雷 偉，錢建平，季溢棟，居仙春

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

0 引言

懸浮彈系統(tǒng)是一種新型的“被動(dòng)式”防御武器，它是一種屏障式武器，可以構(gòu)筑有效的防御系統(tǒng)。我國(guó)對(duì)懸浮裝置的結(jié)構(gòu)、氣囊空中充氣技術(shù)以及懸浮彈空中姿態(tài)有相關(guān)研究［1－2］。文獻(xiàn)［3］提出了一種驅(qū)動(dòng)旋翼的方法使懸浮彈達(dá)到懸浮。

文中采用旋翼結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)懸浮子彈的工作過(guò)程研究，包括母彈開艙拋撒、無(wú)翼慣性下降、旋翼張開無(wú)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)慣性下降、有動(dòng)力驅(qū)動(dòng)旋翼減速至穩(wěn)定懸浮等階段，并結(jié)合算例進(jìn)行數(shù)值分析得到最佳的驅(qū)動(dòng)方式和驅(qū)動(dòng)力矩。

1 概述

1.1 彈道特性

根據(jù)懸浮子彈的工作過(guò)程將懸浮子彈的彈道分為4個(gè)階段，如圖1所示。懸浮子彈經(jīng)母彈開艙自由下落段（Ⅰ），減速減旋段（Ⅱ）可分為兩種方式:開翼立即驅(qū)動(dòng)至穩(wěn)定懸浮（Ⅱ-a）;先開翼無(wú)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)慣性下降（Ⅱ-b1）再有動(dòng)力驅(qū)動(dòng)至穩(wěn)定（Ⅱ-b2），穩(wěn)定懸浮段（Ⅲ），有翼慣性下降無(wú)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)段（Ⅳ）。并將開始有動(dòng)力驅(qū)使至穩(wěn)定懸浮的時(shí)間稱為過(guò)渡時(shí)間，即Ⅱ-a和Ⅱ-b2段所用時(shí)間。懸浮子彈經(jīng)過(guò)渡段到達(dá)穩(wěn)定懸浮（Ⅲ）構(gòu)筑防御屏障，這也正是其與普通子母彈的最大區(qū)別。

圖1 彈道特性示意圖

1.2 結(jié)構(gòu)特性

懸浮子彈由旋翼、驅(qū)動(dòng)裝置和彈體三部分組成，如圖2所示。旋翼與驅(qū)動(dòng)裝置之間以及驅(qū)動(dòng)裝置與彈體之間的連接分別稱作軸承1和軸承2。為了使彈體更好的減旋，下文中會(huì)在某一彈道階段采取旋翼與驅(qū)動(dòng)裝置、驅(qū)動(dòng)裝置與彈體固結(jié)在一起的形式（即不產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)），分別稱作軸承1、2固聯(lián)，不固結(jié)在一起稱作軸承自由（不固聯(lián)）。由于驅(qū)動(dòng)裝置與彈體之間的轉(zhuǎn)速不同，將驅(qū)動(dòng)裝置與彈體分別看作剛體1和剛體2采用兩剛體建模能夠更好的模擬真實(shí)情況。

圖2 懸浮彈結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)示意圖

2 旋翼下降過(guò)程動(dòng)力學(xué)模型

2.1 旋翼展開后無(wú)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)時(shí)力學(xué)模型

由于懸浮子彈從母彈拋出后有很高的迎面速度，產(chǎn)生相對(duì)翼片自下而上的相對(duì)氣流，其速度大于旋翼的誘導(dǎo)速度。相對(duì)氣流U自下而上斜向指向槳葉，葉素來(lái)流角為負(fù)值。因葉素所產(chǎn)生的升力Y與相對(duì)氣流合速度U垂直，所以葉素的升力Y向前傾斜，在旋轉(zhuǎn)面上的分力Qy指向前方，起拉著旋翼繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)力作用;而空氣阻力X形成的旋轉(zhuǎn)阻力Qx起阻止旋翼旋轉(zhuǎn)的作用。當(dāng)旋翼各片槳葉的Qy和Qx取得平衡時(shí)，旋翼就能在自下而上的相對(duì)氣流作用下保持穩(wěn)定自轉(zhuǎn)，如圖3所示。

葉素上的相對(duì)氣流速度U可表示為:

圖3 葉素在下降狀態(tài)下的受力分析

式中:UT、UP分別為槳葉剖面的切向速度和軸向速度;Ω、r為槳葉旋轉(zhuǎn)速度和槳葉剖面徑向位置;Vc、vi分別為旋翼漿盤迎流速度和與之對(duì)應(yīng)的誘導(dǎo)速度，此時(shí)在高下降率的情況下，經(jīng)典的動(dòng)量理論不再成立［4］。

這樣，葉素上的升力Y和阻力X有:

式中:Cl、Cd為升力系數(shù)與阻力系數(shù)［5］。來(lái)流角ε和攻角α可分別表示為（向上為正），α=θ－ε，θ為葉片安裝角，c為槳葉當(dāng)?shù)叵议L(zhǎng)。則微元為拉力:

微元阻力矩:

因此，得出了懸浮子彈從母彈拋撒出后無(wú)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)時(shí)展開旋翼，旋翼轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律:

式中:J為旋翼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Mk為旋翼對(duì)驅(qū)動(dòng)裝置的反作用力矩。直至Qy和Qx相等時(shí)，旋翼穩(wěn)定自轉(zhuǎn)。將式（4）代入式（1）～式（3）便能得到無(wú)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)時(shí)的升力T（t）。

2.2 旋翼有動(dòng)力驅(qū)動(dòng)時(shí)力學(xué)模型

旋翼開始有動(dòng)力驅(qū)動(dòng)時(shí)，輸入轉(zhuǎn)矩會(huì)給定一扭矩M。接下來(lái)分兩種情況:

1）Vc＞vi時(shí)，Qy和Qx的方向仍然相反，輸入力矩為了使旋翼加速，此時(shí)與Qy方向一致。旋翼的轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化:

隨著轉(zhuǎn)速與提升力的增加，懸浮子彈下降速度勢(shì)必會(huì)逐漸減小，直至出現(xiàn)Vc≤vi時(shí)，ε由負(fù)值變?yōu)檎?，力矩方向隨之發(fā)生變化。

2）Vc≤vi時(shí)，Qy和Qx的方向相同，有:

至此，已經(jīng)得到了完整的旋翼下降過(guò)程力學(xué)模型，接下來(lái)建立懸浮子彈剛體彈道模型。

3 懸浮子彈兩剛體外彈道模型

3.1 坐標(biāo)系的建立與變換

首先建立地面慣性坐標(biāo)系O-X0Y0Z0，原點(diǎn)O為懸浮彈子彈拋撒點(diǎn)的地面投影點(diǎn)，OX0軸水平沿射向，OZ0軸鉛直向上，OY0軸由右手法則確定;驅(qū)動(dòng)裝置固連坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1，原點(diǎn)O1為驅(qū)動(dòng)裝置質(zhì)心，O1Z1在鉛直面內(nèi)指向彈頂，O1Y1在鉛直面內(nèi)垂直于O1Z1軸，O1X1由右手法則確定;彈體固連坐標(biāo)系O2-X2Y2Z2，原點(diǎn)O2為彈體質(zhì)心，各軸與O1-X1Y1Z1系平行;彈體基準(zhǔn)坐標(biāo)系O2-X0Y0Z0，原點(diǎn)O2為彈體質(zhì)心，各軸與O-X0Y0Z0系平行。各坐標(biāo)系如圖2所示。

坐標(biāo)變換只需考慮兩組變換即可。O2-X0Y0Z0與O2-X2Y2Z2之間可由3個(gè)歐拉角:進(jìn)動(dòng)角ψ2，自轉(zhuǎn)角φ2，章動(dòng)角θ2轉(zhuǎn)換而來(lái)，轉(zhuǎn)換矩陣用[ ]A 表示如下。O2-X2Y2Z2與 O1-X1Y1Z1之間只是坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)O2O1，故轉(zhuǎn)換矩陣同樣可用[]A 表示。另外有:[]A－1=[ ]AT。

3.2 運(yùn)動(dòng)方程的建立

通過(guò)對(duì)各剛體所受力、力矩的分析，將所有的力投影到 O-X0Y0Z0坐標(biāo)系上，所有的力矩投影到O2-X2Y2Z2坐標(biāo)系上得:

軸承1、2之間的關(guān)系得到方程:

