yōu)解Xbest1。

f.按式（9）進行變尺度混沌局部優(yōu)化的變異操作，更新種群的最優(yōu)解Xbest2。

g.判斷種群迭代次數(shù)是否達到T次，若達到則保存當次原子分解得出的種群的最優(yōu)解及最佳HSI，否則回到步驟e。

h.判斷信號的分解次數(shù)是否達到N次，若達到則保存N次分解后得到的種群最優(yōu)解為信號經過N次原子分解得出的最佳原子索引，轉換成阻尼正弦原子參變量，并結束程序；否則回到步驟b。

3 基于原子分解算法的SVC-SSDC設計

SVC-SSDC的結構框圖如圖2所示。

圖2 SVC-SSDC的結構框圖Fig.2 Structure of SVC-SSDC

圖中，Δω為發(fā)電機轉子角速度偏差標幺值，Δω通過帶通濾波器Hi分別篩選出n個與軸系模態(tài)對應的振蕩分量，進而通過由Gi、Tai和Tbi決定的相位補償器，經限幅環(huán)節(jié)后形成SVC的觸發(fā)角α，使得SVC根據(jù)需要增加或者減小發(fā)出的無功功率，改善系統(tǒng)的電氣阻尼，抑制次同步振蕩。各模態(tài)i都有Gi、Tai和Tbi這3個參數(shù)，n個軸系振蕩模態(tài)要對應設計3n個參數(shù)，這些參數(shù)對SVC的性能有決定性影響。

采用IBBO算法優(yōu)化的阻尼正弦原子分解算法辨識次同步振蕩信號的模態(tài)參數(shù)后，利用辨識出的2個關鍵參數(shù)設計SVC-SSDC：利用模態(tài)頻率指導SVC模態(tài)分離控制策略設計濾波器的帶寬；利用衰減系數(shù)構建評價SVC-SSDC性能的目標函數(shù)。將SSDC的設計問題轉化為一個非線性約束優(yōu)化問題：

其中，σi為采用原子分解算法辨識出來的衰減系數(shù)，σi＜0的約束條件是為了確保優(yōu)化設計后的SVCSSDC能抑制所有模態(tài)的次同步振蕩；f為評價SVCSSDC控制效果的性能函數(shù)，即讓衰減系數(shù)均為負值的基礎上平均數(shù)的絕對值最大；‖R‖1為向量R的1范數(shù)；Gmk=10.15為增益Gk絕對值的上限；Tmk=0.1 s為時間常數(shù)Tk的上限值。

本文采用一種結合局部單純形搜索并引入變異操作的IPSO算法實現(xiàn)SVC-SSDC的設計，即獲取式（11）的最優(yōu)解。粒子群優(yōu)化（PSO）算法是一種基于群體迭代的優(yōu)化算法，其基本思想是模擬鳥群、魚群等動物群體運動行為，是一種尋優(yōu)的智能算法。而IPSO算法能提高算法的局部開發(fā)能力，增強算法全局探測能力。IPSO的具體思想和步驟見文獻[18]。

利用IPSO算法設計SVC-SSDC的具體步驟如下。

a.設定IPSO算法迭代次數(shù)K及粒子的數(shù)目M。

b.初始化各個粒子的位置和速度，其位置信息由SVC-SSDC的控制參數(shù)Gi、Tai和Tbi組成。

c.運用IPSO算法計算由式（11）所表示的目標函數(shù)，每進行一次迭代，就需要進行模態(tài)辨識來將衰減系數(shù)辨識出來。

d.保存當前目標函數(shù)的最優(yōu)解fbest以及最優(yōu)解對應的控制器參數(shù)。

e.判斷迭代次數(shù)是否達到設定值K，若達到，則輸出最優(yōu)解及其控制器參數(shù)，程序結束；否則轉步驟c。

4 算例分析

4.1 IEEE第一標準模型算例分析

仿真算例采用IEEE第一標準模型，如圖3所示。發(fā)電機軸系采用六質量塊彈簧模型，軸系有5個扭振模態(tài)，扭振頻率依次為 15.71Hz、20.21Hz、25.55Hz、32.28 Hz和 47.46 Hz。

圖3 IEEE第一標準模型Fig.3 IEEE first benchmark system

為了提取與質量塊扭振強相關的次同步振蕩模態(tài)，本算例選取發(fā)電機轉速偏差Δω作為分析信號。在1.5 s時刻，系統(tǒng)在節(jié)點B經過渡阻抗發(fā)生三相短路，故障持續(xù)時間為0.075 s。錄取0～12 s時段的Δω波形，采樣頻率為1 kHz。

