張雪峰

1 三角函數(shù)的概念

（ ）必做1 如圖1，以O(shè)x為始邊作角α與β（0<β<α<π），它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P，Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為- ， .

圖1

（1）求 的值；

（2）若 · =0，求sin（α+β）.

破解思路 （1）先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，代入求三角函數(shù)式子的值.

（2）根據(jù) · =0可得 ⊥ ，再結(jié)合β的取值范圍求出sinβ，cosβ的值，則sin（α+β）可求.

精妙解法 （1）由三角函數(shù)的定義得cosα=- ，sinα= ，

所以原式= = =2cos2α=2×- = .

（2）因?yàn)?· =0，所以 ⊥ ，所以α-β= ，所以β=α- .

所以sinβ=sinα- =-cosα= ，cosβ=cosα- =sinα= .

從而可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= × +- × = .

極速突擊 （1）三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點(diǎn)，則利用三角函數(shù)的定義，便可求該角的正弦值、余弦值、正切值.

（2）同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件.

2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+ cos2ωx- （ω>0），直線x=x1，x=x2是函數(shù)y=f（x）圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且x1-x2的最小值為 .

（1）求f（x）的表達(dá)式；

（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移 個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0在區(qū)間0， 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.？搖

破解思路 利用二倍角公式與和差公式可以對(duì)三角函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用兩相鄰對(duì)稱軸的距離得到周期來(lái)求出ω. 在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí)按照先平移再伸縮的步驟進(jìn)行，得到新的函數(shù)y=g（x），由其與y=-k在0， 上的交點(diǎn)為一個(gè)，得到k的取值范圍.

精妙解法 （1）f（x）= sin2ωx+ · - = sin2ωx+ cos2ωx=sin2ωx+ .

由題意知，函數(shù)f（x）的最小正周期T=2× = ，T= = = ，所以ω=2. 所以f（x）=sin4x+ .

（2）將f（x）的圖象向右平移 個(gè)單位后，得到f（x）=sin4x- 的圖象；再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到f（x）=sin2x- 的圖象.

所以g（x）=sin2x- .

令2x- =t，因?yàn)?≤x≤ ，所以- ≤t≤ .

g（x）+k=0在區(qū)間0， 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)g（t）=sint與y=-k在區(qū)間- ， 上有且只有一個(gè)交點(diǎn).

如圖1，由正弦函數(shù)的圖象可知 - ≤-k< 或-k=1.

圖1

所以-

極速突擊 本題的突破點(diǎn)就是能正確地化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，對(duì)和差公式、二倍角公式能夠熟練運(yùn)用. 確定函數(shù)y=g（x）的解析式后，本題解法中利用了兩個(gè)數(shù)學(xué)思想——整體思想（設(shè)2x- =t，將2x- 視為一個(gè)整體）和數(shù)形結(jié)合思想，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（t）=sint與y=-k在區(qū)間- ， 上有且只有一個(gè)交點(diǎn)的實(shí)數(shù)k的取值范圍.

誤點(diǎn)警示 在進(jìn)行圖象變換時(shí)一定要注意是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，兩者平移的單位是不一樣的.在利用函數(shù)的圖象解題時(shí)這里是轉(zhuǎn)化為y=-k，注意有一個(gè)負(fù)號(hào)，并且在三角函數(shù)圖象的最高點(diǎn)處也是一個(gè)交點(diǎn)，此處容易遺漏.

（ ）必做2 如圖2是一個(gè)纜車示意圖，該纜車的半徑為4.8米，圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8米，且每60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈. 圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)點(diǎn)B與地面間的距離為h.

圖2

（1）求h與θ之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求該纜車首次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間.

破解思路 （1）當(dāng)θ> 時(shí)可以把h分成三段求解，用同樣的方法求θ∈0， ， ， π， π，2π時(shí)的高度h，可以發(fā)現(xiàn)不管θ為多少時(shí)h與θ之間的函數(shù)關(guān)系式是一樣的. （2）在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式就是把θ用t來(lái)表示，根據(jù)角速度可得. 纜車首次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間就是求三角函數(shù)取最大值時(shí)t的值.

