許國(guó)瑞，趙海森，劉曉芳

（華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206）

0 引言

實(shí)驗(yàn)室通常采用與大型電機(jī)相同結(jié)構(gòu)等比例縮放的小功率同步電機(jī)模擬和研究大型發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性[1-4]。但是與大型發(fā)電機(jī)相比，小功率同步電機(jī)定轉(zhuǎn)子電阻的標(biāo)幺值并非遠(yuǎn)小于相應(yīng)繞組漏電抗，若在計(jì)算小功率電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)時(shí)仍采用忽略定轉(zhuǎn)子電阻的傳統(tǒng)解析方法進(jìn)行計(jì)算，必然會(huì)產(chǎn)生一定誤差。因此，有必要探討傳統(tǒng)計(jì)算大型發(fā)電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的方法能否直接用于小功率電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性計(jì)算。

在研究大型電機(jī)動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)，由于定、轉(zhuǎn)子電阻標(biāo)幺值相對(duì)其漏抗很小，在計(jì)算直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)時(shí)通常忽略定子電阻，計(jì)算定子非周期瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)時(shí)通常忽略轉(zhuǎn)子電阻[5-7]。同樣，在對(duì)小功率電機(jī)進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究時(shí)，部分文獻(xiàn)也采用這種忽略電阻的方法[8]，然而受容量、尺寸等條件限制，小型電機(jī)定、轉(zhuǎn)子電阻值（標(biāo)幺制）遠(yuǎn)大于實(shí)際大型發(fā)電機(jī)。對(duì)比本實(shí)驗(yàn)室7.5 kW同步電機(jī)、文獻(xiàn)[5]中1000 kW同步電機(jī)和電力系統(tǒng)300 MW發(fā)電機(jī)的原始參數(shù)發(fā)現(xiàn)：7.5 kW電機(jī)與300 MW電機(jī)對(duì)應(yīng)參數(shù)的數(shù)值比分別是定子電阻12.5，定子漏抗0.206，轉(zhuǎn)子電阻6.67，轉(zhuǎn)子漏抗0.34；1000 kW電機(jī)與300 MW電機(jī)對(duì)應(yīng)參數(shù)的數(shù)值比分別是定子電阻5.3，定子漏抗0.667，轉(zhuǎn)子電阻2.8，轉(zhuǎn)子漏抗1.6。顯然，小型電機(jī)具有定、轉(zhuǎn)子電阻值偏大，而漏抗值偏小的特點(diǎn)，而瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)是描述電機(jī)瞬態(tài)和動(dòng)態(tài)行為的重要參數(shù)[9]。因此，研究定轉(zhuǎn)子電阻對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響意義重大。

同步電機(jī)的瞬態(tài)參數(shù)是描述電機(jī)瞬態(tài)和動(dòng)態(tài)行為的重要參數(shù)，是基于三相突然短路定義的[10]。三相突然短路試驗(yàn)是測(cè)取同步電機(jī)瞬態(tài)參數(shù)較為理想的方法，也是國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)推薦采用方法[11]。因此文中主要基于空載三相突然短路對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)進(jìn)行研究。

本文首先推導(dǎo)空載三相突然短路后計(jì)及定轉(zhuǎn)子電阻的勵(lì)磁電流和瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解析表達(dá)式，再通過(guò)7.5 kW模型機(jī)試驗(yàn)及時(shí)步有限元驗(yàn)證該解析式的正確性，最后將該解析式用于不同功率電機(jī)，計(jì)算不同定轉(zhuǎn)子電阻時(shí)電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)，得出改進(jìn)解析式計(jì)算精度明顯高于傳統(tǒng)解析式。研究結(jié)果為瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的計(jì)算和精確測(cè)量提供理論基礎(chǔ)。

1 研究方法

1.1 改進(jìn)解析表達(dá)式

在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上，得到不計(jì)阻尼作用時(shí)的同步電機(jī)直軸運(yùn)算電抗如下：

