章少川

1 運算定義型

（ ）必做1 定義平面向量的一種運算：a 塥b=a·bsin〈a，b〉，則下列命題：

①a 塥b=b 塥a；

②λ（a 塥b）=（λa） 塥b；

③（a+b） 塥c=（a 塥c）+（b 塥c）；

④若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a 塥b=x1y2-x2y1.

其中真命題是________（寫出所有真命題的序號）.

精妙解法 由定義可知b 塥a=b·asin〈a，b〉=a 塥b，所以①正確.

②當λ<0時，〈λa，b〉=π-〈a，b〉，所以（λa） 塥b=λa·bsin〈λa，b〉= -λa·bsina，而λ（a 塥b）=λa·b·sin〈a，b〉，所以②不成立.

③因為a+b的長度不一定等于a+b，所以③不成立.

④（a 塥b）2=a2·b2sin2〈a，b〉=a2·b2（1-cos2〈a，b〉）=a2·b2-a2·b2cos2〈a，b〉=a2·b2-（a·b）2=（x +y ）（x +y ）-（x1x2+y1y2）2=（x1y2-x2y1）2，所以a 塥b=x1y2-x2y1，所以④成立.

所以真命題是①④.

（ ）必做2 在實數集R中定義一種運算“ 鄢”，對任意a，b∈R，a 鄢b為唯一確定的實數，且具有以下性質：

（1）對任意a∈R，a 鄢0=a；

（2）對任意a，b∈R，a 鄢b=ab+（a 鄢0）+（b 鄢0）.

關于函數f（x）=（ex） 鄢 的性質，有如下說法：

①函數f（x）的最小值為3；

②函數f（x）為偶函數；

③函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，0].

其中正確說法的個數為（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

精妙解法 由運算定義得f（x）=（ex） 鄢 =1+ex+ ≥1+2 =3，①正確；

f（-x）=1+e-x+ =1+ +ex=f（x），②正確；令f ′（x）=ex-e-x≥0，解得x≥0，

即單調遞增區(qū)間為[0，+∞），③錯誤. 故選C.

2 概念定義型

（ ）必做1 設集合A 哿R，如果x0∈R滿足：對任意a>0，都存在x∈A，使得0

①Z+∪Z-；

②R+∪R-；

③xx= ，n∈N 鄢；

④xx= ，n∈N 鄢，

以0為聚點的集合有__________（寫出所有你認為正確的結論的序號）.

精妙解法 ①當a= 時，此時對任意的x∈Z+∪Z-，都有x-0=0或者x-0≥1，也就是說不可能0

②對于集合{xx≠0，x∈R}，對任意的a，都存在x= （實際上任意比a小的數都可以），使

0

③集合xx= ，n∈N 鄢中的元素是極限為0的數列，對于任意的a>0，存在n> ，使0

所以0是集合xx= ，n∈N 鄢的聚點.

④集合xx= ，n∈N 鄢的元素是極限為1的數列，除了第一項0外，其余的都至少比0大 ，所以在a< 時，不存在滿足0

故答案為②③.

（ ）必做2 定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），如果對于任意給定的等比數列{an}，{f（an）}仍是等比數列，則稱f（x）為“等比函數”. 現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：

①f（x）=2x；②f（x）=log x；③f（x）=x2；④f（x）=ln2x，

則其中是“等比函數”的f（x）的序號為____________.

精妙解法 若①f（x）=2x，則 = =2 ，不是常數，所以①不是“等比函數”；②若f（x）=log x， = ，不是常數，所以②不是“等比函數”；③若f（x）=x2， = = ，是常數，所以③是“等比函數”；④若f（x）=ln2x，則f（x）=xln2， = = ，是常數，所以④是“等比函數”. 綜上， f（x）是“等比函數”的序號為③④.

（ ）必做3 對于函數y=f（x）與常數a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“P數對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“類P數對”. 設函數f（x）的定義域為R+，且f（1）=3.

（1）若（1，1）是f（x）的一個“P數對”，求f（2n）（n∈N 鄢）.

（2）若（-2，0）是f（x）的一個“P數對”，且當x∈[1，2）時f（x）=k-2x-3，求f（x）在區(qū)間[1，2n）（n∈N 鄢）上的最大值與最小值.

（3）若f（x）是增函數，且（2，-2）是f（x）的一個“類P數對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由.

①f（2-n）與2-n+2（n∈N 鄢）；

②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）.

