馬宏忠，徐 剛，宋樹(shù)平，趙宏飛，任立志

（河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 210098）

0 引言

正確識(shí)別諧波源的位置是區(qū)分各方諧波責(zé)任的前提[1]。 對(duì)于諧波源識(shí)別問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]提出了有功功率法，文中提出諧波功率是諧波電壓、電流間相角差的函數(shù)，但諧波功率的方向主要受系統(tǒng)側(cè)和用戶側(cè)諧波電壓相角差δ的影響，當(dāng)δ在一定范圍時(shí)，該方法失效[3]。文獻(xiàn)[4]提出了基于無(wú)功功率的檢測(cè)法，其主要思路是：電力系統(tǒng)中有功功率主要與相角有關(guān)，而無(wú)功功率主要取決于系統(tǒng)電壓幅值，故無(wú)功功率的方向能反映系統(tǒng)側(cè)和用戶側(cè)諧波電壓源的諧波發(fā)射水平，即可通過(guò)無(wú)功功率方向判斷兩側(cè)諧波源的相對(duì)大小，從而定位諧波源。但受阻抗的影響，其結(jié)果的準(zhǔn)確率一般只能達(dá)到50%。文獻(xiàn)[5]提出了無(wú)功功率變化法，該方法指出無(wú)功功率的變化率為在一定時(shí)間內(nèi)流入減去流出系統(tǒng)的無(wú)功功率，該方法無(wú)需知道系統(tǒng)側(cè)和用戶側(cè)的阻抗，但只能定性地分析主諧波源，而不能判斷另一方是否也產(chǎn)生諧波，且無(wú)法定量分析。文獻(xiàn)[6-8]提出用臨界阻抗法辨識(shí)諧波源，該方法在一定程度上解決了無(wú)功功率方向法的不足，但也有自身的缺陷，即無(wú)法分析出諧波源間的相互影響，無(wú)法定量分析。文獻(xiàn)[9-10]提出了基于參數(shù)辨識(shí)的諧波源定位方法，該方法從諧波產(chǎn)生的機(jī)理出發(fā)，能克服背景諧波的影響并提高諧波源定位的準(zhǔn)確性，但會(huì)產(chǎn)生測(cè)量矩陣奇異的問(wèn)題[11]，因此文獻(xiàn)[12]提出了基于奇異值分解（SVD）方法來(lái)進(jìn)行諧波源定位，該方法能比較準(zhǔn)確地分辨出各個(gè)諧波源，但并不能定量地分析諧波源。

在上述背景下，本文針對(duì)基于奇異值分解方法識(shí)別諧波源不能定量分析的不足，提出了基于QR分解的遞歸最小二乘（QR-RLS）方法來(lái)定量地分析諧波源，其主要思路是：在奇異值分解方法定性地找出諧波源后，用QR-RLS方法來(lái)定量地分析各個(gè)諧波源對(duì)配電網(wǎng)的影響，從而能夠更加準(zhǔn)確地劃分出各方的諧波責(zé)任。最后通過(guò)PSCAD/EMTDC搭建仿真模型進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。

1 QR-RLS方法基本原理

QR-RLS算法[13]作為一種自適應(yīng)濾波算法主要用在通信系統(tǒng)上，但對(duì)于自適應(yīng)諧波電流檢測(cè)仍然適用，其基本原理如圖1所示，其中濾波器輸入信號(hào)iL（n）表示實(shí)際采集的電流信號(hào)，參考輸入信號(hào) x0（n）、x1（n）表示幅值為1、頻率為所需檢測(cè)的諧波電流的頻率的信號(hào)，兩參考信號(hào)相差 90°；w0（n）、w1（n）為參考信號(hào)的權(quán)值；y（n）為自適應(yīng)濾波器的輸出信號(hào)；e（n）為自適應(yīng)濾波器誤差反饋信號(hào)。

