吳文堯

1 等差、等比數(shù)列的綜合，數(shù)列求和

（ ）必做1 已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2，a7=4a3，前n項和為Sn.

（1）求an及Sn.

（2）設(shè)bn= ，n∈N 鄢，求bn的最大值.

破解思路 對于第（1）問，等差數(shù)列問題通常以首項a1和公差d為基本量，由于已知a1的值，故只需把條件a7=4a3翻譯成關(guān)于d的方程，從而得到d的值；再利用等差數(shù)列的基本公式（通項公式及前n項和公式）求解即可. 對于第（2）問，由于an及Sn均可以表示為關(guān)于n的函數(shù)，所以bn必可以表示成關(guān)于n的函數(shù)，然后再設(shè)法求出這個函數(shù)的最大值.

精妙解法 （1）設(shè)公差為d，由題意知a1+6d=4（a1+2d），由a1=2，解得d= -3. 所以an=-3n+5，Sn= （n∈N 鄢）.

（2）由（1）得bn= = - n+ ，

由基本不等式得n+ ≥2 =8，所以bn= - n+ ≤ -12= . 又當n=4時，bn= ，從而bn的最大值為 .

（ ）必做2 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2，a1=1.

（1）設(shè)bn=a -2an，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn.

破解思路 對于第（1）問，注意到試題給出的條件是關(guān)于S 和an之間的關(guān)系式，所以通常先把它化成關(guān)于數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式，再化歸為關(guān)于數(shù)列{bn}的遞推關(guān)系式后，自然就瓜熟蒂落了. 第（2）問是求遞推數(shù)列的通項公式問題，通常的對策是化歸為等差或等比數(shù)列問題.

精妙解法 （1）因為S =4an+2 ①，所以S =4a +2 ②，由②式減①式得an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an，即an+2-2an+1=2（an+1-2an）. 由于bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn，由a1+a2=S2=4a1+2及a1=1可得a2=5，b1=a2-2a1=3. 所以數(shù)列{bn}是首項為3、公比為2的等比數(shù)列.

（2）由（1）可知，bn=3·2n-1， 即an+1-2an=3·2n-1，所以 - = ，故數(shù)列 是公差為 、首項為 的等差數(shù)列，所以 = （n-1）+ = （3n-1），即an=（3n-1）2n-2.

當n≥2時，Sn=4an-1+2=4（3n-4）2n-3+2=（3n-4）2n-1+2；

當n=1時，S1=a1=1，上式也成立.

所以 坌n∈N 鄢，Sn=（3n-4）2n-1+2.

極速突擊 本題本質(zhì)上就是一個遞推數(shù)列的通項公式問題，事實上，第（1）問是給出一個解決問題的“臺階”，所以在解決有兩個或兩個以上小題的解答題時，特別要注意前后小題之間的聯(lián)系，順著命題者給出的“臺階”走，一般能到達“理想的彼岸”！若不注意前后問題的聯(lián)系，在得到通項公式an=（3n-1）2n-2后，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}恰為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積，一般會用“錯位相減”的方法求解，如果這樣做，就把簡單問題復(fù)雜化了.

（ ）必做3 在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式.

（2）設(shè)數(shù)列{xn}滿足xn=an·3n-1，求數(shù)列{xn}的前n項和Tn.

（3）對任意m∈N 鄢，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間（9m，92m）內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項和Sm. 設(shè)cn= ，記數(shù)列{cn}的前n項和為Un，求證：Un< 恒成立.

破解思路 第（1）問是等差數(shù)列的基本運算問題，其結(jié)論是解決后面問題的基礎(chǔ)，特別注意運算的準確性即可. 第（2）問的題型模式很明顯，{xn}是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的數(shù)列，顯然可用“錯位相減”的方法解決. 第（3）問，首先要設(shè)法求出數(shù)列{bm}的通項公式，進而根據(jù)通項特點考慮求其前m項和Sm的解題對策，進而得到數(shù)列{cn}的通項公式，若再根據(jù)其通項特點，求出其前n項和Un，則水到渠成了.

精妙解法 （1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3+a4+a5=84可得a4=28，5d=a9-a4=45，d=9，所以an=a4+（n-4）d=9n-8.

（2）由題意可知，Tn=1×30+10×31+19×32+…+（9n-8）3n-1 ①，

3Tn=1×31+10×32+…+（9n-17）3n-1+（9n-8）3n ②.