精妙解法 （1）由題意知f（2x）=f（x）+1恒成立，令x=2k（k∈N 鄢），可得f（2 ）=f（2k）+1，所以{f（2k）}是公差為1的等差數列，故f（2n）=f（20）+n. 又f（20）=3，故f（2n）=n+3. 搖

（2）當x∈[1，2）時， f（x）=k-2x-3，令x=1，可得f（1）=k-1=3，

解得k=4，即x∈[1，2）時， f（x）=4-2x-3，故f（x）在[1，2）上的取值范圍是[3，4]. 搖

又（-2，0）是f（x）的一個“P數對”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，

當x∈[2k-1，2k）（k∈N 鄢）時， ∈[1，2）， f（x）=-2f =4f =…=（-2）k-1f ，

故k為奇數時， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范圍是[3×2k-1，2k+1]；

當k為偶數時， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范圍是[-2k+1，-3×2k-1]. 搖

所以當n=1時， f（x）在[1，2n）上的最大值為4，最小值為3；

當n為不小于3的奇數時， f（x）在[1，2n）上的最大值為2n+1，最小值為 -2n；

當n為不小于2的偶數時， f（x）在[1，2n）上的最大值為2n，最小值為-2n+1.

（3）由（2，-2）是f（x）的一個“類P數對”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立，即f（x）≤ f（2x）+1恒成立.

令x= （k∈N 鄢），可得f ≤ f +1，

即f -2≤ f -2對一切k∈N 鄢恒成立，

所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f（1）-2]= ，故f（2-n）≤2-n+2（n∈N 鄢）. 搖

若x∈（0，1]，則必存在n∈N 鄢，使得x∈ ， ，由于f（x）是增函數，故f（x）≤f ≤ +2.

又2x+2>2× +2= +2，故有f（x）<2x+2.

3 類比歸納型

（ ）必做1 若集合A1，A2，…，An滿足A1∪A2∪…∪An=A，則稱A1，A2，…，An為集合A的一種拆分.已知：

①當A1∪A2={a1，a2，a3}時，有33種拆分；

②當A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}時，有74種拆分；

③當A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}時，有155種拆分；

……

由以上結論，推測出一般結論：

當A1∪A2∪…∪An={a1，a2，a3，…，an+1}，有_________種拆分.

精妙解法 因為當有2個集合時，33=（4-1）2+1=（22-1）2+1；當有3個集合時，74=（8-1）3+1=（23-1）3+1；當有4個集合時，155=（16-1）4+1=（24-1）4+1；由此可以歸納當有n個集合時，有（2n-1）n+1種拆分.

（ ）必做2 已知函數f（x）=2x，0≤x≤ ，2-2x，

把滿足f （x）=x（x∈[0，1]）的x的個數稱為函數f（x）的“n-周期點”，則f（x）的2-周期點是__________；n-周期點是__________.

精妙解法 當x∈0， 時， f （x）=2x=x，解得x=0. 當x∈ ，1時， f （x）=2-2x=x，解得x= . 所以f（x）的“1-周期點”的個數為2.當x∈0， 時， f （x）=2x， f （x）=4x=x，解得x=0；當x∈ ， 時， f （x）=2x， f （x）=2-4x=x，解得x= . 當x∈ ， 時， f （x）=2-2x， f （x）=-2+4x=x，解得x= ；當x∈ ，1時， f （x）=2-2x， f （x）=4-4x=x，解得x= . 所以f（x）的“2-周期點”為22=4個. 以此類推， f（x）的“n-周期點”的個數為2n個.

（ ）必做3 已知正項等比數列{an}中有 = ，則在等差數列{bn}中，類似的結論有___________.

精妙解法 根據等比性質可知 = = = ， = = . 所以在等差數列中，有 = .

（ ）必做4 若點P0（x0，y0）在橢圓 + =1（a>b>0）外，過點P0作該橢圓的兩條切線的切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為 + =1. 那么對于雙曲線，類似地，可以得到一個正確的命題為_________.

精妙解法 運用類比推理的方法，對于雙曲線，可以得到一個正確的命題為：若點P0（x0，y0）在雙曲線 - =1（a>0，b>0）外，過點P0作該雙曲線的兩條切線的切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為 - =1.

其正確性可證明如下：

設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P0（x0，y0），則過點P1，P2的切線的方程分別為： - =1， - =1.

因為P0（x0，y0）在這兩條切線上，故有 - =1， - =1，這說明P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直線 - =1上，故得切點弦P1P2所在直線的方程為 - =1.

（ ）必做5 在數學解題中，常會碰到形如“ ”的結構，這時可類比正切的和角公式. 設a，b是非零實數，且滿足 =tan ，則 等于（ ）

A. 4 B. C. 2 D.

精妙解法 將條件左式變形，得 = ，聯(lián)想兩角和的正切公式，設tanα= ，

則有tan +α= =tan ，則 +α=kπ+ ，解得α=kπ+ （k∈Z），于是 =tankπ+ = ，選D.

