孫 欣, 馮 艷, 吳志丹, 王 濤

(1. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 沈陽師范大學(xué) 計算機與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部, 沈陽 110034)

MATLAB軟件可視化效果在大學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

孫 欣1, 馮 艷2, 吳志丹2, 王 濤2

(1. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 沈陽師范大學(xué) 計算機與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部, 沈陽 110034)

與傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教育相比較,MATLAB這種計算機數(shù)學(xué)語言將實驗數(shù)據(jù)或計算結(jié)果用圖形的方式直觀地顯示出來,可以將難以顯示的隱含數(shù)直接用曲線描繪出來,在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效地解決了數(shù)學(xué)的高度抽象性問題。在大學(xué)數(shù)學(xué)公共課的教學(xué)實踐中,利用MATLAB軟件提供的數(shù)學(xué)語句在線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計及高等數(shù)學(xué)3門課上繪制圖形,幫助學(xué)生有效理解、掌握大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中較為生澀、抽象的概念、定義、定理及推論。將教學(xué)實踐成果加以整理,以實例演示說明MATLAB軟件的可視化在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境,提高學(xué)習(xí)效率,取得事半功倍的效果。

MATLAB軟件; 可視化效果; 大學(xué)數(shù)學(xué)

0 引 言

MATLAB是一種用于科學(xué)工程計算的高效率高級語言,原是提供使用LINPACK(線性代數(shù)軟件包)和EISPACK(基于特征值計算的軟件包)軟件包接口的,后來逐漸發(fā)展成通用科學(xué)計算、圖視交互系統(tǒng)和程序設(shè)計語言。與BASIC、FORTRAN、C/C++等語言相比,MATLAB的語法規(guī)則簡單,更貼近人的思維方式,被稱為“演算紙式的”科學(xué)工程算法語言[1]。MATLAB應(yīng)用在數(shù)值計算、數(shù)字信號處理、系統(tǒng)識別、自動控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、動態(tài)仿真系統(tǒng)、特殊函數(shù)和圖像領(lǐng)域。MATLAB也廣泛應(yīng)用在高等應(yīng)用問題的求解中,如:微積分問題的計算機求解、線性代數(shù)問題的計算機求解、代數(shù)方程與最優(yōu)化問題的計算機求解、微分方程問題的計算機求解、概率論與數(shù)理統(tǒng)計問題的計算機求解等[2]。MATLAB的繪圖功能具有非常強的實用性和可視性[3],繪圖命令不僅簡單明了,而且控制和表現(xiàn)數(shù)據(jù)圖形的能力強。

1 MATLAB可視化效果在線性代數(shù)上的應(yīng)用

線性代數(shù)是大學(xué)本科計算機、工程、管理、經(jīng)濟各專業(yè)必修的基礎(chǔ)課,由于本課程具有較強的抽象性,所以教學(xué)中數(shù)學(xué)實驗的演示有助于對課程內(nèi)容的理解。本文以二次型的教學(xué)為例,說明MATLAB可視化效果的應(yīng)用。通常,國內(nèi)各種教材通常利用線性變換等知識來講解二次型;而國外教材[4]利用數(shù)、形結(jié)合的方法,即用可視化的圖形將所學(xué)的內(nèi)容直觀呈現(xiàn)出來,將形象思維和抽象思維結(jié)合起來,這符合認(rèn)知規(guī)律。本文從2個方面說明MATLAB可視化效果在線性代數(shù)上的應(yīng)用。

1.1利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型時保持幾何形狀不變

例1 利用正交變換將二次型f(x,y)=x2-8xy-5y2化成標(biāo)準(zhǔn)型。

圖1 旋轉(zhuǎn)前后的雙曲線

注釋1 由圖1可以看出,二次曲線在正交變換的作用下幾何圖形保持不變,這是正交變換的意義。

1.2正(負(fù))定二次型的意義

教材[5]對正(負(fù))定二次型定義是這樣描述的:設(shè)有二次型f(x)=xTAx,A是對稱矩陣,如果對于任意的x≠0,都有f(x)0 (f(x)<0),則稱f(x)為正(負(fù))定二次型。這種從代數(shù)角度描述正(負(fù))定二次型理解起來較抽象,如果借助可視化,利用圖形演示直觀看到,有助于概念的理解。

圖2 正定二次型

例2 利用MATLAB三維圖形語句繪制正定二次型f(x,y)=3x2+7y2。

利用MATLAB三維圖形繪制語句[x,y]=meshgrid(-5∶0.1∶5,-5∶0.1∶5);z=3*x.^2+7*y.^2;mesh(x,y,z)畫出圖形,如圖2所示。

由圖2可以看出,當(dāng)(x,y)≠0時,正定二次型3x2+7y20。

同理,利用MATLAB三維圖形語句繪制負(fù)定二次型f(x,y)=-3x2-7y2。

由圖3可以看出,當(dāng)(x,y)≠0時,負(fù)定二次型-3x2-7y2<0。

利用MATLAB三維圖形語句繪制不定二次型f(x,y)=3x2-7y2。

由圖4可以看出,當(dāng)(x,y)≠0時,不定二次型3x2-7y20或3x2-7y2<0。

圖3 負(fù)定二次型

圖4 不定二次型

注釋2 利用MATLAB可視化效果,對正(負(fù))定二次型概念有了清晰的認(rèn)識。

2 MATLAB可視化效果在概率論與數(shù)理統(tǒng)計上的應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)一門基礎(chǔ)課程。課程中一些抽象、生澀的概念和定義給學(xué)習(xí)帶來許多困難,國外教材[6-7]通常利用數(shù)學(xué)實驗產(chǎn)生直觀可視的圖形和圖像幫助對知識的理解。本文作者在文獻[8]中從3個方面說明MATLAB可視化效果在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用,詳細(xì)內(nèi)容見文獻[8]。