式（8）、式（9）中:下標(biāo)帶有 xi、yi、zi表示通過(guò)坐標(biāo)變換投影到O-XiYiZi（i=0，1，2）坐標(biāo)系中;m1和m2、A1和A2、C1和C2分別為驅(qū)動(dòng)裝置剛體與彈體剛體的質(zhì)量、赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;L1和L2分別為O1D和O2D的距離;T為旋翼的拉力;R2為彈體所受的空氣動(dòng)力，包括阻力Rx2、升力Ry2和馬格努斯力;M2為彈體所受的空氣動(dòng)力矩，包括彈體的極阻尼力矩Mxz2，靜力矩Mz2，赤道阻尼力矩Mzz2

［6］;Mf1和Mf2分別為軸承 1、2的摩擦力矩，有:Mf=f0（vn）2/3d3m，dm為軸承平均直徑，f0為考慮軸承結(jié)構(gòu)和潤(rùn)滑方法的系數(shù)，n為軸承連接體之間相對(duì)轉(zhuǎn)速，v為潤(rùn)滑劑的運(yùn)動(dòng)粘度;Mk為旋翼的反扭矩，由旋翼的力學(xué)模型中可得到。

3.3 四元數(shù)法替代歐拉角

歐拉角之間的關(guān)系:

由于歐拉角的表示方法在計(jì)算中容易出現(xiàn)奇點(diǎn)而停止運(yùn)算，文中采用四元數(shù)法替代歐拉角［7］:

至此，已經(jīng)得到了完整的旋翼下降過(guò)程力學(xué)模型和懸浮子彈剛體彈道模型，將旋翼力學(xué)模型中的T（t）、Mk代入彈道模型中便能得到懸浮彈的彈道軌跡。

4 初始參數(shù)

子彈出艙參數(shù):母彈存速300 m/s，拋撒速度40 m/s，彈道傾角60°，子彈出艙轉(zhuǎn)速10 000 r/min，開艙高度1 000 m。

空氣密度 ρ=ρon（1 －2.19 ×10－5h）4.4016，其中 ρon=1.293 kg/m3為地面空氣密度，h為高度的變化。其他參數(shù)如表1所示。

表1 彈型與翼型相關(guān)參數(shù)

采用VB編寫仿真程序，以時(shí)間為自變量利用四階龍哥庫(kù)塔法對(duì)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段彈道方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析。

5 只開翼，不驅(qū)動(dòng)分析

在給定的初值條件下，子彈從母彈拋出后，讓其自由下落，7.6 s便已落地，落地時(shí)的z方向速度（下稱落速）仍然有94.5 m/s，彈體轉(zhuǎn)速仍然有84.5 r/s。

圖4、圖5是3種固聯(lián)方式下高度和彈體轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化曲線?？梢钥闯觯搪?lián)方式的不同對(duì)彈體減速效果以及落地時(shí)間差別并不大，但對(duì)彈體減旋的效果影響卻很大。

圖4 時(shí)間－高度 圖5 時(shí)間－彈體轉(zhuǎn)速

考慮到彈體一直處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)的要求會(huì)更高，三種固聯(lián)方式對(duì)減速效果幾乎相同的情況下（落地時(shí)間分別為 19.03 s、19.66 s、19.76 s）采用軸承1、2都固聯(lián)相對(duì)于其他兩種方式在彈體減旋上效果更好。因此，綜合考慮此階段采用軸承1、2都固聯(lián)的方式是最佳的。

6 驅(qū)動(dòng)旋翼分析

6.1 確定最佳驅(qū)動(dòng)方式

由于此時(shí)旋翼已經(jīng)驅(qū)動(dòng)，軸承1必須自由。假定懸浮子彈在150 m必須進(jìn)入穩(wěn)定懸浮階段（落速小于10 m/s）。按照驅(qū)動(dòng)方式的不同將其分為直接驅(qū)動(dòng)（Ⅱ-a）和先開翼減速減旋一段時(shí)間再驅(qū)動(dòng)（Ⅱ-b1+Ⅱ-b2）兩種方式。首先給定正好能夠克服懸浮子彈自身重力的驅(qū)動(dòng)力矩，取M=0.056 N·m。

