韓長軍

（遼東學(xué)院 信息技術(shù)學(xué)院，遼寧 丹東118003）

有限元方法(FEM, Finite Element Method)于本世紀(jì)60年代被提出，廣泛應(yīng)用于磁場仿真計算。由于經(jīng)典電磁場理論過于復(fù)雜，人們通過研究提出許多新的方法，其中最常用的是有限元方法，該方法是把求解域看作有許多小的在節(jié)點處連接的子域構(gòu)成，其模型給出基本方程的近似解。有限元軟件是基于有限元計算方法，運用計算機軟件的形式把有限元方法表現(xiàn)出來，這樣既減少了計算時間，也節(jié)省了人力。對電磁場進行分析的有限元軟件很多，比較有影響力的有：美國Swanson Analysis System的ANSYS有限元產(chǎn)品；美國MacNeal Schwendlert Corp.MSC/EMS軟件；加拿大Integrated Engineering Software Inc.的系列產(chǎn)品以及美國 Ansoft corp.的 Maxwell軟件等，其中以ANSYS的使用者最多。ANSYS的分析領(lǐng)域很廣泛，主要包括力學(xué)分析、熱與溫度場分析、耦合場分析、電磁場分析等[1]。

在麥克斯韋方程組提出以后，電磁場理論已經(jīng)相當(dāng)完美，人們根據(jù)這一方程組把電磁場理論的應(yīng)用可謂發(fā)揮到及至。麥克斯韋方程組完整而充分地反映電磁場的客觀運動規(guī)律，使其成為求解電磁場問題的基本依據(jù)[2]。當(dāng)導(dǎo)體垂直切割勻強磁場的磁感線時，其兩端會產(chǎn)生電動勢；當(dāng)磁體穿過閉合線圈時，線圈中會產(chǎn)生電流，并且電流所產(chǎn)生的磁場將阻礙磁鐵的運動；旋轉(zhuǎn)磁極式發(fā)電機發(fā)電，也是根據(jù)切割原理在線圈中產(chǎn)生電動勢；還有現(xiàn)在的流體發(fā)電，也是利用流體在流過磁場過程中會切割磁感線產(chǎn)生電動勢[3-5]。所有這些都是由于導(dǎo)體與磁體發(fā)生了相對運動，從而在導(dǎo)體中激發(fā)出電動勢。那么假如在這些情況下撤去導(dǎo)體，即磁體相對周圍空間發(fā)生相對運動，則在它的周圍電磁場又是如何？從理論上來說，運動的磁鐵必然引起周圍磁場的變化，這樣也就會激發(fā)出電場[6-7]，但這種電磁場如何分布、是否會像通常的時變場一樣形成電磁波動，即是否以電磁波的形式向遠處傳播，這正是本文所研究的課題。

本文在麥克斯韋方程組的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出應(yīng)用于運動磁體電磁場的理論模型，并利用有限元ANSYS軟件，對磁體電磁場進行仿真計算，并對結(jié)果進行了詳盡的分析。

1 理論

1.1 麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組是麥克斯韋對安培環(huán)路定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、磁通量連續(xù)定律和高斯通量定理的總結(jié)、修正和推廣，這一定律使得電磁理論得到了完善，并成為時變電磁場理論的基礎(chǔ)[8]。

麥克斯韋方程組微分形式為[9]：

由式(1)可以看出時變電場是有散有旋的，因此電力線可以是閉合的，也可以是不閉合的，閉合的電力線和磁力線相互鉸鏈，不閉合的電力線從正電荷出發(fā)，終止于負電荷；而時變磁場是散有旋的，因此磁力線必須是閉合的，閉合的磁力線與電流相鉸鏈。

由式(2)可以看出，在這種情況下，時變電場和時變磁場都是有旋無散的，電力線和磁力線是相互鉸鏈、自行閉合的，即變化的電場會激發(fā)出變化的磁場，變化的磁場也會激發(fā)出變化的電場，因此在時變場中，這種不斷的相互激發(fā)，使得它們互相轉(zhuǎn)化，并在自由空間中將這種轉(zhuǎn)化向遠處傳播，形成電磁波動。

