劉晶磊，葉慶志，宋緒國(guó)，羅 強(qiáng)，呂文強(qiáng)

(1.西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610031；2.鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，天津 300251)

基于傳遞矩陣法的重載鐵路路基基床應(yīng)力及變形分析方法研究

劉晶磊1，2，葉慶志1，宋緒國(guó)2，羅 強(qiáng)1，呂文強(qiáng)1

(1.西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610031；2.鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，天津 300251)

目前現(xiàn)行規(guī)范對(duì)層狀體系的鐵路路基基床結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算采用等效厚度法，按Boussinesq公式進(jìn)行計(jì)算，等效厚度法采用Odemark模量與厚度當(dāng)量假定，將路基上不同模量的厚度土層折算成與路基下部填料同模量的等效層厚，該方法并沒(méi)有很好反映不同土層材料性質(zhì)之間的差異，對(duì)高模量的道砟層、基床表層、基床底層在路基應(yīng)力場(chǎng)分布中的作用，缺乏嚴(yán)密的理論依據(jù)。針對(duì)重載鐵路路基4層結(jié)構(gòu)體系，采用基于傳遞矩陣的層狀理論分析方法針對(duì)其不同深度處的應(yīng)力變形求解。通過(guò)均質(zhì)土層的計(jì)算結(jié)果與Boussinesq公式的理論結(jié)果的比較，驗(yàn)證了傳遞矩陣法及其計(jì)算程序可行性，最后為了進(jìn)一步說(shuō)明該方法的合理性，對(duì)比有限元和傳遞矩陣法的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果表明，二者吻合較好。

重載鐵路路基；傳遞矩陣法；層狀體系；Boussinesq公式

1 概述

客運(yùn)高速、貨運(yùn)重載是當(dāng)今世界各國(guó)鐵路發(fā)展的兩大趨勢(shì)，重載鐵路運(yùn)送能力大，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益顯著，發(fā)展鐵路重載運(yùn)輸，已成為世界各國(guó)鐵路運(yùn)輸發(fā)展的方向，也是我國(guó)加速提高鐵路運(yùn)輸能力的主要途徑。

在現(xiàn)有鐵路路基設(shè)計(jì)的規(guī)范[1-3]中，動(dòng)應(yīng)力沿路基深度的分布，采用理論計(jì)算辦法，根據(jù)采用Odemark的模量與厚度當(dāng)量假定，將不同模量(模量E)的厚度h折算成與底層(模量E0)同模量的等效層厚he

進(jìn)行等效厚度轉(zhuǎn)換后，再根據(jù)Boussinesq公式的應(yīng)力解可得矩形荷載中心點(diǎn)處的垂直應(yīng)力，見(jiàn)式(2)

式中σz為矩形均布荷載中心點(diǎn)下z深度處的垂直應(yīng)力；m=a/b，n=Z/b，2a為荷載長(zhǎng)邊，2b為荷載短邊；P0為荷載強(qiáng)度。

對(duì)于基床結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算，首先采用上述的方法計(jì)算應(yīng)力，再根據(jù)實(shí)際空間內(nèi)的應(yīng)力和各層的計(jì)算模量，計(jì)算各點(diǎn)應(yīng)變，再由應(yīng)變計(jì)算路基面變形。

可見(jiàn)，目前現(xiàn)行的鐵路路基設(shè)計(jì)規(guī)范建議的應(yīng)力、變形的計(jì)算方法均不能很好地反映實(shí)際土層間材料性質(zhì)的差異。針對(duì)傳統(tǒng)方法存在的問(wèn)題，長(zhǎng)期以來(lái)一直希望找到一種合理的簡(jiǎn)化算法，通過(guò)解析方法明確基床結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力和動(dòng)變形。因此，研究找出一種合理、簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確，適用于工程設(shè)計(jì)的方法是具有重要的工程意義的。層狀土體結(jié)構(gòu)以及傳遞矩陣法的研究[4-5]，為重載鐵路路基基床結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、變形計(jì)算提供了一個(gè)新的思路，可以使計(jì)算更貼近實(shí)際基床結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多層條件。