其中，xd為直軸同步電抗；xad為直軸電樞反應(yīng)電抗；rf和xf分別為勵(lì)磁繞組的電阻和電抗。

在忽略阻尼作用的情況下，交軸運(yùn)算電抗為：

其中，xq為交軸同步電抗。

同步電機(jī)三相突然短路后直軸電流的拉普拉斯變換式[12]為：

其中，Em為空載電動(dòng)勢(shì)的幅值；rs為定子電阻。

勵(lì)磁電流的拉普拉斯變換式與直軸電流的拉普拉斯變換式之間滿足如下關(guān)系：

因此勵(lì)磁電流的拉普拉斯表達(dá)式可變?yōu)椋?/p>

為對(duì)式（6）進(jìn)行拉普拉斯反變換，需將分母因式分解，即令：

據(jù)卡丹公式[13]令 s=y-m/3 代入式（7）消二次方得：

將勵(lì)磁電流進(jìn)行拉普拉斯反變換后可以得到2種勵(lì)磁電流的時(shí)域表達(dá)式：

其中，uf為勵(lì)磁電壓；A1、A2、B1、B2、C 為勵(lì)磁電流不同分量的幅值。

對(duì)比式（11）和式（12）知，式（11）中既有交流衰減分量，又有直流衰減分量，而式（12）中只有直流衰減分量。因此式（11）和（12）的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)為：

其中，f為電網(wǎng)頻率。

式（11）中有定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)，而式（12）無(wú)，因此式（11）中的定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)為：

通過(guò)上述分析發(fā)現(xiàn)，計(jì)及定轉(zhuǎn)子電阻的勵(lì)磁電流改進(jìn)表達(dá)式存在2種形式，由此可知隨著定轉(zhuǎn)子電阻的不同，改進(jìn)的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)也會(huì)發(fā)生變化。

1.2 瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的傳統(tǒng)表達(dá)式

電力系統(tǒng)分析以及電機(jī)瞬態(tài)理論中對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)定義如下[12]。

傳統(tǒng)的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)如式（15）所示：

其中，x′f為轉(zhuǎn)子僅有勵(lì)磁繞組，當(dāng)電樞繞組短路時(shí)從轉(zhuǎn)子繞組端看的瞬態(tài)電抗。

傳統(tǒng)的定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)如式（16）所示：

其中，x′d為直軸的瞬態(tài)電抗。

空載三相突然短路勵(lì)磁電流傳統(tǒng)解析表達(dá)式：

電力系統(tǒng)常用的2～6階實(shí)用模型[19]均采用傳統(tǒng)方法得到的τ′dc、τac。

1.3 時(shí)步有限元模型

時(shí)步有限元法（T-S FEM）是結(jié)合磁場(chǎng)方程與繞組回路方程得到[14]，該模型能夠充分考慮發(fā)電機(jī)磁路飽和、磁場(chǎng)畸變、諧波磁場(chǎng)和集膚效應(yīng)等的作用，可為發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)運(yùn)行工況提供標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)[15]。

為了驗(yàn)證該時(shí)步有限元模型的精確性，對(duì)實(shí)驗(yàn)室7.5 kW模型機(jī)進(jìn)行時(shí)步有限元仿真計(jì)算并與試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖1所示?？梢?jiàn)，7.5 kW電機(jī)空載三相突然短路的時(shí)步有限元仿真與實(shí)測(cè)曲線非常吻合。時(shí)步有限元很好地計(jì)及電機(jī)內(nèi)部的復(fù)雜非線性、磁場(chǎng)畸變等因素，它能有效地反映發(fā)電機(jī)穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)等運(yùn)行行為，是一種比較精確的仿真工具。

圖1 空載突然短路時(shí)時(shí)步有限元仿真與試驗(yàn)對(duì)比Fig.1 Comparison between T-S FEM and test for sudden short circuit without load

2 瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的對(duì)比分析

2.1 7.5 kW同步發(fā)電機(jī)模型機(jī)

本文采用一臺(tái)兩極7.5 kW同步發(fā)電機(jī)模型機(jī)對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)進(jìn)行理論和試驗(yàn)研究。模型機(jī)二維平面結(jié)構(gòu)如圖2所示，表1為發(fā)電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)。

圖2 7.5 kW模型機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure of a 7.5 kW prototype

表1 7.5 kW模型機(jī)基本結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)Tab.1 Structural data of a 7.5 kW prototype