圖6是在軸承2不固聯(lián)情況下兩種驅(qū)動(dòng)方式高度隨時(shí)間變化的對(duì)比?？梢钥闯?，Ⅱ-b的曲線全部在Ⅱ-a曲線之上，這說(shuō)明先開翼后驅(qū)動(dòng)的方式能夠滯空的時(shí)間更長(zhǎng)一些;圖7是彈體轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化曲線，顯然先開翼后驅(qū)動(dòng)的方式對(duì)彈體的減旋效果比較好，而且對(duì)比2軸承的固聯(lián)方式可以看出，2不固聯(lián)的方式能夠在驅(qū)動(dòng)旋翼以后彈體仍然保持減旋狀態(tài)，當(dāng)2固聯(lián)時(shí)由于驅(qū)動(dòng)旋翼以后旋翼的轉(zhuǎn)速大于彈體的轉(zhuǎn)速，致使它們之間的摩擦力矩仍會(huì)給彈體一個(gè)加速旋轉(zhuǎn)的作用。

圖6 時(shí)間－高度 圖7 時(shí)間－彈體轉(zhuǎn)速

綜合以上對(duì)比，采用先開翼減速減旋一段時(shí)間，此時(shí)1、2都固聯(lián)，然后再使1、2都不固聯(lián)驅(qū)動(dòng)旋翼是最佳的驅(qū)動(dòng)方式。此方式能夠更快的減速，彈體能夠更好的減旋，而且有更長(zhǎng)的滯空時(shí)間。但是無(wú)論哪種驅(qū)動(dòng)方式過(guò)渡時(shí)間都很長(zhǎng)。因此，需要通過(guò)增大驅(qū)動(dòng)力矩的方法來(lái)減少過(guò)渡時(shí)間。

6.2 確定最佳驅(qū)動(dòng)力矩

由于需要懸浮子彈在一定的驅(qū)動(dòng)能量下，更長(zhǎng)時(shí)間的處于懸浮段才能更有效的構(gòu)筑防御屏障。因此，通過(guò)增加驅(qū)動(dòng)力矩的方法減小過(guò)渡時(shí)間是必要的。采取上述確定的最佳驅(qū)動(dòng)方式，對(duì)比1.2M、1.4M、1.6M、1.8M、2.0M、2.2M（M 是克服自身重力所需要的驅(qū)動(dòng)力矩，M=0.056 N·m）時(shí)的彈道模型。

表2是800 m開翼高度不同驅(qū)動(dòng)力矩（M的倍數(shù)）下所用過(guò)渡時(shí)間表，圖8是過(guò)渡時(shí)間隨驅(qū)動(dòng)力矩增大的變化曲線。

表2 800 m開翼不同驅(qū)動(dòng)力矩下過(guò)渡時(shí)間（s）

圖8 驅(qū)動(dòng)力矩倍數(shù)－過(guò)渡時(shí)間

可以看出，雖然隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增加過(guò)渡時(shí)間在減小，但屬于一個(gè)慢慢進(jìn)入平緩的過(guò)程，在1.8倍之后基本進(jìn)入水平階段。然而在一定能量的情況下，驅(qū)動(dòng)力矩越大能夠驅(qū)動(dòng)的時(shí)間也就越短。另外，懸浮彈在以大于M的驅(qū)動(dòng)力矩減速到達(dá)懸浮段后必須有一個(gè)減小驅(qū)動(dòng)力矩至M的過(guò)程，否則懸浮子彈會(huì)繼續(xù)上升。越大的驅(qū)動(dòng)力矩減小至M對(duì)結(jié)構(gòu)的要求也會(huì)越困難。綜合考慮過(guò)渡時(shí)間、一定能量下能夠產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)時(shí)間以及對(duì)結(jié)構(gòu)的要求，選取1.4～1.8M之間驅(qū)動(dòng)減速是最合適的。

7 結(jié)論

1）懸浮子彈在展開旋翼未驅(qū)動(dòng)的情況下比自由下落子彈能夠延長(zhǎng)11.5 s左右落地，此時(shí)的最佳開翼方式是軸承1、2都固聯(lián)的方式。

2）給出了懸浮子彈的最佳驅(qū)動(dòng)方式是:先軸承1、2都固聯(lián)減速一段時(shí)間再軸承1、2都不固聯(lián)驅(qū)動(dòng)旋翼。此驅(qū)動(dòng)方式能夠更快的減速，彈體能夠更好的減旋而且有更長(zhǎng)的滯空時(shí)間。

3）給出最佳的驅(qū)動(dòng)力矩是剛好能夠克服自身重力所需力矩的1.4～1.8倍之間，此時(shí)的過(guò)渡時(shí)間在4.5 ～6.5 s之間。

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