2 層狀路基傳遞矩陣法求解應(yīng)力變形

2.1 傳遞矩陣法基本思想

在相當(dāng)廣泛的一類工程問(wèn)題中，比如在連續(xù)梁、傳動(dòng)軸系統(tǒng)、電路等體系中，往往存在這樣的系統(tǒng)，這些系統(tǒng)可以是或可以化成由一系列具有同類性質(zhì)的“元素”先后連接而成的鏈?zhǔn)较到y(tǒng)[4]。在這個(gè)鏈?zhǔn)较到y(tǒng)中，描寫每個(gè)元素性質(zhì)的一組物理量，或稱為該元素的狀態(tài)參量，組成該元素的狀態(tài)矢量。由于各個(gè)元素之間的相互作用，因而前一個(gè)元素狀態(tài)矢量的變化將影響和它相連的下一個(gè)元素的狀態(tài)矢量，下一個(gè)元素狀態(tài)矢量的變化又將影響下下一個(gè)元素的狀態(tài)矢量，這樣，初始端元素狀態(tài)矢量的變化就會(huì)一直傳到末端元素。設(shè)第i個(gè)元素的狀態(tài)矢量是Zi，Zi是一個(gè)列向量，而第i+1個(gè)元素和第i個(gè)元素之間的相互作用往往可以用一個(gè)方陣Ti來(lái)表示，見(jiàn)式(3)

式中，Ti列數(shù)等于Zi的行數(shù)，而Zi的行數(shù)等于元素的狀態(tài)參量的個(gè)數(shù)。如果系統(tǒng)由n個(gè)元素組成，則有式(4)

式中，Ti稱作第i個(gè)子傳遞矩陣。而T稱作總傳遞矩陣。如果把層狀土體系看作一個(gè)系統(tǒng)，把深度z作為自變量，也就是說(shuō)，初始狀態(tài)向量沿深度方向傳播。

這里通過(guò)傳遞矩陣將上下兩層接觸面的應(yīng)力分量、位移分量聯(lián)系起來(lái)，再考慮接觸面的連續(xù)條件及邊界條件，最終可以利用傳遞矩陣表示出地基表面的初始狀態(tài)分量與所求深度處的應(yīng)力、位移狀態(tài)分量的物理關(guān)系。

2.2 4層基床結(jié)構(gòu)應(yīng)力及變形

針對(duì)重載路基的結(jié)構(gòu)，上部荷載作用于鋼軌，并通過(guò)鋼軌、軌枕傳遞至道床表面，每根軌枕上的荷載分擔(dān)比按照文獻(xiàn)[6]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分配，不同輪軸作用下軌枕荷載分擔(dān)比見(jiàn)圖1。

圖1 軌枕上荷載分擔(dān)比

施加荷載的值根據(jù)文獻(xiàn)[3]中建議的式(5)確定，這里行車速度v取120 km/h。

式中，Pd為動(dòng)軸載，kN；Ps為靜軸重，kN；α為動(dòng)力沖擊系數(shù)或稱速度影響系數(shù)，貨車取0.004；v為行車速度。

進(jìn)一步，設(shè)作用于道床表面的矩形荷載為p0，矩形荷載的長(zhǎng)度和寬度分別為l和b，道床和路基共分為4層，第i層的層底埋深為zi，其層厚為hi，彈性力學(xué)參數(shù)為Ei、νi，見(jiàn)圖2和圖3。

圖2 4層路基結(jié)構(gòu)體系受矩形荷載作用簡(jiǎn)圖

圖3 上部矩形荷載分布簡(jiǎn)圖

各層傳遞矩陣T=T(E，ν，z，α)為對(duì)應(yīng)層的彈性模量E、泊松比ν和深度z的函數(shù)，其元素為[7]：

T33=T22；T34=-T12；T42=-T31；

T43=-T21；T44=T11。

4層路基結(jié)構(gòu)體系總傳遞矩陣G，見(jiàn)式(6)。頂層至第k層任意深度z處的傳遞矩陣G′，見(jiàn)式(7)

(1)第1層(道床)內(nèi)任意深度z(z1≥z>0)的豎向應(yīng)力和豎向位移。

傳遞矩陣關(guān)系式，見(jiàn)式(8)