由①式減②式得-2Tn=1+9（31+32+…+3n-1）-（9n-8）3n，

即-2Tn=1-（9n-8）3n+ ，所以Tn= n- 3n+ .

（3）9m

所以bm=92m-1-9m-1，Sm= bi= （92i-1-9i-1）= - = （9m+1-1）（9m-1）.

故cn= = =10 - ，

所以Un= ci= 10 - =10 - = - < ，即Un< 成立.

極速突擊 眾所周知，在應(yīng)試中，最理想的做法是在解題前就能設(shè)計好一個完整的解題計劃，但有時“理想很豐滿，現(xiàn)實很骨感”，對于本題來說，要在下手前就有完整的計劃很不現(xiàn)實，所以只能選擇分層推進的辦法解決. 本題的主題是數(shù)列求和，即如何由數(shù)列的通項公式，得到數(shù)列的前n項和；數(shù)列求和的常用方法有：公式法、錯位相減法、裂項消去法、重新組合法等；能根據(jù)通項公式的特點，選擇合適的方法顯得非常重要.

金刊提醒

等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩類最重要的數(shù)列基本模型，縱觀近幾年的各地高考數(shù)列問題，不外乎以下兩類：其一是直接考查等差、等比數(shù)列的基本知識；其二是考查由這兩類數(shù)列中所提煉出來的數(shù)學(xué)思想方法，如源于等差數(shù)列的求和消去法、源于等比數(shù)列的求積消去法等.對于數(shù)列求和問題，要過好以下兩關(guān)：第一關(guān)，掌握基本方法關(guān)，即掌握數(shù)列求和的幾種常用方法及解題步驟；第二關(guān)，選擇方法操作關(guān)，即能根據(jù)具體數(shù)列，選擇合適的方法解決之.

2 數(shù)列與不等式

（ ）必做1 在數(shù)列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論；

（2）證明： + +…+ < .

破解思路 （1）由試題類型及設(shè)問方式可聯(lián)想到應(yīng)采用“試一試、猜一猜、證一證”的解題對策.

（2）求出數(shù)列的通項公式后，設(shè)法求出數(shù)列 的前n項和，然后再做適當?shù)姆糯蠹纯?，若不易求出其前n項和，則可先做合理的放大，再求其和.

精妙解法 （1）由已知可得a1=2，b1=4及an+1=2bn-an，bn+1= 故a2=6=2×3，b2=9=32， a3=12=3×4，b3=16=42，a4=20=4×5，b4=25=52，可以猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

（i）當n=1時，結(jié)論顯然成立.

（ii）設(shè)當n=k時結(jié)論仍然成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2 成立，

所以ak+1=2bk-ak=2（k+1）2-k（k+1）=（k+1）[2（k+1）-k]=（k+1）（k+2），

bk+1= = =（k+2）2，所以當n=k+1時結(jié)論成立.

由（i）（ii）可知 坌n∈N 鄢時，結(jié)論成立. 所以an=n（n+1），bn=（n+1）2.

（2）由（1）知ak+bk=（k+1）（2k+1）>2（k+1）k（k=1，2，3，…，n），

= < + = + - = + - = - < ，所以原不等式成立. 搖

極速突擊 放縮法是解決數(shù)列求和型不等式問題的最常用的方法，在具體操作中一般有以下兩種方式：其一是先求和后放縮，這種方式適用于能求出其數(shù)列和的問題（如前面必做題3的最后一問）；其二是先放縮再求和，這種方式適用于不易求出其數(shù)列和的問題，如本題中，注意到數(shù)列 的前n項的和不容易求得，所以可對其通項做適當?shù)姆糯螅磳k+bk做適當?shù)目s小，得到容易求出其和的新數(shù)列. 放縮時還需要注意把握好放縮的度，本題若從第一項開始放大，則會放得過大，所以從第二項開始放大，通常情況下，放大（或縮小）的幅度往往是逐步變小的，從第幾項開始放大（或縮?。┮暡坏仁降囊蠖ǎ绫绢}改為證明不等式 < ，則須從第3項開始放大.

（ ）必做2 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=ma +1-m，m∈N 鄢，其中m為實數(shù).

（1）當0

（2）當0

①an>1-（3m）n-1；

②a +a +…+a >n+1- .