圖1 QR-RLS算法原理圖Fig.1 Principle of QR-RLS algorithm

QR-RLS算法相比其他自適應(yīng)算法有如下優(yōu)點(diǎn)。

a.它比遞歸最小二乘（RLS）算法有更好的數(shù)值穩(wěn)定性，QR-RLS算法是通過(guò)直接處理經(jīng)QR分解的輸入數(shù)據(jù)矩陣來(lái)完成最小二乘權(quán)向量的計(jì)算，而RLS算法是通過(guò)處理輸入數(shù)據(jù)的（時(shí)間平均）相關(guān)矩陣來(lái)完成權(quán)向量計(jì)算。因此，QR-RLS算法在數(shù)值上比標(biāo)準(zhǔn)的 RLS算法更穩(wěn)定[13]。

b.QR-RLS算法比最小均方（LMS）算法有更快的收斂速度，在電力有源濾波器對(duì)諧波檢測(cè)的時(shí)間要求非常高的情況下，此算法比LMS算法更有優(yōu)勢(shì)，如圖2所示，況且LMS及其改進(jìn)算法在其收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)間難以平衡[13-15]。

圖2 QR-RLS算法與LMS算法收斂性比較Fig.2 Comparison of convergence between QR-RLS algorithm and LMS algorithm

圖2是對(duì)于同一組含有3次諧波的數(shù)據(jù)，分別用LMS算法和QR-RLS算法進(jìn)行諧波檢測(cè)，達(dá)到相同精度時(shí)，很容易看出QR-RLS算法權(quán)值達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的迭代次數(shù)大概在750次，而LMS算法的權(quán)值達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的迭代次數(shù)大約在1800次，因此QR-RLS算法在收斂速度上對(duì)于LMS算法的優(yōu)勢(shì)是比較明顯的。

由文獻(xiàn)[12，16]可得指數(shù)加權(quán)RLS估計(jì)的QRRLS算法在數(shù)據(jù)都是實(shí)數(shù)的情況下可表示如下。

數(shù)據(jù)矩陣：

期望響應(yīng)：

預(yù)給參數(shù)：

調(diào)整參數(shù)=δ

初始條件：

迭代格式如下：

其中，n=1，2，…；I為單位陣；O 為零矩陣塊；u（n）為參考輸入向量；w（n）為權(quán)值向量；Θ（n）為旋轉(zhuǎn)矩陣，主要作用是使式（1）中等號(hào)右側(cè)的陣列的第一行產(chǎn)生一個(gè)零塊元素；Φ（n）為相關(guān)矩陣；ξ（n）為先驗(yàn)估計(jì)誤差；γ（n）為收斂因子；Φ1/2（n）、 pT（n）、uT（n） ×Φ-T/2（n）為矩陣塊，其他均為實(shí)數(shù)，矩陣塊中的上標(biāo)的負(fù)號(hào)表示矩陣的逆，T表示向量轉(zhuǎn)置。

2 定量分析推導(dǎo)

通過(guò)QR-RLS算法檢測(cè)出特定次數(shù)的諧波電流，根據(jù)圖3所示的仿真電路模型，可以推導(dǎo)出非線性負(fù)荷側(cè)和供電側(cè)分別產(chǎn)生的諧波電流量。圖3中u（t）為供電側(cè)電壓，Zs為供電側(cè)某次諧波的阻抗，iu（t）為供電側(cè)產(chǎn)生的某次諧波電流，ic（t）為非線性負(fù)荷側(cè)產(chǎn)生的某次諧波電流，i（t）為線性負(fù)荷側(cè)某次諧波的電流，i′u（t）、i″u（t）分別為供電側(cè)某次諧波電流流向非線性負(fù)荷側(cè)和線性負(fù)荷側(cè)的部分，同理 i′c（t）、i″c（t）分別為非線性負(fù)荷側(cè)產(chǎn)生的某次諧波電流流向供電側(cè)和線性負(fù)荷側(cè)的部分，Z、Zc分別為線性負(fù)荷側(cè)和非線性負(fù)荷側(cè)在某次諧波下的阻抗。

圖3 仿真電路模型Fig.3 Simulation circuit model

設(shè) ius（t）、ics（t）、is（t）分別為通過(guò) QR-RLS 算法從電流中提取出的供電側(cè)、非線性負(fù)荷側(cè)以及線性負(fù)荷側(cè)某次諧波電流，可寫成如下形式：