故矩形荷載角點(diǎn)下第1層(道床)內(nèi)任意深度z下的豎向應(yīng)力，見(jiàn)式(9)

矩形荷載角點(diǎn)下第1層(道床)內(nèi)任意深度z下的豎向位移，見(jiàn)式(10)

(2)第2層(基床表層)內(nèi)任意深度z(z2≥z>z1)的豎向應(yīng)力和豎向位移。

傳遞矩陣關(guān)系式，見(jiàn)式(11)

T2(E2，ν2，z-z1，α)×

故矩形荷載角點(diǎn)下第2層(基床表層)內(nèi)任意深度z下的豎向應(yīng)力，見(jiàn)式(12)

矩形荷載角點(diǎn)下第2層(基床表層)內(nèi)任意深度z下的豎向位移，見(jiàn)式(13)

(3)第3層(基床底層)內(nèi)任意深度z(z3≥z>z2)的豎向應(yīng)力和豎向位移。

傳遞矩陣關(guān)系式，見(jiàn)式(14)

T3(E3，ν3，z-z2，α)·T2(E2，ν2，h2，α)·

故矩形荷載角點(diǎn)下第3層(基床底層)內(nèi)任意深度z下的豎向應(yīng)力，見(jiàn)式(15)

矩形荷載角點(diǎn)下第3層(基床底層)內(nèi)任意深度z下的豎向位移，見(jiàn)式(16)

(4)第4層(基床以下土體)內(nèi)任意深度z(z>z3)的豎向應(yīng)力和豎向位移。

傳遞矩陣關(guān)系式，見(jiàn)式(17)

T4(E4，ν4，z-z3，α)·T3(E3，ν3，h3，α)·

故矩形荷載角點(diǎn)下第4層(基床以下土體)內(nèi)任意深度z下的豎向應(yīng)力，見(jiàn)式(18)

矩形荷載角點(diǎn)下第4層(基床以下土體)內(nèi)任意深度z下的豎向位移，見(jiàn)式(19)

綜上所述，用積分的方法求得了4層路基結(jié)構(gòu)體系在矩形荷載面角點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力σz(z)和豎向變形ω(z)，進(jìn)一步，可以運(yùn)用角點(diǎn)法求得矩形荷載下任意點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力σz(z)和豎向變形ω(z)。

3 傳遞矩陣法程序可行性分析

由于在計(jì)算公式中涉及到矩陣的乘法和貝塞爾函數(shù)的積分[8]，需要編制相應(yīng)的計(jì)算程序計(jì)算，采用辛普森復(fù)合積分公式，利用Matlab軟件編寫求4層彈性半空間路基中任意一深度處矩形荷載角點(diǎn)下的附加應(yīng)力系數(shù)和變形的程序。程序流程見(jiàn)圖4。

圖4 計(jì)算流程

為了驗(yàn)證上述計(jì)算程序的合理性，選擇單輪軸作用、軸重25t條件下，均質(zhì)土路基結(jié)構(gòu)的豎向動(dòng)應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，并與Boussinesq公式[9]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。這里計(jì)算所采用的幾何尺寸參照文獻(xiàn)[3]中建議的基床結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)尺寸，道床厚0.5 m，基床表層0.6 m，基床底層1.9 m。

對(duì)于傳遞矩陣法的計(jì)算程序，計(jì)算參數(shù)如下：

工況①：1～4層的彈性模量E1=E2=E3=E4=180 MPa(按A組填料的彈性模量取值)[10，11]，泊松比為ν1=ν2=ν3=ν4=0.25，矩形荷載長(zhǎng)l=1.09 m，寬b=0.32 m，任意兩軌枕間中心線距0.6 m，分別計(jì)算0.5、1.1、3 m和6 m處的豎向動(dòng)應(yīng)力值；

工況②：1～4層的彈性模量E1=E2=E3=E4=300 MPa(按道砟的彈性模量取值)[10-11]，泊松比為ν1=ν2=ν3=ν4=0.25，矩形荷載長(zhǎng)l=1.09 m，寬b=0.32 m，任意兩軌枕間中心線距0.6 m，分別計(jì)算0.5、1.1、3 m和6 m處的豎向動(dòng)應(yīng)力值。