破解思路 第（1）問是一個有關(guān)自然數(shù)的命題，最常規(guī)的方法是用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

對于第（2）問的第①題，注意到a1=0，只需證明1-an<（1-a1）（3m）n-1，所以可對數(shù)列{1-an}的通項進行合理的放縮，且其放縮的目標是公比為3m的等比數(shù)列，即1-ak+1≤3m（1-ak）；第②題的放縮目標顯然是要有利于求出其和，還需注意充分利用前面小題的結(jié)論.

精妙解法 （1）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

（i）n=2時，因為a1=0，a2=ma +1-m=1-m，0

（ii）設(shè)n=k（k≥2）時，結(jié)論仍然成立，即0

00，g（1）=1.

又因為ak+1=g（ak）=ma +1-m，所以0

由（i）（ii）可知， 坌n∈N 鄢（n≥2）有0

（2）①當0

由（1）可知，k≥2時，0

所以1-ak+1=m（1-ak）（1+ak+a ）<（3m）（1-ak），

所以1-an<3m（1-an-1）<（3m）2（1-an-2）<…<（3m）n-1（1-a1）=（3m）n-1，即an≥1-（3m）n-1（n∈N 鄢）.

②由①可知，k≥2時，ak≥1-（3m）k-1>0，

所以a ≥[1-（3m）k-1]2=1-2（3m）k-1+（3m）2（k-1）>1-2（3m）k-1，

所以a +a +…+a =a +…+a >n-1-2[3m+（3m）2+…+（3m）n-1]=n+1- >n+1- .

極速突擊 在用放縮法證明數(shù)列不等式時，明確放縮的目標也很重要，若要證明的目標不等式是和的形式，則放縮的目標要有利于求其和；若要證明的目標不等式是積的形式，則放縮的目標要有利于求其積. 不管什么時候，若能把相關(guān)的數(shù)列不等式通過放縮化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列的問題，則必定是最完美的結(jié)果了.

金刊提醒

證明數(shù)列不等式通常有以下兩種方法可供選擇：其一是用數(shù)學(xué)歸納法證明之；其二是用放縮法證明之.

由于數(shù)學(xué)歸納法證題的套路相對容易掌握，所以若一個數(shù)列不等式能用數(shù)學(xué)歸納加以證明，則困難相對較小；在高考中具有挑戰(zhàn)性的有關(guān)數(shù)列不等式的問題通常只能選擇放縮法加以證明，在放縮中要注意以下幾種途徑和手段的應(yīng)用：其一是先求和（或先求積），再放縮；其二是先放縮，再求和（或再求積）；其三是注意以等差（或等比）數(shù)列為放縮的目標；其四是注意利用基本不等式進行放縮.當然在放縮中還得注意放縮的“度”的把握，若發(fā)現(xiàn)放得過大（或縮得太小），則需及時進行調(diào)整和修改，由于通常情況下，放縮的誤差往往是由大到小，故首先可試一試，把放縮開始的項做適當?shù)暮笠?；若還不成功，則必修改、糾正各項放縮的偏差了.

3 數(shù)列與解析幾何

（ ）必做1 如圖1，已知曲線C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取線段OQ的中點A1，過A1作x軸的垂線交曲線C于P1，過P1作y軸的垂線交RQ于B1，記a1為矩形A1P1B1Q的面積. 分別取線段OA1，P1B1的中點A2，A3，過A2，A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2，P3，過P2，P3分別作y軸的垂線交A1P1，RB1于B2，B3，記a2為兩個矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推，記an為2n-1個矩形面積之和，從而得數(shù)列{an}，設(shè)這個數(shù)列的前n項和為Sn.

（1）求a1，a2與an； 搖 搖 搖

（2）求Sn，并證明Sn< .

破解思路 （1）若記：得到寬為 的21-1個矩形的作圖為第1次操作，得到寬為 的22-1個矩形的作圖為第2次操作，以此類推，得到寬為 的2n-1個矩形的作圖為第n次操作，則問題的關(guān)鍵即為如何求出這2n-1個矩形的長的總和，若能求出a2的值，則通過總結(jié)其運算規(guī)律并以此類推到第n次操作就不難求得an了.

（2）求出數(shù)列{an}的通項公式后，根據(jù)其通項公式的特點，選擇合理的方法先求出其前n項和，再做放縮即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 記x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，則x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作時，記x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，則xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 搖 - 搖 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 搖 .

