何愛林，徐 慨，鮑 凱，鄭士偉

（1海軍工程大學電子工程學院，武漢 430033;2海軍潛艇學院，山東青島 266000;3 91917部隊，北京 102400）

0 引言

雙星TDOA/FDOA聯(lián)合定位方式相對于三星、四星等多星定位而言減少了定位平臺數(shù)量，降低了系統(tǒng)的實現(xiàn)難度和發(fā)射成本，且衛(wèi)星的移動的速度很快，產(chǎn)生的多普勒頻差大，有利于定位精度的提高。因此，對于天基無源定位系統(tǒng)來說，采用TDOA/FDOA定位方式是一種非常有吸引力的方案［1］。

文中提出利用地理信息系統(tǒng)提供高程輔助信息，且利用WGS-84切平面來代替橢球表面，在不損失定位精度的情況下對地面干擾源定位的方法。相比于文獻［9］，文中提出的方法具有更高的定位精度;相比于文獻［10］的數(shù)字地圖，文中所采用的地理信息系統(tǒng)具有更高的精度，更能滿足現(xiàn)代戰(zhàn)爭的精度打擊需要。

1 模型的建立

根據(jù)電磁波在空間的傳播規(guī)律，得到如下的TDOA和FDOA方程組:

其中:△r=c△t，△t為干擾信號到達兩個衛(wèi)星的時間差，c為光波的傳播速度;△vr=－△fdλ，△fd為兩顆衛(wèi)星的多普勒頻率差，λ為干擾信號的波長。采用WGS-84地球橢球模型，在地固坐標系中，直角坐標（x，y，z）與大地坐標（L，B，H）的關系如下:

其中:RN為當?shù)孛先η拾霃?e為地球的第一偏心率;H為高程;L、B為干擾源所處地的經(jīng)度和緯度。將上式化簡，則目標的位置還應滿足地球表面方程:

這里，解由式（1）～式（3）聯(lián)立的方程組即可求出目標的位置，但由于上述方程組是一個三元高次非線性方程組，不容易直接求得其解。針對上述方程組，解析算法擁有較高的運算效率但需要剔除模糊解，迭代法具有高數(shù)值穩(wěn)定性但效率比解析法低。因此，文中采用利用解析算法快速粗定位和迭代法精定位相結合的定位方法。

1.1 粗定位算法

進行粗定位時，由于地面接收站及主星的星下點位置和地面干擾源同在兩個衛(wèi)星的覆蓋范圍內(nèi)，將兩個接收站和主星的經(jīng)緯度分別輸入地理信息系統(tǒng)獲得各自的高程，取3個高程的平均值作為干擾源的高程H是合理的，采用半徑為（R+H）（R為主星星下點的地球半徑）的球面代替式（3）變?yōu)?

聯(lián)立方程（1）、（2）、（4）組成的方程組進行粗定位:

將上述兩式代入式（1）經(jīng)過平方簡化可得:

［3］提出的解析算法，最終化簡整理得:

將r1看成已知數(shù)，可得到一個關于x，y，z的線性方程組:

直接解方程求得 X=A－1B，將所求解代入式（5），得到一個以r1為未知數(shù)的四次方程:

解式（10）得到r1的值并去除其模糊解后，求得目標的位置解，設為 u0= ［x'，y'，z'］T。

1.2 精定位算法

根據(jù)粗定位算法中算出的u0計算對應的大地坐標（L0，B0）及RN的值［4］。將（L0，B0）輸入地理信息系統(tǒng)，查詢得地面上同樣經(jīng)緯度點A0的高程H0，將A0（L0，B0，H0）轉(zhuǎn)化為直角坐標 A0（x0，y0，z0）并將所求得的RN、H0代入式（3）得到一個在目標位置有較高精確度的橢球模型:

這里采用迭代法，該迭代法的思想如圖1所示，過點A0作上述橢球的切平面，用下文將描述的解析算法得到定位點B1，將點B1的坐標投影到式（11）所示的橢球面上，得到點A1，再在該點處作切面，從而得到定位點B2和投影點A2，依次計算投影可得點可得到 B3、B4、B5… 等定位點和 A3、A4、A5… 等投影點，逐步逼近所求的干擾源定位點（即時差頻差曲線與橢球的交點C）。對于上述的迭代法，要使迭代算法最終收斂，根據(jù)收斂性的要求，只要‖CAk‖ ＞‖CAk+1‖即可，而這一條件在通常條件下都會滿足。

圖1 迭代算法的迭代原理圖

具體的迭代過程如下:

假設第k次迭代得到的目標位置為Bk（x（k），y（k），z（k）），則可以按照如下步驟得到第k+1次迭代計算所得到的目標位置，記為Bk+1（x（k+1），y（k+1），z（k+1））:

1）將前一次得到的目標直角坐標Bk（x（k），y（k），z（k））進行坐標變換，得到大地坐標 Bk（L（k），B（k），d H（k）），將其投影到橢球面上，得到投影位置的大地坐標為Ak（L（k），B（k），H0）（這里為了工程上程序計算的連續(xù)性，直接使用H0作為橢球的高程，不再輸入地理信息系統(tǒng)），將 Ak（L（k），B（k），H0）轉(zhuǎn)化為直角坐標Ak（x（k），y（k），z（k）），并計算該點 的 卯酉圈曲率半徑R（k）N。

