左春愿，馮 新，周 晶

(大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024)

機(jī)電阻抗(EMI)技術(shù)是近年來(lái)出現(xiàn)的一種智能結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)，其基本原理是:結(jié)構(gòu)固有屬性的改變引起結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗變化，通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗的監(jiān)測(cè)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)固有屬性改變的探測(cè)。然而，結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗往往難以直接獲得。EMI技術(shù)利用壓電材料的機(jī)電耦合效應(yīng)，給埋入或粘貼于結(jié)構(gòu)上的壓電陶瓷(PZT)施加高頻激勵(lì)，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生高頻局部機(jī)械振動(dòng)，這一振動(dòng)通過(guò)壓電效應(yīng)在PZT內(nèi)產(chǎn)生電信號(hào)，然后通過(guò)測(cè)量分析PZT與結(jié)構(gòu)耦合電阻抗來(lái)獲得結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗，實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)固有屬性的分析研究。EMI技術(shù)因?qū)Y(jié)構(gòu)微小變化敏感、可隔離環(huán)境或遠(yuǎn)程荷載、成本低等特點(diǎn)在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和損傷探測(cè)中得到了越來(lái)越多的關(guān)注［1］。近年來(lái)，該技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各種類型結(jié)構(gòu)的在線監(jiān)測(cè)。Park等［2］利用EMI技術(shù)監(jiān)測(cè)到砌體構(gòu)件中的初始裂縫。Park等［3］采用EMI技術(shù)對(duì)管道結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別。Soh等［4］運(yùn)用EMI技術(shù)對(duì)一個(gè)鋼筋混凝土橋梁進(jìn)行監(jiān)測(cè)，驗(yàn)證了EMI技術(shù)能夠監(jiān)測(cè)混凝土結(jié)構(gòu)中初始損傷及損傷的發(fā)展情況。

PZT傳感元件與結(jié)構(gòu)間的相互作用，是實(shí)現(xiàn)機(jī)電阻抗測(cè)量的基礎(chǔ)，也是傳感器設(shè)計(jì)以及測(cè)量信號(hào)分析的關(guān)鍵，因此PZT－結(jié)構(gòu)的相互作用分析模型研究具有重要意義。目前，對(duì)智能結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的方法主要有三種，分別為靜力等效法、動(dòng)力有限元法以及阻抗建模法。靜力等效法假定PZT與基體結(jié)構(gòu)之間的相互作用是位于PZT端部的集中力，其與激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)。通過(guò)PZT與結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)方程和靜力平衡方程求解該力，然后用該力求解結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力響應(yīng)。對(duì)于PZT質(zhì)量與剛度敏感的結(jié)構(gòu)而言，該方法不能求得可靠的結(jié)果［5］。動(dòng)力有限元法是數(shù)值求解中應(yīng)用較為廣泛的一種，是結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的有效手段。但是其存在不足之處，例如，沒(méi)有反映PZT與結(jié)構(gòu)相互作用的物理本質(zhì);為了滿足收斂性，在PZT周圍需要很精細(xì)的網(wǎng)格劃分，導(dǎo)致計(jì)算效率較低［5］。

阻抗模型分析法是PZT與結(jié)構(gòu)相互作用分析研究中一類重要的方法，它具有物理意義明確、可獲得分析解答、計(jì)算效率高等特點(diǎn)，而成為當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)之一。阻抗模型分析法的基本原理為:PZT與基體結(jié)構(gòu)相互作用是由PZT動(dòng)態(tài)輸出特性Za(PZT的機(jī)械阻抗)與結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性Zs(結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗)決定的，其反映出PZT與基體結(jié)構(gòu)相互作用的物理本質(zhì)［5］。Liang等［6－7］首先從理論上建立了PZT與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)構(gòu)成的單自由度彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)(SMD)模型，推導(dǎo)出PZT與一維SMD系統(tǒng)的耦合電導(dǎo)納表達(dá)式，分析了結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗的變化對(duì)耦合電導(dǎo)納的影響，并以懸臂梁為例進(jìn)行了驗(yàn)證。Zhou等［8］在PZT與一維SMD系統(tǒng)阻抗模型基礎(chǔ)上，建立了二維PZT與基體結(jié)構(gòu)耦合的阻抗模型，得到了相應(yīng)的耦合電導(dǎo)納表達(dá)式。Bhalla等［9－11］將 PZT 看作是無(wú)限小的，可忽略質(zhì)量和剛度的有效驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，有效驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的阻抗稱為等效機(jī)械阻抗。等效機(jī)械阻抗的引入，簡(jiǎn)化了PZT與基體結(jié)構(gòu)的相互作用模型，并以此推導(dǎo)出了耦合電導(dǎo)納表達(dá)式。隨后利用該方法對(duì)一個(gè)航空結(jié)構(gòu)構(gòu)件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行了損傷診斷，證實(shí)了該方法的有效性。