因為對 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

極速突擊 由于本題的問題情景有點新意，乍一看好像有點“氣勢洶洶”，很有挑戰(zhàn)性，若能仔細審清題意，剝?nèi)栴}的“過度包裝”，其實是一個比較常規(guī)的數(shù)列問題. 事實上，本題的本質(zhì)是給出了一種用初等方法求由y=x2，x=1，x軸圍成的圖形的面積的一種方法.

（ ）必做2 在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1，l2，l3，…的直線簇，滿足條件：

①點P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），這里kn+1為直線ln+1的斜率，an，bn分別是直線ln在x軸和y軸上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），試證明你的結(jié)論.

破解思路 當kn確定時，直線ln也隨之確定，故an，bn也確定，即an，bn必可用kn表示，所以本題的本質(zhì)其實是一個遞推數(shù)列問題，因此首先要得到數(shù)列{kn}的遞推關(guān)系，再根據(jù)數(shù)列{kn}的遞推關(guān)系式，選擇合理的解決辦法.

精妙解法 設(shè)這樣的直線簇存在，由題意可知：直線ln的方程為y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或?qū)?坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 時，kn+1<0，得矛盾.

（ii）對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以當n>k 時，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 滿足條件的無窮多條直線l1，l2，l3，…組成的直線簇不存在.

極速突擊 （1）對于數(shù)學(xué)中的存在性問題，其解題對策是：不管它存在與否，一定要從“美好的愿望”出發(fā)，就當做它是存在的，去尋找和探索其真實性. 若存在，則可以找到它；若不存在，則其尋找的過程就可以說明不存在的理由.

（2）對于本題，當?shù)玫竭f推關(guān)系式kn+1-kn=- 后，若能把 放縮到某一個常數(shù)，即以等差數(shù)列作為放縮的目標，則問題就不難解決了.

金刊提醒

大多數(shù)有關(guān)數(shù)列與解析幾何的綜合問題，從試題的表面看好像是解析幾何問題，其實解析幾何往往只在試題的“包裝”中發(fā)揮作用，所以對于這類問題的關(guān)鍵是看清試題的本質(zhì)，把問題化歸為有關(guān)數(shù)列的基本問題，然后再設(shè)法解決之.

金刊提醒

證明數(shù)列不等式通常有以下兩種方法可供選擇：其一是用數(shù)學(xué)歸納法證明之；其二是用放縮法證明之.

由于數(shù)學(xué)歸納法證題的套路相對容易掌握，所以若一個數(shù)列不等式能用數(shù)學(xué)歸納加以證明，則困難相對較??；在高考中具有挑戰(zhàn)性的有關(guān)數(shù)列不等式的問題通常只能選擇放縮法加以證明，在放縮中要注意以下幾種途徑和手段的應(yīng)用：其一是先求和（或先求積），再放縮；其二是先放縮，再求和（或再求積）；其三是注意以等差（或等比）數(shù)列為放縮的目標；其四是注意利用基本不等式進行放縮.當然在放縮中還得注意放縮的“度”的把握，若發(fā)現(xiàn)放得過大（或縮得太?。瑒t需及時進行調(diào)整和修改，由于通常情況下，放縮的誤差往往是由大到小，故首先可試一試，把放縮開始的項做適當?shù)暮笠?；若還不成功，則必修改、糾正各項放縮的偏差了.

3 數(shù)列與解析幾何

（ ）必做1 如圖1，已知曲線C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取線段OQ的中點A1，過A1作x軸的垂線交曲線C于P1，過P1作y軸的垂線交RQ于B1，記a1為矩形A1P1B1Q的面積. 分別取線段OA1，P1B1的中點A2，A3，過A2，A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2，P3，過P2，P3分別作y軸的垂線交A1P1，RB1于B2，B3，記a2為兩個矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推，記an為2n-1個矩形面積之和，從而得數(shù)列{an}，設(shè)這個數(shù)列的前n項和為Sn.

（1）求a1，a2與an； 搖 搖 搖

（2）求Sn，并證明Sn< .

破解思路 （1）若記：得到寬為 的21-1個矩形的作圖為第1次操作，得到寬為 的22-1個矩形的作圖為第2次操作，以此類推，得到寬為 的2n-1個矩形的作圖為第n次操作，則問題的關(guān)鍵即為如何求出這2n-1個矩形的長的總和，若能求出a2的值，則通過總結(jié)其運算規(guī)律并以此類推到第n次操作就不難求得an了.