2）在Ak點作橢球的切面，求得其與定位曲線的交點即目標點Bk+1（x（k+1），y（k+1），z（k+1）），其過程如下:

由幾何微分學可得過Ak點的橢球的切面方程:

同樣將 r1看成已知數(shù)，解由式（7）、式（8）、式（12）聯(lián)立得到的線性方程組并將結果代入式（5），可以得到一個以r1為未知數(shù)的四次方程:

解式（13）得到r1的值并去除其模糊解后，求得目標的位置解

3）重復步驟1）和步驟2），定義:

2 誤差分析

分別對隨機測量誤差帶來的定位誤差和高程誤差引起的定位誤差進行分析。

2.1 隨機測量誤差帶來的定位誤差分析

在本雙星TDOA/FDOA定位系統(tǒng)中，考慮的隨機測量誤差主要有時差測量誤差d△t、多普勒頻率差測量誤差d△fd及高程測量誤差d H0。文獻［3］對測量誤差帶來的誤差作了較為詳盡的分析，但其目標位置的約束方程采用的是圓形地球模型，這會給定位帶來較大的誤差［5］。文中采用1.2中迭代計算得出的目標點Ak（x（k），y（k），z（k））處的橢球的切面方程作為約束方程:

對式（14）在目標點處微分并簡化得:

對式（1）～式（2）分別在目標點處求微分得:

將式（15）～式（17）整理成矩陣形式:

假設時差測量誤差、多普勒頻差測量誤差及高程測量誤差之間各自互不相關，則它們引起的定位誤差可以單獨表示，即在地固坐標系中定位誤差協(xié)方差矩陣為:

考慮到地面干擾源定位的精度指標都是水平定位誤差，因此要將該協(xié)方差矩陣變換到目標視線坐標系中并取出其水平分量，即:

其中:Cge表示目標點處的坐標變換矩陣［6］。隨機水平誤差為:

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2.2 高程誤差引起的定位誤差進行分析

文獻［7］對三星時差定位的高程誤差引起的定位誤差進行了分析，文中將其所用分析方法引入本節(jié)，單獨對高程測量誤差對定位精度的影響進行分析，討論地理信息系統(tǒng)對本定位系統(tǒng)的影響。

為了研究問題的方便，在干擾源當?shù)氐囊暰€坐標系內(nèi)討論該問題。假設經(jīng)過坐標變換后，在視線坐標系內(nèi) 的 坐 標 變 換 為［7］衛(wèi) 星 的 速 度 分 別 變 換 為［8］目標輻射源的位置矢量記為u'= ［x'，y'，z'］T。將時差和頻差曲面在輻射源處用其切面代替，重寫方程（1）、（2）并將其在輻射源（0，0，0）處微分得:

當高程誤差為d H0時，零高程的橢球的定位曲面可以用其切面z'=－d H0表示，將其代入式（22）、式（23）中，則有:

計算出x'和y'，并定義誤差指標為:

3 定位誤差仿真

在本節(jié)中分別對隨機測量誤差帶來的定位誤差和高程誤差引起的定位誤差進行仿真分析。

3.1 隨機測量誤差定位精度仿真

假設兩顆衛(wèi)星的高度為800 km，其位置的具體坐標分別為N），速度分別為（－4 988，－2 513，5 486），單位為 m/s，干擾源信號的載波頻率為4 GHz。圖2為在不同測量誤差條件下得到的仿真圖。

圖2 定位水平誤差的均方差等值線（單位:m）

圖2（a）～圖2（d）代表不同的測量精度的干擾源定位誤差分布，圖中兩個*表示兩顆衛(wèi)星的星下點的位置，σ1、σ2、σ3代表時差、頻差和高程測量的均方差。從圖中可以看出，本定位系統(tǒng)的定位精度在星下點周圍較大的范圍內(nèi)能達到1 km以下，相比于文獻［9］提出的定位算法，在定位精度上有很大的提高，擁有著良好的定位性能。通過對比圖2（a）與圖2（b）、圖2（a）與圖2（c）、圖2（b）與圖2（d）可以看出，時差和頻差的測量精度對系統(tǒng)的定位精度影響比高程精度的影響大。

3.2 高程誤差定位精度仿真

仿真條件同3.1節(jié)，地理信息系統(tǒng)的高程誤差能夠達到5 m［10］，在本節(jié)中，假設定位系統(tǒng)的高程誤差為10 m，具體分析高程誤差對定位精度的影響。仿真圖如圖3所示。

圖3 由高程誤差（d H=10 m）引起的定位水平誤差均方差等值線（單位:m）

從仿真圖可以看出，當假設高程誤差為10 m時，在星下點較大的范圍內(nèi)，定位誤差在10 m以下。因此，借助地理信息系統(tǒng)的本定位系統(tǒng)可以忽略高程誤差對系統(tǒng)定位精度的影響。

4 結論

文中對基于WGS-84橢球面切面的雙星時差頻差定位算法進行了研究，提出了利用橢球的切平面作為約束條件的綜合定位方法，通過仿真證明了定位算法的定位高精度。且用到的地理信息系統(tǒng)是一個獨立的系統(tǒng)，在實際的定位過程中，為了適應戰(zhàn)場的快速定位要求，還需要我們進一步將它融合到定位系統(tǒng)中。

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