解得k=4，即x∈[1，2）時， f（x）=4-2x-3，故f（x）在[1，2）上的取值范圍是[3，4]. 搖

又（-2，0）是f（x）的一個“P數對”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，

當x∈[2k-1，2k）（k∈N 鄢）時， ∈[1，2）， f（x）=-2f =4f =…=（-2）k-1f ，

故k為奇數時， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范圍是[3×2k-1，2k+1]；

當k為偶數時， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范圍是[-2k+1，-3×2k-1]. 搖

所以當n=1時， f（x）在[1，2n）上的最大值為4，最小值為3；

當n為不小于3的奇數時， f（x）在[1，2n）上的最大值為2n+1，最小值為 -2n；

當n為不小于2的偶數時， f（x）在[1，2n）上的最大值為2n，最小值為-2n+1.

（3）由（2，-2）是f（x）的一個“類P數對”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立，即f（x）≤ f（2x）+1恒成立.

令x= （k∈N 鄢），可得f ≤ f +1，

即f -2≤ f -2對一切k∈N 鄢恒成立，

所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f（1）-2]= ，故f（2-n）≤2-n+2（n∈N 鄢）. 搖

若x∈（0，1]，則必存在n∈N 鄢，使得x∈ ， ，由于f（x）是增函數，故f（x）≤f ≤ +2.

又2x+2>2× +2= +2，故有f（x）<2x+2.

3 類比歸納型

（ ）必做1 若集合A1，A2，…，An滿足A1∪A2∪…∪An=A，則稱A1，A2，…，An為集合A的一種拆分.已知：

①當A1∪A2={a1，a2，a3}時，有33種拆分；

②當A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}時，有74種拆分；

③當A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}時，有155種拆分；

……

由以上結論，推測出一般結論：

當A1∪A2∪…∪An={a1，a2，a3，…，an+1}，有_________種拆分.

精妙解法 因為當有2個集合時，33=（4-1）2+1=（22-1）2+1；當有3個集合時，74=（8-1）3+1=（23-1）3+1；當有4個集合時，155=（16-1）4+1=（24-1）4+1；由此可以歸納當有n個集合時，有（2n-1）n+1種拆分.

（ ）必做2 已知函數f（x）=2x，0≤x≤ ，2-2x，

把滿足f （x）=x（x∈[0，1]）的x的個數稱為函數f（x）的“n-周期點”，則f（x）的2-周期點是__________；n-周期點是__________.

精妙解法 當x∈0， 時， f （x）=2x=x，解得x=0. 當x∈ ，1時， f （x）=2-2x=x，解得x= . 所以f（x）的“1-周期點”的個數為2.當x∈0， 時， f （x）=2x， f （x）=4x=x，解得x=0；當x∈ ， 時， f （x）=2x， f （x）=2-4x=x，解得x= . 當x∈ ， 時， f （x）=2-2x， f （x）=-2+4x=x，解得x= ；當x∈ ，1時， f （x）=2-2x， f （x）=4-4x=x，解得x= . 所以f（x）的“2-周期點”為22=4個. 以此類推， f（x）的“n-周期點”的個數為2n個.

（ ）必做3 已知正項等比數列{an}中有 = ，則在等差數列{bn}中，類似的結論有___________.

精妙解法 根據等比性質可知 = = = ， = = . 所以在等差數列中，有 = .

（ ）必做4 若點P0（x0，y0）在橢圓 + =1（a>b>0）外，過點P0作該橢圓的兩條切線的切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為 + =1. 那么對于雙曲線，類似地，可以得到一個正確的命題為_________.

精妙解法 運用類比推理的方法，對于雙曲線，可以得到一個正確的命題為：若點P0（x0，y0）在雙曲線 - =1（a>0，b>0）外，過點P0作該雙曲線的兩條切線的切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為 - =1.

其正確性可證明如下：

設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P0（x0，y0），則過點P1，P2的切線的方程分別為： - =1， - =1.

因為P0（x0，y0）在這兩條切線上，故有 - =1， - =1，這說明P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直線 - =1上，故得切點弦P1P2所在直線的方程為 - =1.

（ ）必做5 在數學解題中，常會碰到形如“ ”的結構，這時可類比正切的和角公式. 設a，b是非零實數，且滿足 =tan ，則 等于（ ）

A. 4 B. C. 2 D.

精妙解法 將條件左式變形，得 = ，聯(lián)想兩角和的正切公式，設tanα= ，

則有tan +α= =tan ，則 +α=kπ+ ，解得α=kπ+ （k∈Z），于是 =tankπ+ = ，選D.