（2）求出數(shù)列{an}的通項公式后，根據(jù)其通項公式的特點，選擇合理的方法先求出其前n項和，再做放縮即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 記x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，則x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作時，記x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，則xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 搖 - 搖 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 搖 .

因為對 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

極速突擊 由于本題的問題情景有點新意，乍一看好像有點“氣勢洶洶”，很有挑戰(zhàn)性，若能仔細審清題意，剝?nèi)栴}的“過度包裝”，其實是一個比較常規(guī)的數(shù)列問題. 事實上，本題的本質(zhì)是給出了一種用初等方法求由y=x2，x=1，x軸圍成的圖形的面積的一種方法.

（ ）必做2 在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1，l2，l3，…的直線簇，滿足條件：

①點P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），這里kn+1為直線ln+1的斜率，an，bn分別是直線ln在x軸和y軸上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），試證明你的結(jié)論.

破解思路 當kn確定時，直線ln也隨之確定，故an，bn也確定，即an，bn必可用kn表示，所以本題的本質(zhì)其實是一個遞推數(shù)列問題，因此首先要得到數(shù)列{kn}的遞推關(guān)系，再根據(jù)數(shù)列{kn}的遞推關(guān)系式，選擇合理的解決辦法.

精妙解法 設(shè)這樣的直線簇存在，由題意可知：直線ln的方程為y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或?qū)?坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 時，kn+1<0，得矛盾.

（ii）對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以當n>k 時，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 滿足條件的無窮多條直線l1，l2，l3，…組成的直線簇不存在.

極速突擊 （1）對于數(shù)學(xué)中的存在性問題，其解題對策是：不管它存在與否，一定要從“美好的愿望”出發(fā)，就當做它是存在的，去尋找和探索其真實性. 若存在，則可以找到它；若不存在，則其尋找的過程就可以說明不存在的理由.

（2）對于本題，當?shù)玫竭f推關(guān)系式kn+1-kn=- 后，若能把 放縮到某一個常數(shù)，即以等差數(shù)列作為放縮的目標，則問題就不難解決了.

金刊提醒

大多數(shù)有關(guān)數(shù)列與解析幾何的綜合問題，從試題的表面看好像是解析幾何問題，其實解析幾何往往只在試題的“包裝”中發(fā)揮作用，所以對于這類問題的關(guān)鍵是看清試題的本質(zhì)，把問題化歸為有關(guān)數(shù)列的基本問題，然后再設(shè)法解決之.

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證明數(shù)列不等式通常有以下兩種方法可供選擇：其一是用數(shù)學(xué)歸納法證明之；其二是用放縮法證明之.

由于數(shù)學(xué)歸納法證題的套路相對容易掌握，所以若一個數(shù)列不等式能用數(shù)學(xué)歸納加以證明，則困難相對較小；在高考中具有挑戰(zhàn)性的有關(guān)數(shù)列不等式的問題通常只能選擇放縮法加以證明，在放縮中要注意以下幾種途徑和手段的應(yīng)用：其一是先求和（或先求積），再放縮；其二是先放縮，再求和（或再求積）；其三是注意以等差（或等比）數(shù)列為放縮的目標；其四是注意利用基本不等式進行放縮.當然在放縮中還得注意放縮的“度”的把握，若發(fā)現(xiàn)放得過大（或縮得太小），則需及時進行調(diào)整和修改，由于通常情況下，放縮的誤差往往是由大到小，故首先可試一試，把放縮開始的項做適當?shù)暮笠?；若還不成功，則必修改、糾正各項放縮的偏差了.

3 數(shù)列與解析幾何

（ ）必做1 如圖1，已知曲線C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1），取線段OQ的中點A1，過A1作x軸的垂線交曲線C于P1，過P1作y軸的垂線交RQ于B1，記a1為矩形A1P1B1Q的面積. 分別取線段OA1，P1B1的中點A2，A3，過A2，A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2，P3，過P2，P3分別作y軸的垂線交A1P1，RB1于B2，B3，記a2為兩個矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推，記an為2n-1個矩形面積之和，從而得數(shù)列{an}，設(shè)這個數(shù)列的前n項和為Sn.

（1）求a1，a2與an； 搖 搖 搖

（2）求Sn，并證明Sn< .