其中，m、q、l為已知常數(shù)；h為整數(shù)，表示特定的諧波次數(shù)；α0、β0為已知常數(shù)，表示相對(duì)于測(cè)得的供電側(cè)的初始相位。設(shè)供電側(cè)和非線性負(fù)荷側(cè)獨(dú)自產(chǎn)生的諧波電流分別為：

其中，a、b為未知量，分別表示供電側(cè)和非線性負(fù)荷側(cè)獨(dú)自發(fā)出某次諧波的幅值；α、β為未知量，表示相對(duì)于 ius（t）的初始相位。

對(duì)于電流iu（t）有如下表達(dá)式：

令：

其中，a′、a″分別為電流 i′u（t）和 i″u（t）的幅值；θ′、θ″為它們相對(duì)于 ius（t）的初始相位。

由式（15）、（16）可得出電流 i′u（t）和 i″u（t） 的幅值的比例以及它們的相位差，則式（13）可重寫如下：

有如下三角公式：

把式（10）、（14）、（17）代入式（12），并 2 次運(yùn)用式（18）可分別求得電流 i′u（t）、i″u（t）的幅值與 iu（t）幅值的比例，以及它們的初始相位與iu（t）的初始相位的關(guān)系，同理可以求出 i′c（t）、i″c（t）的幅值與 ic（t）的比例以及相位關(guān)系，即：

其中，ku為 i′u（t）的幅值與 iu（t）的幅值比例；αu為i′u（t）與 iu（t）的初始相位差；kc、βc分別為 i′c（t）與 ic（t）的幅值比例和初始相位差。

根據(jù)圖3的電路圖有如下關(guān)系：

上面3式只有2個(gè)方程是獨(dú)立的，式（23）可由式（21）、（22）得到，取式（21）、（22）作為聯(lián)立方程組，把式（7）、（10）、（20）代入式（21），式（8）、（11）、（19）代入式（22），運(yùn)用相量法[17]求解方程組，即可求得式（10）、（11）中的未知參數(shù) a、α、b、β。

3 算例仿真分析

用 PSCAD/EMTDC[18-19]軟件搭建如圖 3 所示的仿真電路，供電側(cè)由基波電壓和3次諧波電壓組成，基波電壓有效值為10 V，3次諧波電壓有效值為3 V，非線性負(fù)荷側(cè)用3次諧波電壓源代替，其有效值為4.5 V，3次諧波阻抗分別為Zu=1+j2 Ω，Zc=3+j3 Ω，Z=j6 Ω，各條支路的電流實(shí)際波形見(jiàn)圖 4。

圖4 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)波形Fig.4 Waveforms of measured data

從圖4中可以看出，供電側(cè)、非線性負(fù)荷側(cè)以及線性負(fù)荷支路的電流都發(fā)生了畸變，3條支路的頻譜圖如圖5所示。

圖5 電流頻譜圖Fig.5 Current spectrum

從圖5中可以看出，供電側(cè)、非線性負(fù)荷、線性負(fù)荷支路均有3次諧波電流，而線性負(fù)荷支路是不產(chǎn)生諧波電流的。

3.1 QR-RLS算法提取出3次諧波電流

從圖5中可以看出各條支路都含有3次諧波，取3次諧波作為分析對(duì)象。用第1節(jié)介紹的QR-RLS算法可以分別提取出3條支路在公共耦合點(diǎn)（PCC）處的3次諧波波形圖，并按照文獻(xiàn)[13，20]的規(guī)則取λ=0.998，δ=1，其他都按第1節(jié)所述取初始值，代入測(cè)量數(shù)據(jù)用 MATLAB 軟件[21]求出式（3）中 y 的值，可得如圖6所示的3條支路的3次諧波波形圖。

從圖6中可以看出3條支路的3次諧波電流圖形的相位和幅值各不相同，求出幅值和相位差之后，可以寫出供電側(cè)、非線性負(fù)荷側(cè)、線性負(fù)荷側(cè)的3次諧波電流分別為：