2.2 不同方法所計(jì)算瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的對(duì)比分析

采用時(shí)步有限元、改進(jìn)解析表達(dá)式和傳統(tǒng)解析表達(dá)式計(jì)算7.5 kW電機(jī)端電壓為110 V時(shí)突然三相短路后的勵(lì)磁電流，結(jié)果如圖3所示。7.5 kW電機(jī)的參數(shù)通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得，如表2所示，表中數(shù)據(jù)均為標(biāo)幺值。時(shí)步有限元不計(jì)及阻尼作用。

根據(jù)改進(jìn)解析表達(dá)式和傳統(tǒng)解析表達(dá)式，計(jì)算出空載三相突然短路勵(lì)磁電流見(jiàn)式（18）和（19）。

從上述兩式可以得出瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解析解和傳統(tǒng)解析解，如表3所示，表中τ′d為直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)，τa為定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)。而從時(shí)步有限元計(jì)算的勵(lì)磁電流中無(wú)法直接獲得瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的大小，因此本文采用Prony方法[15-17]對(duì)時(shí)步有限元計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線進(jìn)行擬合，從而得出直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)和定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)的數(shù)值。

對(duì)比圖3中的勵(lì)磁電流曲線和表3中的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)，得出改進(jìn)解析表達(dá)式計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線和瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)與時(shí)步有限元結(jié)果更加接近，而傳統(tǒng)解析解與時(shí)步有限元相差較大。

圖3 不同方法得到的勵(lì)磁電流對(duì)比Fig.3 Comparison of excitation current among different methods

表2 3種不同功率同步電機(jī)的參數(shù)對(duì)比Tab.2 Comparison of synchronous machine parameters among three capacities

表3 不同方法得到的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)對(duì)比Tab.3 Comparison of transient time constant among different methods

2.3 定轉(zhuǎn)子電阻對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響

為研究定轉(zhuǎn)子電阻對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響，在7.5 kW電機(jī)定子三相繞組出線端串入阻值4.286 Ω的電阻，進(jìn)行時(shí)步有限元仿真并與改進(jìn)解析解和傳統(tǒng)解析解對(duì)比，得到勵(lì)磁電流響應(yīng)曲線對(duì)比見(jiàn)圖4。

圖4 定子串電阻后的勵(lì)磁電流曲線Fig.4 Excitation current when a serial resistor is added to stator winding

從圖4可知，改進(jìn)解析表達(dá)式計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線與時(shí)步有限元結(jié)果更接近。對(duì)時(shí)步有限元的勵(lì)磁電流曲線進(jìn)行Prony擬合，得到直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)與改進(jìn)解析解一致，約0.12 s，而傳統(tǒng)表達(dá)式計(jì)算的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)不隨定子電阻變化，仍然為表3的0.0435 s。因此說(shuō)明定子電阻變化會(huì)影響直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)大小，而傳統(tǒng)解析表達(dá)式不能計(jì)及該影響。

令定、轉(zhuǎn)子電阻在實(shí)際值的10%到實(shí)際值的10倍范圍內(nèi)變化，采用改進(jìn)解析表達(dá)式計(jì)算出7.5 kW同步電機(jī)2個(gè)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的數(shù)值。對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行總結(jié)和分析發(fā)現(xiàn)，直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)隨著定子電阻的增大而增大，隨著轉(zhuǎn)子電阻的增大而減小，如圖5所示。

圖5 直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)隨定轉(zhuǎn)子電阻的變化規(guī)律Fig.5τ′dvs.stator and rotor resistances

同樣，在轉(zhuǎn)子繞組中串入12.7 Ω電阻后，采用時(shí)步有限元、改進(jìn)解析表達(dá)式和傳統(tǒng)解析表達(dá)式計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線如圖6所示。對(duì)時(shí)步有限元計(jì)算的勵(lì)磁電流曲線進(jìn)行Prony擬合，得出定子非周期時(shí)間常數(shù)與改進(jìn)解基本一致，約為0.023 s，而傳統(tǒng)表達(dá)式計(jì)算的定子非周期時(shí)間常數(shù)不隨轉(zhuǎn)子電阻的變化而變化，仍為表3所示的0.0192 s。因次說(shuō)明轉(zhuǎn)子電阻的變化會(huì)影響定子非周期時(shí)間常數(shù)的大小，而傳統(tǒng)解析表達(dá)式不能計(jì)及這種影響。