對該信號進行阻尼正弦原子分解，經多次迭代之后，分解出了5個主要的阻尼正弦原子，亦即軸系的5個振蕩模態(tài)。由原子重構的信號與原信號基本吻合，如圖4所示，圖中幅值為標幺值。圖5為提取出來的5個原子，其參數(shù)見表1，作為對比，表2給出了Prony算法辨識的模態(tài)參數(shù)。

圖4 重構信號與原始發(fā)電機轉速偏差信號的對比分析圖Fig.4 Comparison between reconstructed and original signals of generator speed error

圖5 發(fā)電機轉速偏差信號的阻尼正弦原子分解提取的原子Fig.5 Atoms of generator speed error signal extracted by damping sine atomic decomposition

表1 發(fā)電機轉速信號的阻尼正弦原子分解結果Tab.1 Results of damping sine atomic decomposition for generator speed error signal

表2 Prony法辨識發(fā)電機轉速偏差信號結果Tab.2 Generator speed error signals identified by Prony method

對比表1和表2，采用原子分解算法辨識出的模態(tài)頻率比Prony算法精度更高，原子分解算法與Prony算法結果都表明頻率為32.28 Hz的模態(tài)4發(fā)生了不穩(wěn)定的次同步振蕩，威脅到發(fā)電機軸系安全。

為了抑制次同步振蕩，在變壓器高壓側并聯(lián)一個容量為90 Mvar的SVC，由于IEEE第一標準模型的軸系有5個模態(tài)，因此根據(jù)圖2需要整定15個參數(shù)，采用IPSO算法結合模態(tài)辨識來設計整定這些參數(shù)。IPSO算法每迭代一次，都運用原子分解算法對提取的轉速偏差信號進行模態(tài)辨識，最終使得所有模態(tài)的衰減系數(shù)均為負值，且絕對值最大。

設定IPSO算法的迭代次數(shù)為50次，每次迭代原子分解次數(shù)為10次，圖6為最優(yōu)解下的原子重構的信號與原信號，圖中幅值為標幺值。原子分解出來的5個與模態(tài)相關的原子見圖7，其參數(shù)見表3。

由圖6可知，在優(yōu)化設計的SVC-SSDC的控制下，發(fā)電機轉速偏差呈衰減趨勢，說明次同步振蕩被成功地抑制。圖7和表3均表明，所有模態(tài)的衰減系數(shù)均為負值，所有模態(tài)的振蕩均被抑制，采用IPSO算法結合模態(tài)辨識來設計SVC-SSDC效果顯著。

圖6 加入SSDC后重構信號與原始發(fā)電機轉速偏差信號的對比分析圖Fig.6 Comparison between reconstructed and original signals of generator speed error after SSDC is added

圖7 加入SSDC后發(fā)電機轉速偏差信號的阻尼正弦原子分解提取的原子Fig.7 Atoms of generator speed error signal extracted by damping sine atomic decomposition after SSDC is added

表3 加入SSDC后發(fā)電機轉速信號的阻尼正弦原子分解結果Tab.3 Damping sine atomic decomposition results of generator speed error signal after SSDC is added

4.2 錦界串補輸電系統(tǒng)算例分析

錦界電廠串補輸電系統(tǒng)如圖8所示。其中，府谷電廠有2臺600 MW的機組，通過2回192 km輸電線路送電至忻州開關站；錦界電廠有4臺600 MW的機組，通過2回246 km輸電線路送電至忻州開關站；忻州—石北3回線路長192 km；忻州開閉站內的錦忻線進線上和府忻線出線上均安裝有串補度為35%的固定串聯(lián)補償電容器。

圖8 錦界電廠串補輸電系統(tǒng)Fig.8 Jinjie plant transmission system with series compensation

錦界電廠發(fā)電機軸系模型采用4段集中質量塊彈簧模型，其軸系共有3個模態(tài)頻率，模態(tài)1頻率為13.19 Hz，模態(tài) 2 為 22.82 Hz，模態(tài) 3 為 28.19 Hz。 其中模態(tài)1穩(wěn)定，模態(tài)2在正常運行方式下穩(wěn)定，但在一些機組出力較小且部分線路停運的方式下不穩(wěn)定或者呈現(xiàn)弱阻尼，模態(tài)3的阻尼最弱，在較多運行方式下存在次同步振蕩發(fā)散的風險。