1.2 運動磁體理論模型推導(dǎo)

假使磁鐵為圓柱形，使運動磁鐵周圍的電磁場用靜止的磁鐵周圍的電磁場表示，設(shè)一坐標(biāo)系為 K坐標(biāo)系，并設(shè)另一坐標(biāo)系 K'系，它相對磁鐵靜止，即該系以速度v向+Z方向運動，為分析方便，以下使用柱形坐標(biāo)進行計算。

將式(3)和式(4)代入麥克斯韋方程組式(2)，可以得到：

同樣將式(9)和式(10)代入麥克斯韋方程組中，得出類似于K系中在K’系中的式子，即

把 k系中的時間和空間變量用 k’系中的時間和空間變量表示。根據(jù)洛倫茲變換：

對式(15)分別對 r，?，z，t求偏導(dǎo)數(shù)，將原 K系中各式與 K’系中的對應(yīng)方程各個對應(yīng)項相等，經(jīng)整理歸納，最終可以得到：

將式(16)中的v用-v代替，可以得到相應(yīng)的反向變換關(guān)系式。

由于磁鐵相對K’系靜止，所以磁鐵在K’系中的電磁場分布即為靜態(tài)磁鐵的電磁場分布，靜態(tài)磁鐵周圍磁場分布是固定的，并不發(fā)生變化，所以其周圍并不會產(chǎn)生電場，因此運動磁鐵在 K’系中電場為零，即：E'= 0，E'= 0，E '= 0。在k’系中，在r'?'z'方向上的值為零，即B?''= 0。將這些條件代入式(16)，可以得到運動的磁鐵的周圍的電磁場的分布，即

由推導(dǎo)我們還可知磁鐵周圍的電磁場分布，并不是以相互激發(fā)的形式存在，某一點的磁場僅僅隨相對磁鐵的位置的變化而發(fā)生變化，在該點激發(fā)出電場，這種變化并不是其周圍電磁場變化的原因，因為其周圍電磁場的變化也是僅僅隨它們各自相對磁鐵的位置的變化而發(fā)生變化，所以勻速運動的磁鐵不會產(chǎn)生電磁波向外輻射。

2 仿真實驗與結(jié)果分析

2.1 實驗?zāi)Ｐ徒?/h3>

由于磁鐵具有嚴(yán)格的對稱性，所以可以用二維進行仿真，并且只在第一象限即可。設(shè)空氣的相對磁導(dǎo)率為1，磁體的相對磁導(dǎo)率為非線性，為10000設(shè)；設(shè)置空氣和磁鐵的單元類型，然后創(chuàng)建模型形狀，如圖1(a)所示；進行網(wǎng)格劃分，如圖1(b)所示。然后進行界面限制和加載，最后對磁場進行計算和后處理[12]。

圖1 磁體模型

2.2 實驗結(jié)果與分析

任取兩橫向節(jié)點間的磁通密度，曲線圖如圖4(a)所示，圖4(b)為兩節(jié)點之間的連線間各節(jié)點在x方向上的磁通密度變化曲線，圖4(c)為兩節(jié)點之間的連線間各節(jié)點在y方向上的磁通密度變化曲線。

從圖4中可以看出，所取的路徑兩點的為橫向路徑，且磁通密度為越來越偏離磁體，則無論x方向還是y方向的磁通密度值都越來越小，最后接近于零。對于x方向來說，開始值會有小的增加，但隨后則呈現(xiàn)遞減趨勢，且正負方向有所改變。這是由磁力線的疏密程度所決定的。

建立另一條豎直路線，如圖5所示。從圖5中可以看出，x方向的磁通密度呈現(xiàn)遞減趨勢，而對于y方向的磁通密度來說，首先逐漸增長，增長到一定程度呈現(xiàn)遞減趨勢，且遞減的程度沒有橫向路徑大，這是因為，所取的豎直路徑的兩點，隨之y方向坐標(biāo)值的增加，越來越靠近磁感應(yīng)線密集區(qū)域，所以y方向磁通密度越來越大，當(dāng)路徑超過磁力線范圍時，沒有磁力線，或者相當(dāng)少，則y方向的磁通值減少，接近于零。