圖6 轉(zhuǎn)子串電阻后的勵(lì)磁電流Fig.6 Excitation current when a serial resistor is added to rotor winding

令定、轉(zhuǎn)子電阻在實(shí)際值的10%到實(shí)際值的10倍范圍內(nèi)變化，采用改進(jìn)解析表達(dá)式計(jì)算出定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)隨定轉(zhuǎn)子電阻的變化規(guī)律如圖7所示，得出定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)隨著轉(zhuǎn)子電阻的增大而增大，隨著定子電阻的增大而減小。

2.4 瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的偏差分析

圖7 定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)隨定轉(zhuǎn)子電阻的變化規(guī)律Fig.7τavs.stator and rotor resistances

從表2可知不同功率同步電機(jī)的定轉(zhuǎn)子電阻標(biāo)幺值相差近10倍。為分析不同定轉(zhuǎn)子電阻值情況下，瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解與傳統(tǒng)解的差別，將7.5 kW同步電機(jī)定轉(zhuǎn)子電阻在實(shí)際值的10%至實(shí)際值的10倍范圍內(nèi)變化，計(jì)算不同定轉(zhuǎn)子組合時(shí)直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)和定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解相對(duì)傳統(tǒng)解的偏差。改進(jìn)解相對(duì)傳統(tǒng)解的偏差α和β為：

圖8 不同定轉(zhuǎn)子電阻時(shí)τ′dj相對(duì)于τ′dc的偏差Fig.8 Error ofτ′djrelative toτ′dcfor different stator and rotor resistances

圖9 不同定轉(zhuǎn)子電阻時(shí)τaj相對(duì)于τac的偏差Fig.9 Error ofτajrelative toτacfor different stator and rotor resistances

從圖8中可以看出，隨著定子電阻的增大，α的絕對(duì)值在不斷增大。實(shí)際電阻下，α值為2.5%，當(dāng)定子電阻增大到10倍，α變?yōu)?3%。同樣，從圖9中可以看出，實(shí)際電阻下，β值為0.6%，10倍的定、轉(zhuǎn)子電阻下，β變?yōu)?81%?？梢?jiàn)，對(duì)于小功率電機(jī)而言，瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的傳統(tǒng)解與改進(jìn)解具有很大差別。

采用上述方法計(jì)算不同定轉(zhuǎn)子電阻時(shí)，300 MW同步電機(jī)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的偏差。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在相同定轉(zhuǎn)子電阻變化范圍內(nèi)，直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的最大偏差為0.13%，而定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的最大偏差僅為0.09%。因此，瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的改進(jìn)解對(duì)于大型發(fā)電機(jī)并無(wú)明顯精度優(yōu)勢(shì)。

3 結(jié)論

a．推導(dǎo)了計(jì)及定子電阻的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解析表達(dá)式和計(jì)及轉(zhuǎn)子電阻的定子非周期瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解析表達(dá)式。采用改進(jìn)表達(dá)式和傳統(tǒng)表達(dá)式計(jì)算了7.5 kW電機(jī)的直軸瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)和定子非周期衰減時(shí)間常數(shù)，并與時(shí)步有限元進(jìn)行對(duì)比，得出改進(jìn)解與時(shí)步有限元結(jié)果更接近，而傳統(tǒng)解則與時(shí)步有限元結(jié)果相差較大。

b．研究了不同定轉(zhuǎn)子電阻大小時(shí)，瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)改進(jìn)解相對(duì)于傳統(tǒng)解的偏差，得出大型發(fā)電機(jī)的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)偏差較小，而小型發(fā)電機(jī)的瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)偏差較大。即改進(jìn)解析表達(dá)式在計(jì)算小型同步電機(jī)時(shí)具有明顯的精度優(yōu)勢(shì)，而對(duì)于大型發(fā)電機(jī)而言，精度優(yōu)勢(shì)并不明顯。

c．在進(jìn)行小功率電機(jī)的動(dòng)態(tài)仿真和參數(shù)辨識(shí)時(shí)，必須考慮到定、轉(zhuǎn)子電阻的大小對(duì)瞬態(tài)時(shí)間常數(shù)的影響，這樣才能選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛷亩玫礁_的結(jié)果。