精妙解法 （1）過(guò)點(diǎn)O作地面的平行線ON，過(guò)點(diǎn)B作ON的垂線BM交ON于點(diǎn)M（如圖2）.

當(dāng)θ> 時(shí)，∠BOM=θ- ，h=OA+BM+0.8=5.6+4.8sinθ- ；當(dāng)0≤θ≤ 時(shí)，h=OA+0.8-OM=5.6-4.8sin -θ=5.6+4.8sinθ- . 當(dāng) ≤θ< π或 π≤θ<2π時(shí)，上式也成立.

所以h與θ（θ∈[0，+∞））之間的函數(shù)關(guān)系式為h=5.6+4.8sinθ- .

（2）點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是 弧度/秒，所以t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為 t，所以h=5.6+4.8sin t- ，t∈[0，+∞）.

首次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)， h=10.4米，即sin t- =1， t- = ，即t=30秒時(shí)，該纜車首次到達(dá)最高點(diǎn).

極速突擊 本題屬三角函數(shù)模型的應(yīng)用，通常的解決方法：轉(zhuǎn)化為y=sinx，y=cosx等函數(shù)解決圖象、最值、單調(diào)性等問(wèn)題，體現(xiàn)了化歸的思想方法. 用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題主要有兩種：一種是用已知的模型去分析解決實(shí)際問(wèn)題，另一種是需要建立精確的或者用數(shù)據(jù)擬合的模型去解決問(wèn)題，尤其是利用數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)中“數(shù)學(xué)建?！钡谋举|(zhì).

金刊提醒

處理三角函數(shù)圖象問(wèn)題，首先應(yīng)弄清A，ω，φ的功能. 同學(xué)們應(yīng)當(dāng)掌握根據(jù)相應(yīng)的三角函數(shù)解析式繪出相應(yīng)曲線草圖并給出相應(yīng)曲線特征的方法.

3 三角函數(shù)的和差倍角運(yùn)算

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=2cos cos -sin .

（1）設(shè)θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合為一個(gè)三角函數(shù)；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據(jù)第（1）問(wèn)求出的角θ的值就是角C的值，應(yīng)用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個(gè)關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理可列出a，b的第二個(gè)關(guān)系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因?yàn)棣取? ， ，所以θ= - 或 .

（2）因?yàn)镃∈（0，π），由（1）知，C= . 又因?yàn)椤鰽BC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B的對(duì)邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個(gè)問(wèn)題都是求三角函數(shù)的有關(guān)值，所以要求我們能根據(jù)公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系、次數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)名等. 抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，從而聯(lián)想到相應(yīng)的公式，找到解題的切入點(diǎn). 對(duì)公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數(shù)在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合并成一個(gè)三角函數(shù)，把得到的角看成一個(gè)整體求出其取值范圍，再求整個(gè)三角函數(shù)的值的范圍.根據(jù)給出的一個(gè)角的函數(shù)值可以求出角C的大小，對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)把其中的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為用一個(gè)角來(lái)表示即可求出一個(gè)三角函數(shù)值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因?yàn)? ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數(shù)f（x）在- ， 上的值域?yàn)閇0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因?yàn)?

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因?yàn)?sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因?yàn)锽= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問(wèn)題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數(shù)式的最值或值域；⑤化簡(jiǎn)求值.三角函數(shù)中的求值問(wèn)題通常要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用；對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對(duì)于很難入手的問(wèn)題，可利用分析法解決.

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三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問(wèn)題基本都是與三角函數(shù)的恒等變換結(jié)合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關(guān)系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個(gè)角），從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，更輕松解決問(wèn)題.

三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明的難點(diǎn)在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、化簡(jiǎn)與證明的方法. 突破這兩個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是：①要熟練靈活運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項(xiàng)的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.

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處理三角函數(shù)圖象問(wèn)題，首先應(yīng)弄清A，ω，φ的功能. 同學(xué)們應(yīng)當(dāng)掌握根據(jù)相應(yīng)的三角函數(shù)解析式繪出相應(yīng)曲線草圖并給出相應(yīng)曲線特征的方法.