破解思路 （1）若記：得到寬為 的21-1個矩形的作圖為第1次操作，得到寬為 的22-1個矩形的作圖為第2次操作，以此類推，得到寬為 的2n-1個矩形的作圖為第n次操作，則問題的關(guān)鍵即為如何求出這2n-1個矩形的長的總和，若能求出a2的值，則通過總結(jié)其運算規(guī)律并以此類推到第n次操作就不難求得an了.

（2）求出數(shù)列{an}的通項公式后，根據(jù)其通項公式的特點，選擇合理的方法先求出其前n項和，再做放縮即可.

精妙解法 （1）易得P1 ， ，a1= × = . 記x0=0，x1= ，x2= ，x3= ，則x3-x2=x1-x0= ，a2= （x -x +x -x ）= （x0+x1+x2+x3）= .

第n次操作時，記x0= ，x = ，x2= ，x3= ，…，x = ，x =1，則xi+1-xi= （i=0，1，2，3，…，2n-1），an= ·[（x -x ）+（x -x ）+…+（x -x ）]= （x0+x1+x2+x3+…+x +x ）= [1+2+3+…+（2n-2）+（2n-1）]= = - .

（2）由（1），Sn= ai= 搖 - 搖 = - = - = ×1- - ×1- = - · - n 搖 .

因為對 坌n∈N 鄢有 · - n>0成立，所以Sn= - - n < 成立.

極速突擊 由于本題的問題情景有點新意，乍一看好像有點“氣勢洶洶”，很有挑戰(zhàn)性，若能仔細審清題意，剝?nèi)栴}的“過度包裝”，其實是一個比較常規(guī)的數(shù)列問題. 事實上，本題的本質(zhì)是給出了一種用初等方法求由y=x2，x=1，x軸圍成的圖形的面積的一種方法.

（ ）必做2 在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1，l2，l3，…的直線簇，滿足條件：

①點P（1，1）∈ln（n=1，2，3…）；

②kn+1=an-bn（n=1，2，3…），這里kn+1為直線ln+1的斜率，an，bn分別是直線ln在x軸和y軸上的截距；

③knkn+1>0（n=1，2，3…），試證明你的結(jié)論.

破解思路 當kn確定時，直線ln也隨之確定，故an，bn也確定，即an，bn必可用kn表示，所以本題的本質(zhì)其實是一個遞推數(shù)列問題，因此首先要得到數(shù)列{kn}的遞推關(guān)系，再根據(jù)數(shù)列{kn}的遞推關(guān)系式，選擇合理的解決辦法.

精妙解法 設(shè)這樣的直線簇存在，由題意可知：直線ln的方程為y-1=kn（x-1）.

令y=0，得an=x=1- ；令x=0，得bn=y=1-kn，所以kn+1=an-bn=kn- .

由于 坌n∈N 鄢有knkn+1>0恒成立，所以對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立，或?qū)?坌n∈N 鄢有kn<0恒成立.

（i）對 坌n∈N 鄢有kn>0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- <0恒成立，所以k1>k2>…>kn>kn+1>0.

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1-k 時，kn+1<0，得矛盾.

（ii）對 坌n∈N 鄢有kn<0恒成立時，

即對 坌n∈N 鄢，有kn+1-kn=- >0恒成立，所以k1

由ki+1-ki=- 可得 （ki+1-ki）= - ，即kn+1-k1=- ，

所以kn+1=k1- >k1- = ，所以當n>k 時，kn+1>0，得矛盾.

由（i）（ii）可知， 滿足條件的無窮多條直線l1，l2，l3，…組成的直線簇不存在.

極速突擊 （1）對于數(shù)學(xué)中的存在性問題，其解題對策是：不管它存在與否，一定要從“美好的愿望”出發(fā)，就當做它是存在的，去尋找和探索其真實性. 若存在，則可以找到它；若不存在，則其尋找的過程就可以說明不存在的理由.

（2）對于本題，當?shù)玫竭f推關(guān)系式kn+1-kn=- 后，若能把 放縮到某一個常數(shù)，即以等差數(shù)列作為放縮的目標，則問題就不難解決了.

金刊提醒

大多數(shù)有關(guān)數(shù)列與解析幾何的綜合問題，從試題的表面看好像是解析幾何問題，其實解析幾何往往只在試題的“包裝”中發(fā)揮作用，所以對于這類問題的關(guān)鍵是看清試題的本質(zhì)，把問題化歸為有關(guān)數(shù)列的基本問題，然后再設(shè)法解決之.