對(duì)于Boussinesq公式，計(jì)算參數(shù)主要有：矩形荷載長(zhǎng)l=1.09 m，寬b=0.32，任意兩軌枕間中心線距0.6 m，分別計(jì)算0.5、1.1、3 m和6 m處的豎向動(dòng)應(yīng)力值。

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1?？梢?jiàn)，采用傳遞矩陣法計(jì)算均質(zhì)土路基結(jié)構(gòu)時(shí)，與Boussinesq公式的計(jì)算結(jié)果吻合較好，該計(jì)算方法和計(jì)算程序是可行的。

表1 均質(zhì)土路基結(jié)構(gòu)豎向動(dòng)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果

4 傳遞矩陣法和有限元計(jì)算結(jié)果比較

進(jìn)一步，為了驗(yàn)證傳遞矩陣法計(jì)算結(jié)果的合理性，采用有限元法進(jìn)行驗(yàn)證，基床結(jié)構(gòu)采用線彈性材料進(jìn)行模擬。有限元計(jì)算工況為：①基床表層為A組填料，軸重25 t、單輪軸作用和軸重30 t、四輪軸作用，道床(厚0.5 m)、基床表層(軸重25 t，厚0.6 m；軸重30 t，厚0.7 m)、基床底層(軸重25 t，厚1.9 m；軸重30 t，厚2.3 m)[3]以及路基以下土體彈性模量分別取300、180、110 MPa和60 MPa[10，11]，泊松比取0.25。②基床表層為級(jí)配碎石，軸重27 t、雙輪軸作用和軸重35 t、四輪軸作用，道床(軸重27 t，厚0.35 m；軸重35t，厚0.4 m)、基床表層(軸重27 t，厚0.6 m；軸重35 t，厚0.7 m)、基床底層(軸重27 t，厚1.9 m；軸重35 t，厚2.3 m)[3]以及路基以下土體彈性模量分別取300、240、110 MPa和60 MPa[10-11]，泊松比取0.25。有限元分析模型見(jiàn)圖5。

圖5 有限元計(jì)算模型

將有限元計(jì)算結(jié)果與傳遞矩陣法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，應(yīng)力比較的結(jié)果見(jiàn)表2和表3，路基面變形的比較見(jiàn)表4。由表2、表3及表4可以看出，無(wú)論是應(yīng)力的絕對(duì)值、相對(duì)值，還是路基面的變形值，兩種方法的計(jì)算結(jié)果相比存在一些細(xì)微的差異，主要是由于兩種方法的邊界條件存在一些差異，對(duì)于傳遞矩陣法，在線路縱向是無(wú)限的，不存在邊界，而有限元法在線路縱向是有邊界限定的。但是從整體上來(lái)看，兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本吻合較好。

表2 計(jì)算結(jié)果(應(yīng)力)的比較(基床表層為A組填料)

表3 計(jì)算結(jié)果(應(yīng)力)的比較(基床表層為級(jí)配碎石)

進(jìn)一步，將傳遞矩陣法和有限元法的計(jì)算結(jié)果與鐵科院在朔黃鐵路的測(cè)試結(jié)果[12](該測(cè)試進(jìn)行了軸重25、27 t以及30 t的實(shí)車試驗(yàn))進(jìn)行比較?，F(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)路基面的動(dòng)應(yīng)力值為40～120 kPa，計(jì)算結(jié)果在測(cè)試范圍之內(nèi)。對(duì)于路基面的動(dòng)變形，測(cè)試結(jié)果為1.5～2 mm，兩種計(jì)算方法的結(jié)果與測(cè)試結(jié)果相近。

表4 計(jì)算結(jié)果(路基面的變形)的比較 mm

5 結(jié)論

建議了一種基于傳遞矩陣法的4層路基結(jié)構(gòu)體系計(jì)算方法，該方法力學(xué)、數(shù)學(xué)思路明確，計(jì)算方法簡(jiǎn)便，適合于工程實(shí)際應(yīng)用，易于推廣。通過(guò)對(duì)均質(zhì)土路基結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，并與Boussinesq公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果吻合較好。進(jìn)一步，采用該方法對(duì)重載鐵路路基結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，并與有限元法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果吻合較好，計(jì)算精度符合工程實(shí)際需求。

[1] 鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司， 中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，中國(guó)鐵道科學(xué)研究院.BT10621—2009 高速鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范[S].北京:中國(guó)鐵道出版社，2009.