圖6 3次諧波波形圖Fig.6 Third-order harmonic waveforms

3.2 分析各條支路獨(dú)自產(chǎn)生的諧波電流

把供電側(cè)、非線性負(fù)荷側(cè)和線性負(fù)荷側(cè)的3次諧波阻抗分別寫成如下形式：Zu=2.236∠65.44°Ω，Zc=4.243∠45°Ω，Z=6∠90°Ω，代入式（15）、（16）可得k=1.414，θ0=45°。 則可以把式（17）重寫如下：

令 h=3，把式（10）、（14）、（27）代入式（12），并運(yùn)用式（18）的三角公式可得：

可以求得 a″=0.447a，θ″=α-26.63°，即：

同樣可得：

令式（10）、（11）中 h=3，把式（10）、（24）、（30）代入式（21），把式（11）、（25）、（29）代入式（22）組成方程組，運(yùn)用相量法求得如下值：

這樣可以求得 a=0.861，α=54.21°，b=1.087，β=113.42°，即式（10）、（11）可以寫成如下兩式：

本文前面仿真參數(shù)中交代了供電側(cè)由基波電壓和3次諧波電壓組成，3次諧波電壓有效值為3 V，非線性負(fù)荷側(cè)用3次諧波電壓源代替，其有效值為4.5 V，通過(guò)阻抗之間的連接關(guān)系可以算出iu（t）的幅值為 0.862 A，ic（t）的幅值為 1.099 A，可以看出通過(guò)此方法判別出的供電側(cè)和非線性負(fù)荷側(cè)獨(dú)自產(chǎn)生的諧波電流的幅值是準(zhǔn)確可靠的。

算出供電側(cè)與非線性負(fù)荷側(cè)獨(dú)自產(chǎn)生的諧波電流后與式（24）、（25）兩式比較可以看出，供電側(cè)3次諧波電流幅值增大了5.57%，而非線性負(fù)荷側(cè)則減少了29.48%?？梢钥闯龇蔷€性負(fù)荷導(dǎo)致增大了供電側(cè)的諧波電流，而系統(tǒng)側(cè)則吸收非線性負(fù)荷側(cè)大約30%的諧波電流，為分清供電側(cè)與用戶側(cè)對(duì)電網(wǎng)諧波污染的責(zé)任提供了很好的判別依據(jù)。

4 多路非線性負(fù)荷諧波電流定量分析

4.1 理論分析

對(duì)于多路非線性負(fù)荷，如果不需要知道每一路產(chǎn)生的諧波電流量，只分析供電側(cè)和綜合的非線性負(fù)荷側(cè)相互的影響，可以把綜合的非線性負(fù)荷等效為單個(gè)非線性負(fù)荷來(lái)計(jì)算，這與前文的算例是一致的。

如果需要分清每一條非線性支路各自產(chǎn)生的諧波電流大小，上述的方法依然可行。圖7為多路非線性負(fù)荷電路模型，圖中iu（t）表示供電側(cè)獨(dú)自產(chǎn)生的某次諧波電流，ih1（t）、…、ihn（t）表示非線性負(fù)荷支路獨(dú)自產(chǎn)生的某次諧波電流，i（t）表示線性負(fù)荷側(cè)的某次諧波電流。

圖7 多負(fù)荷電路模型Fig.7 Multi-load circuit model

設(shè)每條支路測(cè)量得到的某次諧波電流分別為：

其中，ius（t）為供電側(cè)提取出的某次諧波電流；ih1s（t）、…、ihns（t）為n條非線性負(fù)荷支路提取出的某次諧波電流；is（t）為線性支路中的某次諧波電流。

設(shè)供電側(cè)和非線性負(fù)荷支路獨(dú)自產(chǎn)生的某次諧波電流分別為：

其中，φ、γ1、…、γn為相對(duì)于 is（t）的初始相位。 對(duì)于電流 iu（t）有如下表達(dá)式：

其中，i′u（t）為供電側(cè)某次諧波流向線性負(fù)荷側(cè)的部分；iuh1（t）、…、iuhn（t）為分別流向 n 條非線性負(fù)荷側(cè)的某次諧波電流。根據(jù)阻抗關(guān)系以及式（15）、（16）可以求得 i′u（t） 、iuh1（t）、…、iuhn（t）的幅值比例以及它們之間的相位差，再通過(guò)式（18）即可求得與 iu（t）的關(guān)系，同理對(duì)每條非線性負(fù)荷支路做同樣的分析，最后根據(jù)圖7的電路關(guān)系，列出與測(cè)量量的關(guān)系，可以求得每條支路獨(dú)自產(chǎn)生的諧波。

