孫艷蕊

(東北大學(xué)理學(xué)院， 遼寧沈陽(yáng)110819)

高等數(shù)學(xué)課是理、工、文、管、法諸學(xué)科重要的基礎(chǔ)課.它具有理論縝密，概念抽象，同時(shí)又具有應(yīng)用廣泛的特點(diǎn).加之，高等數(shù)學(xué)的授課對(duì)象是一年級(jí)新生，對(duì)大學(xué)大量信息量的授課一時(shí)難以適應(yīng).這就給高等數(shù)學(xué)任課教師的授課提出了更高的要求.如果高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程只是概念、定理的講解和計(jì)算方法的推演，很容易使學(xué)生感到學(xué)習(xí)內(nèi)容枯燥.大堆的公式和繁瑣的理論推導(dǎo)也容易造成學(xué)生的懼怕心理.致使學(xué)生產(chǎn)生一定程度的心理障礙，因而不能主動(dòng)、積極地去學(xué)習(xí).愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“教育應(yīng)該使提供的東西,讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來(lái)欣賞,而不是作為艱苦的任務(wù)來(lái)負(fù)擔(dān)”.因此，研究教學(xué)方法和教學(xué)手段，探討如何使課堂教學(xué)生動(dòng)形象，如何使學(xué)生身心愉快地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)任課教師必須面對(duì)的課題.同時(shí)，為了適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)的需要，提高大學(xué)生的創(chuàng)新思維能力也成為高等數(shù)學(xué)任課教師義不容辭的責(zé)任.面對(duì)新形勢(shì)的要求，精心設(shè)計(jì)，反復(fù)總結(jié)歸納了以下幾點(diǎn)教法.在此寫出，與同行共同探討高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法，以期提高教學(xué)水平.

1 從問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望

2 注重概念、理論的直觀化，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力

3 鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力

從數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程可以看出，許多新的數(shù)學(xué)概念、定理、法則等的形成都經(jīng)歷了積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，從大量觀察、猜想、計(jì)算……，歸納出其共性和本質(zhì)的東西.在教學(xué)中遵循數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程，注重啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察分析，歸納等發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，猜出結(jié)論，然后用嚴(yán)密的分析語(yǔ)言正確給出敘述，再進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯論證.例如，講解中值定理時(shí)，從幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生給出Rolle中值定理，然后去掉端點(diǎn)函數(shù)值相等的條件，讓學(xué)生思考會(huì)有什么結(jié)論？大膽地寫出結(jié)論，再給出嚴(yán)格的敘述和證明，告訴學(xué)生這就是Lagrange中值定理；講解費(fèi)爾馬定理、函數(shù)取極值的充分條件、曲線凹、凸的判斷時(shí)，畫出圖形，引導(dǎo)學(xué)生猜出條件和結(jié)論；講解常系數(shù)齊次線性微分方程的求解時(shí)，猜想它有指數(shù)函數(shù)形式的解，猜出二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)及其求解法，進(jìn)而歸納出n階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)及其求解法…….同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)已有的理論和方法提問(wèn)，這樣既可以使學(xué)生能積極地、主動(dòng)地去思考，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，又可以教給學(xué)生研究問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生研究問(wèn)題的能力.為了實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育，我們不僅教會(huì)學(xué)生知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)一種科學(xué)直覺(jué)的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生研究問(wèn)題的能力及創(chuàng)新精神.

4 結(jié)合身邊的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材，都偏重于知識(shí)的傳授.學(xué)生既感受不到它的應(yīng)用性，也看不到它的發(fā)展前景，更預(yù)見(jiàn)不到數(shù)學(xué)訓(xùn)練對(duì)一個(gè)人素質(zhì)培養(yǎng)的作用.因此學(xué)生經(jīng)常問(wèn)的一個(gè)問(wèn)題就是“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有什么用？”學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的動(dòng)力，缺少創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，這顯然是不利于人才培養(yǎng)的.針對(duì)這一問(wèn)題，在講課的過(guò)程中，盡量和實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，找一些身邊的例子來(lái)解決，讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用非常廣泛的課程，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.例如，在講函數(shù)概念時(shí)，讓學(xué)生討論外幣兌換中的損失問(wèn)題；講完一元函數(shù)的連續(xù)性后，讓學(xué)生利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)研究為什么在地面上椅子總能找到一個(gè)平衡位置放穩(wěn)；講函數(shù)極值問(wèn)題時(shí)，讓學(xué)生解決核彈頭尺寸的設(shè)計(jì)問(wèn)題、磁盤的存儲(chǔ)量問(wèn)題及身邊的衣柜搬家問(wèn)題等；講一元函數(shù)的微分時(shí)，讓學(xué)生研究100萬(wàn)元錢存入銀行，銀行的年復(fù)利率按a%計(jì)，大約多少年后100萬(wàn)元變?yōu)?00萬(wàn)元；在講微分方程時(shí)，讓學(xué)生討論馬爾薩斯人口問(wèn)題、治污問(wèn)題等[1，5].這樣做既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣又可以提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

興趣是最好的老師.學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的興趣，直接或間接地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，收到了好的教學(xué)效果.