3 三角函數(shù)的和差倍角運(yùn)算

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=2cos cos -sin .

（1）設(shè)θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合為一個(gè)三角函數(shù)；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據(jù)第（1）問(wèn)求出的角θ的值就是角C的值，應(yīng)用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個(gè)關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理可列出a，b的第二個(gè)關(guān)系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因?yàn)棣取? ， ，所以θ= - 或 .

（2）因?yàn)镃∈（0，π），由（1）知，C= . 又因?yàn)椤鰽BC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B的對(duì)邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個(gè)問(wèn)題都是求三角函數(shù)的有關(guān)值，所以要求我們能根據(jù)公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系、次數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)名等. 抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，從而聯(lián)想到相應(yīng)的公式，找到解題的切入點(diǎn). 對(duì)公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數(shù)在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合并成一個(gè)三角函數(shù)，把得到的角看成一個(gè)整體求出其取值范圍，再求整個(gè)三角函數(shù)的值的范圍.根據(jù)給出的一個(gè)角的函數(shù)值可以求出角C的大小，對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)把其中的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為用一個(gè)角來(lái)表示即可求出一個(gè)三角函數(shù)值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因?yàn)? ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數(shù)f（x）在- ， 上的值域?yàn)閇0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因?yàn)?

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因?yàn)?sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因?yàn)锽= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問(wèn)題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數(shù)式的最值或值域；⑤化簡(jiǎn)求值.三角函數(shù)中的求值問(wèn)題通常要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用；對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對(duì)于很難入手的問(wèn)題，可利用分析法解決.

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三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問(wèn)題基本都是與三角函數(shù)的恒等變換結(jié)合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關(guān)系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個(gè)角），從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，更輕松解決問(wèn)題.

三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明的難點(diǎn)在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、化簡(jiǎn)與證明的方法. 突破這兩個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是：①要熟練靈活運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項(xiàng)的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.

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處理三角函數(shù)圖象問(wèn)題，首先應(yīng)弄清A，ω，φ的功能. 同學(xué)們應(yīng)當(dāng)掌握根據(jù)相應(yīng)的三角函數(shù)解析式繪出相應(yīng)曲線草圖并給出相應(yīng)曲線特征的方法.

3 三角函數(shù)的和差倍角運(yùn)算

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=2cos cos -sin .

（1）設(shè)θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合為一個(gè)三角函數(shù)；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據(jù)第（1）問(wèn)求出的角θ的值就是角C的值，應(yīng)用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個(gè)關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理可列出a，b的第二個(gè)關(guān)系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因?yàn)棣取? ， ，所以θ= - 或 .

（2）因?yàn)镃∈（0，π），由（1）知，C= . 又因?yàn)椤鰽BC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B的對(duì)邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個(gè)問(wèn)題都是求三角函數(shù)的有關(guān)值，所以要求我們能根據(jù)公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系、次數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)名等. 抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，從而聯(lián)想到相應(yīng)的公式，找到解題的切入點(diǎn). 對(duì)公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數(shù)在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合并成一個(gè)三角函數(shù)，把得到的角看成一個(gè)整體求出其取值范圍，再求整個(gè)三角函數(shù)的值的范圍.根據(jù)給出的一個(gè)角的函數(shù)值可以求出角C的大小，對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)把其中的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為用一個(gè)角來(lái)表示即可求出一個(gè)三角函數(shù)值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因?yàn)? ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數(shù)f（x）在- ， 上的值域?yàn)閇0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因?yàn)?

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因?yàn)?sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因?yàn)锽= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問(wèn)題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數(shù)式的最值或值域；⑤化簡(jiǎn)求值.三角函數(shù)中的求值問(wèn)題通常要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用；對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對(duì)于很難入手的問(wèn)題，可利用分析法解決.

金刊提醒

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問(wèn)題基本都是與三角函數(shù)的恒等變換結(jié)合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關(guān)系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個(gè)角），從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，更輕松解決問(wèn)題.

三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明的難點(diǎn)在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、化簡(jiǎn)與證明的方法. 突破這兩個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是：①要熟練靈活運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項(xiàng)的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.