4.2 算例分析

在圖3的仿真電路中加上一條非線性負(fù)荷支路，電流方向?yàn)榱飨蚬柴詈宵c(diǎn)，其余電流方向與圖3一致，該支路的3次諧波阻抗Zc2=1+j3 Ω（記為非線性支路2），其余各支路參數(shù)如前文所述，分別為供電側(cè)阻抗Zu=1+j2 Ω，線性支路諧波阻抗Z=j6 Ω，另一條非線性負(fù)荷支路阻抗Zc1=3+j 3 Ω（記為非線性支路1），通過(guò)QR-RLS算法提取出的3次諧波電流分別為：

式（41）為供電側(cè)提取出的3次諧波電流，式（42）、（43）分別為非線性支路1和2的3次諧波電流，式（44）為線性負(fù)荷側(cè)提取出的3次諧波電流。

設(shè)供電側(cè)、非線性負(fù)荷1和2獨(dú)自產(chǎn)生的3次諧波電流分別為：

根據(jù)式（15）、（16）可以求得供電側(cè)流向非線性負(fù)荷支路1和2的諧波電流分別為：

同理可得非線性負(fù)荷支路1流向供電側(cè)和非線性支路2的諧波電流分別為：

同理可得非線性負(fù)荷支路2流向供電側(cè)和非線性支路1的諧波電流分別為：

根據(jù)電路知識(shí)可以列出如下方程組：

代入數(shù)據(jù)運(yùn)用相量法可以求得：a=1.148，φ=51.02°，b1=1.199，α=114.19°，b2=0.894，β=54.01°。

將這些參數(shù)代入式（45）—（53）即可知道所有未知電流，這樣就可以進(jìn)行諧波電流定量分析，以非線性支路諧波電流對(duì)供電側(cè)諧波電流影響性分析為例，供電側(cè)提取出的諧波電流與獨(dú)自產(chǎn)生的諧波電流相比減少了36.67%，由式（41）與式（50）可以求出非線性負(fù)荷支路1使供電側(cè)諧波減少了4.88%，由式（41）與式（52）可以求出非線性負(fù)荷支路2使供電側(cè)諧波減少了42.51%，可以看出供電側(cè)的諧波電流減少的量主要是由于非線性負(fù)荷支路2的貢獻(xiàn)，共同作用時(shí)減少了36.67%，這里減少的量不是2條非線性支路減少量的和，這是因?yàn)殡娏鞯哪Ｖ禐閷?shí)部和虛部的平方根，是非線性關(guān)系，但這并不影響判斷非線性負(fù)荷支路2對(duì)供電側(cè)的諧波電流減少起主要作用，同理可以分析其他支路。

5 結(jié)論

本文針對(duì)基于奇異值分解方法識(shí)別諧波源不能定量分析的不足，在用奇異值分解方法判別出非線性負(fù)荷與線性負(fù)荷后，采用QR-RLS算法提取諧波電流，并在此基礎(chǔ)上定量分析諧波源。該算法簡(jiǎn)單實(shí)用、易于實(shí)現(xiàn)，能夠很好地提取出電流中的各次諧波以及它們之間的相位差，從而能夠求出供電側(cè)和非線性負(fù)荷側(cè)獨(dú)自發(fā)出的諧波電流，并且在多諧波源電路中也能夠準(zhǔn)確地求出各諧波支路獨(dú)自產(chǎn)生的諧波電流，在此基礎(chǔ)上分析各用戶側(cè)對(duì)供電側(cè)諧波電流的影響，其意義在于為分清供電側(cè)和用戶側(cè)對(duì)電網(wǎng)諧波污染的責(zé)任提供準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)參考，有利于電網(wǎng)諧波污染的治理。