5 注重學(xué)生歸納與類比能力的培養(yǎng)

華羅庚有句學(xué)習(xí)名言：“讀書要從厚到薄，再?gòu)谋〉胶瘛?教書也一樣，這種過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，我們是經(jīng)過(guò)歸納和類比達(dá)到的.首先對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的歸納：例如極限的計(jì)算，將常見(jiàn)極限的類型及計(jì)算方法進(jìn)行歸納，使學(xué)生能夠容易地掌握求極限的方法.對(duì)積分的計(jì)算、級(jí)數(shù)斂散性的判斷等都作類似的歸納.另外，對(duì)同類型的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納.例如，一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及方向?qū)?shù)實(shí)質(zhì)都是變化率的問(wèn)題，但它們之間也有區(qū)別，前二者要考慮左右極限即雙側(cè)極限，方向?qū)?shù)考慮的是單側(cè)極限；又如定積分、重積分、線面積分，其實(shí)質(zhì)都是分割、近似、求和、取極限，只是積分區(qū)域Ω分別為區(qū)間、平面區(qū)域、空間區(qū)域、平面曲線、空間曲線和空間曲面[4].學(xué)完這些內(nèi)容，讓學(xué)生考慮是否能給出一個(gè)統(tǒng)一表達(dá)式定義所有積分？ 類比Newton-Leibniz公式的實(shí)質(zhì)，給出Green公式，Gauss公式和Stokes公式，讓學(xué)生思考這些公式的本質(zhì)是什么，能否將上述四個(gè)公式歸納統(tǒng)一起來(lái).這樣可以引導(dǎo)學(xué)生真正的去思考，去研究.

在教學(xué)過(guò)程中將歸納與類比結(jié)合起來(lái)，書越教越薄，越學(xué)越薄，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和研究能力也得到了提高.

6 注重知識(shí)的拓寬，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，在教學(xué)中注意拓寬知識(shí)面，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.在講解經(jīng)典內(nèi)容的同時(shí)，適時(shí)有機(jī)地融入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識(shí)和成果，開(kāi)拓學(xué)生的視野，以利于學(xué)生的進(jìn)一步深造，并留有學(xué)生獨(dú)立思考的余地，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造思維.引入部分現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)容為學(xué)生將來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，打開(kāi)知識(shí)的大門.例如講一元函數(shù)極值的時(shí)候，利用最速降線問(wèn)題將函數(shù)極值推廣到泛函極值，并介紹變分法.在定積分部分介紹Lebesgue積分，引導(dǎo)學(xué)生變換一個(gè)角度思考問(wèn)題.在級(jí)數(shù)部分引進(jìn)Koch曲線，介紹數(shù)學(xué)的最新分支——分形理論.通過(guò)微分方程穩(wěn)定性的討論，引入混沌理論初步[6].將多元函數(shù)極值與離散的優(yōu)化組合結(jié)合起來(lái)…….這樣做，花費(fèi)的學(xué)時(shí)并不多，有些同學(xué)聽(tīng)過(guò)了也可能很快就忘記了，但也可能對(duì)有些同學(xué)有影響，開(kāi)拓了學(xué)生的視野，使同學(xué)們能從高等數(shù)學(xué)的范疇跳出去，看看高等數(shù)學(xué)后面的數(shù)學(xué)天地是什么樣的.數(shù)學(xué)修養(yǎng)在潛移默化下得到提高，而這正是我們教學(xué)的目的.

教學(xué)改革的目的是提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)現(xiàn)代化人才.如何實(shí)現(xiàn)這一目的，還需要我們不斷地探索.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 李心燦，等. 高等數(shù)學(xué)應(yīng)用250例[M]. 北京：高等教育出版社，1999：40-150.

[2] 徐利治. 談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 2000 (5):1-4.

[3] 車向凱，謝崇遠(yuǎn)，等. 高等數(shù)學(xué)(上)[M]. 北京：高等教育出版社，2005：12-19.

[4] 車向凱，謝崇遠(yuǎn)，等. 高等數(shù)學(xué)(下)[M]. 北京：高等教育出版社，2005：135-220.

[5] George B，Thomas J. Thomas’ Calculus [M]. Tenth edition. Beijing：Higher Education Press, 2004：560-681.

[6] 車向凱，謝崇遠(yuǎn)，等. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)選講 [M]. 沈陽(yáng)：東北大學(xué)內(nèi)部教材，1997：56-101.