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        關(guān)于弦冪積分的一個不等式

        2014-09-20 02:38:24張晗方
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年2期
        關(guān)鍵詞:定義

        張晗方

        (江蘇師范大學(xué)教師教育學(xué)院,徐州221116)

        設(shè)m為非負整數(shù),K為n維歐氏空間En中的有界凸體,G為與K相交的直線,則相交弦長為σ的弦冪積分是[1,2]

        (1)

        (2)

        當(dāng)且僅當(dāng)f1(x)∶f2(x)∶…∶fm(x)=const時等號成立.

        這是著名的H?lder不等式.

        (3)

        證由H?lder不等式(2)知

        此即不等式(2).

        推論1在定理1的條件下,若記p1,p2,…,pm的算術(shù)平均為p0,則有

        Ip1Ip2…Ipm≥

        (4)

        推論2[2]在定理1的條件下,對于三個非負整數(shù)p1,p2,p3,若0≤p3≤p2≤p1,則有

        (5)

        將此不等式整理一下便得不等式(5).

        定理2設(shè)k,l均為正整數(shù),且1≤k

        (6)

        證在(4)中取m=2,p1=k-1,p2=k+1,則有

        (7)

        在(7)的兩端同取k次冪,則有

        (8)

        在(8)中分別取k為1,2,3,…,k,則有

        將這k個不等式相乘便可得

        也即

        (9)

        由此可得

        (10)

        由遞推不等式(10)立即可得(5).

        在文[1,2]中,定義了凸集K的平均弦長為. 實際上,這里的E(σ)是E2中與凸集K的2維與1維體積(即K的面積與周長)相關(guān)的弦冪積分I1與I0的比,而在n維歐氏空間En中,我們給出如下的

        定義設(shè)K為n維歐氏空間中的有界閉凸體,則K的弦長σ的n,m次平均為

        (11)

        由(11)知,此處顯然有E(σ,1,0)=E(σ).

        推論3設(shè)K為n維歐氏空間中的有界閉凸體,則對于K的弦長σ的l,k(1≤k

        E(σ,l,k)≥El-k(σ,1,0)=(E(σ))l-k(1≤k

        (12)

        實際上,由定理2中的(6)可知

        又因為

        所以有

        [參 考 文 獻]

        [1] 任德麟. 積分幾何學(xué)引論[M].上海: 上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1988.

        [2] Luis Santaló. Integral geometry and geometric probability[M]. Cambridge: Cambridge University Press,2004.

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