3 MATLAB可視化效果在高等數(shù)學(xué)上的應(yīng)用

MATLAB提供了一系列直觀、簡單的繪圖命令與函數(shù),將高等數(shù)學(xué)中一些復(fù)雜函數(shù)用圖形顯示出來,有助于分析和研究函數(shù)的性質(zhì)。下面從2個方面加以說明。

3.1求函數(shù)的漸近線

圖5 曲線f(x)=及其鉛直漸近線

因為

所以x=0,x=1是曲線的兩條鉛直漸近線。

利用MATLAB語句:

ezplot(′x*(x-1)*y=1′,[-10 10])畫出圖形5。

圖6 曲線f(x)=及其水平漸近線

因為

所以y=0是曲線的一條水平漸近線。

利用MATLAB語句:x1=[0.001:0.01:200];y1=sin(x1)/x1;plot(x1,y1);hold onx2=[-200:0.01:-0.0001];y2=sin(x2)./x2;plot(x2,y2)畫出圖形6。

3.2將函數(shù)展成冪級數(shù)

無窮級數(shù)是逼近理論中重要內(nèi)容,是研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的非常有用的數(shù)學(xué)工具。通常,多項式被選為比較簡單的函數(shù)作為近似函數(shù),一是因為多項式函數(shù)形式簡單規(guī)范,適合用計算機來計算其值,二是這類函數(shù)是連續(xù)的,并且具有各階導(dǎo)數(shù),具有極好的分析性質(zhì)。因此當(dāng)我們用多項式函數(shù)來近似地表示一個已知函數(shù)時很方便[9]。

例5 將函數(shù)f(x)=ex展成x的冪級數(shù)。

由高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識[10],得到

利用MATLAB語句:x=[-2:0.01:10];y1=exp(x);plot(x,y1);hold ony2=1+x+1/2*x.^2+1/6*x.^3;plot(x,y2);hold ony3=1+x+1/2*x.^2;plot(x,y3);hold ony4=1+x;plot(x,y4);畫出圖形7。

圖7 將函數(shù)ex展成x的冪級數(shù)比照圖

注釋5 由圖7不難發(fā)現(xiàn),隨著多項式展開式項數(shù)的增加,在點(0,1)的局部范圍內(nèi),多項式函數(shù)越來越逼近ex,借助MATLAB可視化圖形,對冪級數(shù)理論有了直觀認(rèn)識。

4 結(jié)論與展望

遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合的方法,以及抽象思維與形象思維相結(jié)合的認(rèn)知規(guī)律,本文研究了MATLAB可視化效果在大學(xué)三門重要的基礎(chǔ)課程:線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計和高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,力求起到拋磚引玉的作用。MATLAB語言可以用一系列簡單、直觀的繪圖語句將實驗數(shù)據(jù)和仿真結(jié)果用可視的方式顯示出來。若充分、恰當(dāng)?shù)貙ATLAB軟件的可視化引進大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué),長期堅持會起到事半功倍的效果。

[ 1 ]尹澤明,丁春利. 精通MATLAB 6[M]. 北京:清華大學(xué)出版社, 2002.

[ 2 ]薛定宇,陳陽泉. 高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解[M]. 北京:清華大學(xué)出版社, 2004.

[ 3 ]馬秀麟,趙國慶,朱艷濤. 知識可視化與學(xué)習(xí)進度可視化在LMS中的技術(shù)實現(xiàn)[J]. 中國電化教育, 2013(1):121-125.

[ 4 ]DAVID C L. 線性代數(shù)及其應(yīng)用[M]. 北京:機械工業(yè)出版社, 2006.

[ 5 ]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 工程數(shù)學(xué):線性代數(shù)[M]. 5版. 北京:高等教育出版社, 2007.

[ 6 ]JAY L D. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 5版. 北京:高等教育出版社, 2008.

[ 7 ]SHELDON. 概率論基礎(chǔ)教程[M]. 6版. 趙選民,譯. 北京:機械工業(yè)出版社, 2006.

[ 8 ]孫欣,陳文英,吳志丹,等. 基于MATLAB可視化的概率問題求解[J]. 沈陽師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2010,28(4):487-490.

[ 9 ]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 微積分:下冊[M]. 北京:高等教育出版社, 2003.

[10]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué):下冊[M]. 6版. 北京:高等教育出版社, 2007.

ApplicationofMATLABvisualizationeffectinuniversitymathematicsteaching

SUNXin1,FENGYan2,WUZhidan2,WANGTao2

(1. School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China; 2. Department of Computer and Mathematics Teaching, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Compared with the traditional class teaching of university mathematics, MATLAB called as a computer mathematical language can visualize the experimental data or the computation results into the graphics and draw the implicit function with the curve, which is efficient to solve the abstractness of mathematics. In the teaching practice of the university mathematics, applying the mathematical language via MATLAB into the drawing of Linear Algebra, Probability and Statistics and Calculus teaching, it is helpful for students to understand and grasp the obscure and abstract concepts, definitions, theorems and corollaries. Then the results of teaching practice are sorted out and the examples are illustrated to show that MATLAB visualization in university mathematics teaching is beneficial to create perfect study scene and increase study efficiency.

MATLAB software; visualization effect; university mathematics

2014-06-06。

遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長計劃(LJQ2011118); 遼寧省自然科學(xué)基金資助項目(201202201); 沈陽師范大學(xué)教育教學(xué)改革研究項目(JG2012-YB042)。

孫 欣(1972-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2014)04-0549-04

G434

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.04.021