解得k=4，即x∈[1，2）時， f（x）=4-2x-3，故f（x）在[1，2）上的取值范圍是[3，4]. 搖

又（-2，0）是f（x）的一個“P數對”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，

當x∈[2k-1，2k）（k∈N 鄢）時， ∈[1，2）， f（x）=-2f =4f =…=（-2）k-1f ，

故k為奇數時， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范圍是[3×2k-1，2k+1]；

當k為偶數時， f（x）在[2k-1，2k）上的取值范圍是[-2k+1，-3×2k-1]. 搖

所以當n=1時， f（x）在[1，2n）上的最大值為4，最小值為3；

當n為不小于3的奇數時， f（x）在[1，2n）上的最大值為2n+1，最小值為 -2n；

當n為不小于2的偶數時， f（x）在[1，2n）上的最大值為2n，最小值為-2n+1.

（3）由（2，-2）是f（x）的一個“類P數對”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立，即f（x）≤ f（2x）+1恒成立.

令x= （k∈N 鄢），可得f ≤ f +1，

即f -2≤ f -2對一切k∈N 鄢恒成立，

所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f（1）-2]= ，故f（2-n）≤2-n+2（n∈N 鄢）. 搖

若x∈（0，1]，則必存在n∈N 鄢，使得x∈ ， ，由于f（x）是增函數，故f（x）≤f ≤ +2.

又2x+2>2× +2= +2，故有f（x）<2x+2.

3 類比歸納型

（ ）必做1 若集合A1，A2，…，An滿足A1∪A2∪…∪An=A，則稱A1，A2，…，An為集合A的一種拆分.已知：

①當A1∪A2={a1，a2，a3}時，有33種拆分；

②當A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}時，有74種拆分；

③當A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}時，有155種拆分；

……

由以上結論，推測出一般結論：

當A1∪A2∪…∪An={a1，a2，a3，…，an+1}，有_________種拆分.

精妙解法 因為當有2個集合時，33=（4-1）2+1=（22-1）2+1；當有3個集合時，74=（8-1）3+1=（23-1）3+1；當有4個集合時，155=（16-1）4+1=（24-1）4+1；由此可以歸納當有n個集合時，有（2n-1）n+1種拆分.

（ ）必做2 已知函數f（x）=2x，0≤x≤ ，2-2x，

把滿足f （x）=x（x∈[0，1]）的x的個數稱為函數f（x）的“n-周期點”，則f（x）的2-周期點是__________；n-周期點是__________.

精妙解法 當x∈0， 時， f （x）=2x=x，解得x=0. 當x∈ ，1時， f （x）=2-2x=x，解得x= . 所以f（x）的“1-周期點”的個數為2.當x∈0， 時， f （x）=2x， f （x）=4x=x，解得x=0；當x∈ ， 時， f （x）=2x， f （x）=2-4x=x，解得x= . 當x∈ ， 時， f （x）=2-2x， f （x）=-2+4x=x，解得x= ；當x∈ ，1時， f （x）=2-2x， f （x）=4-4x=x，解得x= . 所以f（x）的“2-周期點”為22=4個. 以此類推， f（x）的“n-周期點”的個數為2n個.

（ ）必做3 已知正項等比數列{an}中有 = ，則在等差數列{bn}中，類似的結論有___________.

精妙解法 根據等比性質可知 = = = ， = = . 所以在等差數列中，有 = .

（ ）必做4 若點P0（x0，y0）在橢圓 + =1（a>b>0）外，過點P0作該橢圓的兩條切線的切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為 + =1. 那么對于雙曲線，類似地，可以得到一個正確的命題為_________.

精妙解法 運用類比推理的方法，對于雙曲線，可以得到一個正確的命題為：若點P0（x0，y0）在雙曲線 - =1（a>0，b>0）外，過點P0作該雙曲線的兩條切線的切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為 - =1.

其正確性可證明如下：

設P1（x1，y1），P2（x2，y2），P0（x0，y0），則過點P1，P2的切線的方程分別為： - =1， - =1.

因為P0（x0，y0）在這兩條切線上，故有 - =1， - =1，這說明P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直線 - =1上，故得切點弦P1P2所在直線的方程為 - =1.

（ ）必做5 在數學解題中，常會碰到形如“ ”的結構，這時可類比正切的和角公式. 設a，b是非零實數，且滿足 =tan ，則 等于（ ）

A. 4 B. C. 2 D.

精妙解法 將條件左式變形，得 = ，聯(lián)想兩角和的正切公式，設tanα= ，

則有tan +α= =tan ，則 +α=kπ+ ，解得α=kπ+ （k∈Z），于是 =tankπ+ = ，選D.