根據(jù)式(18)磁感應(yīng)強度和電場強度的關(guān)系式，在圖3(a)和圖4(a)兩條線上的電場強度的大小變化曲線分別與圖3(b)和圖4(b)變化趨勢一樣。

圖2 磁力線分布

圖3 各節(jié)點和單元的磁通密度分布

圖4 任意橫向兩點磁通密度圖

圖5 任意豎直兩點磁通密度圖

3 結(jié)論

通過對運動磁體周圍磁場的推導(dǎo)計算，可以得到其理論模型，這有助于引導(dǎo)人們更好的熟知運動磁體磁場分布，便于更深入的研究。而本文借助于有限元方法對磁體周圍磁場進行仿真，這樣不僅可以驗證所推導(dǎo)理論模型的正確性，可以用一種新型的有限元方法對磁體周圍磁場進行計算，對于今后還可以繼續(xù)進行更細致的推導(dǎo)驗證和更復(fù)雜的計算[13-14]。

通過推導(dǎo)和仿真，可以對知識更深入延伸，若在磁鐵的正上方或正下方放一線圈，就會產(chǎn)生順時針或逆時針方向環(huán)形電流。因為正是磁鐵激發(fā)了一定形式的電場，在這種電場的驅(qū)動下，線圈中的自由電子就會沿順時針或逆時針方向運動，所以會產(chǎn)生環(huán)形電流。勻速運動的磁鐵雖然可以激發(fā)電場，但并不會產(chǎn)生電磁波向外輻射。因為電磁波的產(chǎn)生，是由于變化的電場周圍激發(fā)變化的磁場，這種激發(fā)的磁場又會在其周圍激發(fā)變化的電場，正是這種相互激發(fā)方式使能量向遠處傳播，因為這種能量是以電磁場的形式傳播的。

[1]商躍進. 有限元原理與ANSYS應(yīng)用指南[M]. 北京: 清華人民出版社, 2005: 172.

[2]唐建群, 劉啟華. 電磁學(xué)與電信技術(shù)發(fā)展簡述[J]. 南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 2006(2): 145.

[3]賈起民, 鄭永令, 陳暨耀. 電磁學(xué): 第二版[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 265.

[4]徐游. 電磁學(xué): 第二版[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004:78.

[5]馮恩信. 電磁場與波[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社,2000: 2-5.

[6]程守洙, 江之水. 普通物理學(xué) 1: 第五版[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997: 189.

[7]程守洙, 江之水. 普通物理學(xué) 2: 第五版[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997: 159.

[8]馬冰然. 電磁場與微波技術(shù): 第二版[M]. 廣州: 華南理工大學(xué)出版社, 2000: 312.

[9]施偌谷. 麥克斯韋與電磁場理論的建立[J]. 漳州師范學(xué)院學(xué)報, 2000(3): 116.

[10]QIU Yao feng, CAO Yi, LI Zheng fan. Solving electromagnetism differential equations based on random walk [J].Journal of Shanghai Jiaotong University, 2004(3): 136.

[11]CHAN C T, LI Jensen, FUNG K H. On extending the concept of double negativity to acoustic waves [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University: Science, 2004(3): 50-54.

[12]雷銀照. 關(guān)于電磁場數(shù)值分析的若干認識[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 1997(6): 168.

[13]張樂樂, 譚南林, 焦風(fēng)川. ANSYS輔助分析應(yīng)用基礎(chǔ)教程[M]. 清華大學(xué)出版社北京交通大學(xué)出版社, 2006: 213.

[14]唐興倫, 范群波, 張朝暉, 等. ANSYS工程應(yīng)用教程——熱與電磁學(xué)篇[M]. 中國鐵道出版社, 2003: 236.