對(duì)于大型混凝土結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部情況復(fù)雜卻無(wú)法得知。因此，通過(guò)埋入混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部的PZT傳感器來(lái)反映混凝土結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，達(dá)到對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部變化的監(jiān)測(cè)。由于一維與二維模型忽略了PZT縱向振動(dòng)對(duì)相互作用的影響，不符合埋入型PZT傳感器的振動(dòng)模態(tài)，因此建立三維PZT與結(jié)構(gòu)耦合分析模型具有重要意義。Annamdas等［12－13］在同時(shí)考慮 PZT的縱向振動(dòng)和橫向振動(dòng)基礎(chǔ)上，建立了三維機(jī)電阻抗模型，并分析得到了總電導(dǎo)納方程。但是，所得到的方程式很復(fù)雜，無(wú)法明確體現(xiàn)PZT機(jī)械阻抗及結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗對(duì)耦合電導(dǎo)納的影響，不便于實(shí)際應(yīng)用，且在研究過(guò)程中忽略了壓電材料的各向異性。因此，本文在考慮壓電材料各向異性的基礎(chǔ)上，利用等效機(jī)械阻抗原理，建立了一種PZT傳感器與結(jié)構(gòu)相互作用的三維等效機(jī)電阻抗模型，推導(dǎo)出三維PZT驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的耦合電導(dǎo)納方程，這一方程明確體現(xiàn)了PZT等效機(jī)械阻抗Za，eff與結(jié)構(gòu)等效機(jī)械阻抗Zs，eff對(duì)耦合電導(dǎo)納的貢獻(xiàn)。由此耦合電導(dǎo)納方程，得到自由PZT電導(dǎo)納理論值，并進(jìn)行了自由狀態(tài)PZT的分析驗(yàn)證。

1 結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗

一個(gè)穩(wěn)定的線性振動(dòng)系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧交變力F(t)作用下所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x(t)(位移、速度或加速度)，必定是同頻率的諧振動(dòng)。但一般來(lái)說(shuō)，響應(yīng)總要滯后于激勵(lì)。結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗定義為簡(jiǎn)諧激勵(lì)與其所引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是復(fù)數(shù)比，其倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納［14］。

按照機(jī)電比擬，機(jī)械量(力和速度)與電量(電壓和電流)可以相比擬，則一般所說(shuō)的機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納，指的是速度阻抗和速度導(dǎo)納，即結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)以速度形式來(lái)表示。

假設(shè)結(jié)構(gòu)所受到的激振力為:

式中，F(xiàn)o為激振力的幅值，ω為激振力的圓頻率。由此產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:

式中，u·o速度響應(yīng)的振幅，φ為速度響應(yīng)的初相角。則該結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗Z，可以表示為:

式中，機(jī)械阻抗幅值為|Z|=Fo/u·o，相位角為 φ。

圖1 圓形PZT片幾何圖Fig.1 The geometry of the circular PZT patch

2 三維等效機(jī)電阻抗模型

在已有的機(jī)電阻抗模型分析中，一般假定PZT的振動(dòng)是一維或二維的，對(duì) PZT厚度有很大限制，并且忽略了縱向振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響。因此，更準(zhǔn)確的三維機(jī)電阻抗模型的建立具有重要意義。

2.1 圓形PZT片的基本方程

圖1所示為一圓形片狀壓電陶瓷，R、2h分別為其徑向半徑和軸向高度，極化方向沿其高度即Z軸方向，電極面垂直Z軸。在研究中，圓形PZT的幾何尺寸不加任何限制，關(guān)注徑向振動(dòng)模式與縱向振動(dòng)模式的耦合振動(dòng)。考慮壓電材料的各向異性，存在以下關(guān)系式圓形PZT在柱面坐標(biāo)中的壓電方程為［15－16］:

式中，λ =1 －ν12－ν13+n(ν33－2ν13)。

求解PZT運(yùn)動(dòng)方程，可以得到PZT徑向位移為:

同理，可以得到PZT縱向位移為:

對(duì)于有限尺寸壓電陶瓷圓片的耦合振動(dòng)，在多模振動(dòng)以及自由邊界條件下，可得其厚度及徑向的耦合振動(dòng)頻率方程為［19］:

式中，R(j)為式(9)的根，它是 ν12的函數(shù);i，j是正整數(shù)，對(duì)應(yīng)PZT的各次振動(dòng)模式。將波數(shù)κ1，κ2代入式(10)、(11)可以得到

根據(jù)式(12)、(13)可以消去與頻率相關(guān)項(xiàng)ω2，并結(jié)合 λ =1－ν12－ν13+n(ν33－2ν13)得到機(jī)械耦合系數(shù)n的方程式:

2.2 等效機(jī)械阻抗的定義

傳統(tǒng)阻抗模型將PZT與基體結(jié)構(gòu)之間的連接看作一個(gè)特殊點(diǎn)，這一特殊點(diǎn)就是PZT的端點(diǎn)。然而，實(shí)際中PZT與基體結(jié)構(gòu)的相互作用并不局限于該點(diǎn)上，而是遍布在PZT表面上?？紤]到這一點(diǎn)，Bhalla等［10］提出了等效機(jī)械阻抗概念，即將PZT看作是無(wú)限小的，可忽略質(zhì)量和剛度的有效驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，有效驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的阻抗稱為等效機(jī)械阻抗。并將其應(yīng)用于分析二維等效阻抗模型。將其進(jìn)行進(jìn)一步擴(kuò)展，可以得到三維等效阻抗模型。

圖2 埋入未知結(jié)構(gòu)的PZT片的示意圖Fig.2 Host structure with embedded PZT patch

將有限大小的圓形PZT埋入基體結(jié)構(gòu)中，如圖2所示。給PZT一個(gè)空間均勻的電場(chǎng)激勵(lì)，則PZT產(chǎn)生簡(jiǎn)諧振動(dòng)。PZT的半徑為R，厚度為2 h。PZT與結(jié)構(gòu)之間的相互作用表現(xiàn)為邊界面上每平方f的牽引力，平面力在PZT中產(chǎn)生了位移。假定PZT與主體結(jié)構(gòu)之間的相互作用力是沿整個(gè)邊界面?zhèn)鬟f的，同時(shí)PZT與主體結(jié)構(gòu)相比是無(wú)限小的圓片，可以忽略其質(zhì)量和剛度，可以得到有效驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的機(jī)械阻抗為:

2.3 基于等效阻抗的耦合電導(dǎo)納方程

埋入結(jié)構(gòu)中PZT圓片受力情況如圖3所示，其半徑及厚度分別為R和2 h，上下端面涂滿電極，沿著其厚度方向極化，電場(chǎng)沿厚度方向施加。極化方向與所加電場(chǎng)的方向平行，那么，PZT的振動(dòng)主要為伸縮振動(dòng)，可以忽略剪切振動(dòng)。得到PZT的速度和應(yīng)變的關(guān)系為:

圖3 埋入型PZT圓片受力情況Fig.3 Force situation of embedded circular PZT patch

上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可以得到PZT片的等效速度表達(dá)式為:

由于PZT處于多維耦合振動(dòng)狀態(tài)，那么在任何瞬間，PZT在徑向膨脹的同時(shí)在Z軸方向是收縮的。反之，其在徑向收縮那么在Z軸方向膨脹。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假定存在以下關(guān)系:

將式(6)，(7)代入式(22)可以得到以下關(guān)系式:

通過(guò)式(15)可以計(jì)算得到PZT的等效機(jī)械阻抗為:

主體結(jié)構(gòu)有效驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的等效力F可以通過(guò)下式表示:

式中，負(fù)號(hào)表示積極等效位移在PZT上產(chǎn)生了壓力。將式(16)，(17)，(18)，(19)以及 Ez=(Vo/2h)ejωt代入上式可以得到:

瞬時(shí)電流可以表示為通過(guò)某一截面的電量Q(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，則可以表示為:

將式(4)，(5)，(26)代入上式，并進(jìn)行積分，r方向積分范圍為0到R，θ方向積分范圍為0到2π，電導(dǎo)納由電流與電壓的比值表示為:

這一方程明確體現(xiàn)了PZT等效機(jī)械阻抗Za，eff與結(jié)構(gòu)等效機(jī)械阻抗Zs，eff對(duì)耦合電導(dǎo)納的影響。因此，由式(28)可以推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)等效機(jī)械阻抗Zs，eff，這使得從所測(cè)得的耦合電導(dǎo)納中提取結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗成為可能。PZT與基體結(jié)構(gòu)所組成的耦合結(jié)構(gòu)體系中，PZT材料參數(shù)不變，則 Za，eff不變。那么基體結(jié)構(gòu)等效機(jī)械阻抗Zs，eff的變化直接引起耦合電導(dǎo)納的變化。反之，耦合電導(dǎo)納的變化反映出基體結(jié)構(gòu)的固有屬性發(fā)生了改變。