[2] 鐵道第一勘察設(shè)計(jì)院.TB10001—2005 鐵路路基設(shè)計(jì)規(guī)范[S].北京:中國(guó)鐵道出版社，2005.

[3] 鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司.重載鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范(報(bào)批稿)[S].天津:鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，2011.

[4] 王凱.層狀彈性體系的力學(xué)分析與計(jì)算[M].北京:科學(xué)出版社，2009.

[5] 姚炳卿.多層彈性體系力學(xué)分析中積分常數(shù)計(jì)算的矩陣分析方法[J].計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用，1992(2):163-170.

[6] 西南交通大學(xué).軸重30 t黃泛區(qū)重載鐵路路基動(dòng)力特性分析和施工技術(shù)研究[R].成都:西南交通大學(xué)，2013.

[7] 羅世毅.水平層狀地基中附加應(yīng)力與沉降計(jì)算分析[D].西安:長(zhǎng)安大學(xué)，2003.

[8] 徐常偉，于凱，朱峰.基于李群方法的貝塞爾函數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013，29(3):275-281.

[9] 陳仲頤.土力學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2007.

[10] 董亮，張千里，蔡德鉤.高速重載有砟軌道路基動(dòng)變形特性的數(shù)值分析[J].中國(guó)鐵道科學(xué),2010，31(2):6-11．

[11] 董亮，趙成剛.高速鐵路路基的動(dòng)力響應(yīng)分析方法[J].工程力學(xué),2008，25(11):231-236.

[12] 中國(guó)鐵道科學(xué)研究院.軸重30 t以上煤炭運(yùn)輸重載鐵路關(guān)鍵技術(shù)與核心裝備研制——重載線路基礎(chǔ)設(shè)施強(qiáng)化措施研發(fā)[R].北京：中國(guó)鐵道科學(xué)研究院，2013.

Study on Stress and Deformation Analytic Method of Heavy Haul Railway Subgrade Based on Transfer-matrix

LIU Jing-lei1，2， YE Qing-zhi1， SONG Xu-guo2， LUO Qiang1， LU Wen-qiang1

(1.MOE Key Laboratory of High-speed Railway Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China; 2.The Third Railway Survey and Design Institute Group Corporation， Tianjin 300251， China)

The stress and strain of railway subgrade of layered system are calculated with Boussinesq formula in equivalent thickness method as per the current standard. Odemark modulus and thickness equivalent assumption are applied in the equivalent thickness method， the thickness of the soil layer with different moduli above the subgrade is converted into equivalent thickness of the same modulus of the subgrade filler， but this method can not truly reflect the difference between the properties of different soil materials， and the functions in the stress field distributions contributed by the ballast layer with high modulus， the bedding surface layer and the bedding bottom layer are not supported by rigorous theoretical basis. For four layers structure system of the heavy haul railway， the layered analytic method theory is used to calculate the stress and deformation at different depth based on transfer-matrix. The comparison of the theoretical results of the Boussinesq formula with the calculation results of homogeneous soil layer verifies the feasibility of the transfer-matrix method and its calculation program. Finally in order to illustrate the rationality of this method， the result of the finite element are compared with that of the transfer-matrix method， and the two methods prove to be in good agreement with each other．

Heavy haul railway subgrade; Transfer-matrix method; Layered system; Boussinesq formula

2014-07-01

國(guó)家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2013BAG20B00)，國(guó)家973計(jì)劃課題(2013CB036204)

劉晶磊(1981—)，男，博士后，E-mail:kingbest_1118@163.com。

1004-2954(2014)09-0014-06

TU47

：A

10.13238/j.issn.1004-2954.2014.09.004