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        關于“一致有界的一族無窮小的積是無窮小”定理

        2014-09-22 00:37:44楊漢生
        大學數(shù)學 2014年2期
        關鍵詞:定義教材

        姚 瓊, 楊漢生

        (電子科技大學中山學院計算機學院,廣東中山528400)

        1 引 言

        國內(nèi)外的微積分、高等數(shù)學和數(shù)學專業(yè)數(shù)學分析教材,在有關“無窮小的積的運算法則”的論述時[1-3],有的教材明確指出“有限個無窮小的積是無窮小”,有的教材則含糊地指出“無窮小的積是無窮小”.執(zhí)教者經(jīng)常面臨歷屆學生中“無窮個無窮小的積是否是無窮小”的疑問;執(zhí)教者課后之間對此問題有時也眾說紛紜、莫衷一是[4-7].微積分學的基礎是極限理論,極限理論的最終本質(zhì)離不開無窮小.現(xiàn)代非標準分析事實上激活了微積分學發(fā)展歷史中極為關鍵的“無窮小分析”,因此,本文關于“一致有界的一族無窮小的積是無窮小”的命題,關于特定的“一族一致有界無窮小”的概念,或許能對深入研討“無窮小分析理論”起到一點拋磚引玉的作用.

        2 定義與定理證明

        定義1設αλ(x),λ∈Γ(注:在實分析中,Γ表示有限、可數(shù)無窮或不可數(shù)無窮指標集)是一族當x→x0時的無窮小,如果存在正數(shù)M∈(0,1)和δ>0,使得對于滿足不等式0

        定理1設αk(x)(1≤k≤n)是有限個當x→x0時的無窮小,則這有限個無窮小αk(x) (1≤k≤n)在點x0附近必然是一致有界的.

        定理2設{αλ(x),λ∈Γ}是一族當x→x0時的無窮小并且在點x0附近一致有界,那么,這一族無窮小的乘積αλ(x)仍然是無窮小.

        根據(jù)定理1,有限個(當x→x0時的)無窮小在點x0附近必然是是一致有界的.由定理2,自然會得到以下結(jié)論.

        定義4設αλ(x),λ∈Γ是一族當x→∞時的無窮小.如果存在正數(shù)M∈(0,1)和X>0,使得對于滿足不等式|x|>X的一切x和一切λ∈Γ,都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當x→∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

        定義5設αλ(x),λ∈Γ是一族當x→-∞時的無窮小.如果存在正數(shù)M∈(0,1)和X>0,使得對于滿足不等式x<-X的一切x和一切λ∈Γ,都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當x→-∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

        定義6設αλ(x),λ∈Γ是一族當x→+∞時的無窮小.如果存在正數(shù)M∈(0,1)和X>0,使得對于滿足不等式x>X的一切x和一切λ∈Γ,都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當x→+∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

        3 結(jié) 論

        綜上所述,我們就可以得到以下整體性的結(jié)論.

        定理5有限個(當x→□時的)無窮小是一致有界的.

        由于現(xiàn)有絕大多數(shù)微積分和數(shù)學分析教材中沒有涉及無窮個無窮小的積是無窮小的定理或命題,解決此類問題迄今為止還沒有理論依據(jù).現(xiàn)在,本文給出的定理2就可以順利搞定這類問題.

        [參 考 文 獻]

        [1] (美)芬尼,韋爾,吉爾當諾. 托馬斯微積分[M]. 10版. 北京:高等教育出版社,2004.

        [2] 鄧東皋,尹小玲.數(shù)學分析簡明教程[M].2版. 北京:高等教育出版社,2006.

        [3] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(同濟第六版)[M].6版. 北京:高等教育出版社,2007.

        [4] 李猛,胡時財. 無窮個無窮小之積是無窮小嗎——兼談一種特殊無限個無窮小的積[J]. 科技創(chuàng)新導報,2008(1):123-124.

        [5] 張峰. 再談“無窮多個無窮小之積”[J]. 數(shù)學學習,1994(3):6-7.

        [6] 黃紅芳,溫新苗. 關于無窮小性質(zhì)的研究[J]. 河北北方學院學報(自然科學版).2009,25(1):16-19.

        [7] 范允征,倪建平,蔡蕃.一種特殊無限個無窮小的積[J].西北紡織工學院學報,1997,11(4):387-390.

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