3 自由PZT電導(dǎo)納分析

前文基于等效阻抗的概念，得到了圓形PZT與結(jié)構(gòu)耦合的電導(dǎo)納方程式。由式(28)可知，實(shí)測(cè)的耦合電導(dǎo)納包含了結(jié)構(gòu)等效機(jī)械阻抗和PZT等效機(jī)械阻抗的貢獻(xiàn)。當(dāng)已知PZT的幾何尺寸和基本參數(shù)時(shí)，耦合電導(dǎo)納只依賴于結(jié)構(gòu)等效機(jī)械阻抗和PZT等效機(jī)械阻抗，因此PZT等效機(jī)械阻抗的精度直接影響結(jié)構(gòu)等效機(jī)械阻抗的估計(jì)精度。但PZT等效機(jī)械阻抗無(wú)法通過(guò)實(shí)際測(cè)量得到，只能在已知PZT的幾何尺寸和材料參數(shù)情況下，通過(guò)式(24)進(jìn)行計(jì)算。為精確地估計(jì)PZT的等效機(jī)械阻抗，PZT基本參數(shù)的精度是需要驗(yàn)證的。

表1 PZT的基本參數(shù)Tab.1 Properties of PZT patch

已知PZT的基本參數(shù)，通過(guò)式(31)可以計(jì)算得到自由狀態(tài)下PZT的電導(dǎo)Gf和電納Bf。文中所采用的圓片狀PZT直徑為20 mm，厚度為2 mm，基本參數(shù)如表1所示。根據(jù)式(31)，可以得到頻率范圍為0－350 kHz時(shí)自由PZT電導(dǎo)曲線和電納曲線，如圖4所示。另外，自由PZT的電導(dǎo)納信號(hào)可以利用Agilent4294A精密阻抗分析儀來(lái)直接測(cè)得。圖4中所示的電導(dǎo)G與電納B即為實(shí)際測(cè)量的頻率范圍為0－350 kHz時(shí)自由PZT電導(dǎo)納信號(hào)。

圖4 自由PZT電導(dǎo)納信號(hào)實(shí)測(cè)值與理論值Fig.4 Comparison between experimental and theoretical signals of PZT patch in free－free condition

圖4 中描述的是，頻率范圍為0－350 kHz時(shí)自由PZT電導(dǎo)納信號(hào)實(shí)測(cè)值(G，B)與理論值(Gf，Bf)的對(duì)比。通過(guò)對(duì)比可以看出，自由PZT電導(dǎo)納理論值與實(shí)測(cè)值曲線形狀相似。理論上的共振頻率和實(shí)測(cè)值很接近，理論值大于實(shí)測(cè)值，第一個(gè)共振頻率點(diǎn)比第二個(gè)共振頻率點(diǎn)吻合性更好?？傮w來(lái)說(shuō)，自由PZT電導(dǎo)納理論分析值與實(shí)測(cè)值具有較好的一致性。研究發(fā)現(xiàn)理論值與實(shí)測(cè)值存在一定誤差。這說(shuō)明了受生產(chǎn)工藝以及PZT與導(dǎo)線焊接過(guò)程中高溫的影響，生產(chǎn)廠家提供的部分PZT參數(shù)并不可靠。因此，需要利用實(shí)測(cè)的耦合電導(dǎo)納信號(hào)，通過(guò)自由PZT電導(dǎo)納方程式，來(lái)計(jì)算出更精確的PZT相關(guān)參數(shù)值，并用計(jì)算的參數(shù)來(lái)估計(jì)PZT等效機(jī)械阻抗。最終，利用式(28)得到較為精確的結(jié)構(gòu)等效機(jī)械阻抗。

4 結(jié)論

本文第一部分首先基于PZT三維耦合振動(dòng)的原理，建立了埋入型PZT傳感器與結(jié)構(gòu)相互作用的三維等效機(jī)電阻抗模型。然后通過(guò)引入等效機(jī)械阻抗的概念，得到PZT與結(jié)構(gòu)耦合電導(dǎo)納方程，該方程描述了耦合電導(dǎo)納與結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗的關(guān)系。利用耦合電導(dǎo)納方程，得到自由PZT電導(dǎo)納理論值，并進(jìn)行了自由狀態(tài)PZT的分析驗(yàn)證。三維等效機(jī)電阻抗模型的提出，使PZT厚度不受限制，提高了試驗(yàn)的成功率;并且考慮PZT的多維耦合振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響，使分析更加貼近實(shí)際。同時(shí)，PZT不再局限粘貼于結(jié)構(gòu)表面，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的變化也能得到監(jiān)測(cè)，擴(kuò)大了EMI技術(shù)的使用范圍。本文第二部分提出應(yīng)用EMI技術(shù)監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)固有屬性的改進(jìn)方法。該方法通過(guò)耦合電導(dǎo)納方程，提取結(jié)構(gòu)機(jī)械導(dǎo)納。利用得到的結(jié)構(gòu)機(jī)械導(dǎo)納，來(lái)監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)固有屬性。

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