選錦界電廠發(fā)電機轉速偏差Δω作為分析信號。在2.5 s時刻，忻州—石北線的其中一回線上發(fā)生三相短路故障，故障持續(xù)時間為0.075 s。錄取0～10.5 s時段的Δω波形，采樣頻率為1 kHz。

對該信號進行阻尼正弦原子分解，經多次迭代之后，分解出了3個主要的阻尼正弦原子，亦即軸系的3個振蕩模態(tài)。由原子重構的信號與原信號基本吻合，如圖9所示，圖中幅值為標幺值。圖10為提取出來的3個原子，其參數(shù)見表4，作為對比，表5給出了Prony算法所得到的模態(tài)參數(shù)。

圖9 錦界電廠重構信號與原始發(fā)電機轉速偏差信號的對比分析圖Fig.9 Comparison between reconstructed and original signals of generator speed error of Jinjie plant

圖10 錦界電廠發(fā)電機轉速偏差信號的阻尼正弦原子分解提取的原子Fig.10 Atoms of Jinjie plant generator speed error signal extracted by damping sine atomic decomposition

對比表4和表5，采用原子分解算法辨識出的頻率值比Prony算法的精確，且能得到信號的起始時間及結束時間；原子分解算法與Prony算法結果都表明頻率為28.19Hz的模態(tài)3發(fā)生了不穩(wěn)定的次同步振蕩（見圖10），將威脅到發(fā)電機軸系安全。

為了抑制次同步振蕩，在錦界發(fā)電廠機端并聯(lián)4臺容量為80Mvar的SVC，由于錦界電廠發(fā)電機的軸系有3個模態(tài)，因此根據(jù)圖2需要整定9個參數(shù)，采用IPSO算法結合模態(tài)辨識來設計整定這些參數(shù)。IPSO算法每迭代一次，都運用原子分解算法對提取的轉速偏差進行模態(tài)辨識，最后使得所有模態(tài)的衰減系數(shù)均為負值，且絕對值最大。

表4 錦界電廠發(fā)電機轉速信號的阻尼正弦原子分解結果Tab.4 Results of damping sine atomic decomposition for generator speed error signal of Jinjie plant

表5 Prony法辨識錦界電廠發(fā)電機轉速偏差信號結果Tab.5 Jinjie plant generator speed error signals identified by Prony method

設定IPSO算法的迭代次數(shù)為50次，每次迭代原子分解次數(shù)為10次，圖11為最優(yōu)解下的原子重構的信號與原信號，圖中幅值為標幺值。原子分解出來的3個與模態(tài)相關的原子見圖12，其參數(shù)見表6。

圖11 加入SSDC后錦界電廠重構信號與原始發(fā)電機轉速偏差信號的對比分析圖Fig.11 Comparison between reconstructed and original signals of generator speed error of Jinjie plant with SSDC

圖12 加入SSDC后錦界電廠發(fā)電機轉速偏差信號的阻尼正弦原子分解提取的原子Fig.12 Atoms of Jinjie plant generator speed error signal extracted by damping sine atomic decomposition after SSDC is added

表6 加入SSDC后錦界電廠發(fā)電機轉速信號的阻尼正弦原子分解結果Tab.6 Results of damping sine atomic decomposition for generator speed error signal of Jinjie plant with SSDC

對比圖9和圖11，在優(yōu)化設計的SVC-SSDC的控制下，發(fā)電機轉速偏差成衰減趨勢，說明次同步振蕩被成功抑制。圖12和表6均表明，所有模態(tài)的衰減系數(shù)均為負值，故所有模態(tài)的振蕩均已被抑制。

5 結論

a.基于IBBO的阻尼正弦原子分解算法能準確有效辨識次同步振蕩模態(tài)參數(shù)，有良好的時頻特性；

b.采用IPSO算法并根據(jù)IBBO的阻尼正弦原子分解算法辨識進行參數(shù)設計的SVC-SSDC能有效抑制次同步振蕩，保證機組和電網的安全穩(wěn)定運行；

c.本文應用于IEEE第一標準模型和錦界電廠串補輸電系統(tǒng)的仿真結果驗證了經IBBO算法優(yōu)化的原子分解算法應用于SVC-SSDC設計的可行性和所設計控制器的有效性。