顏美玲

[摘 要] 平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而看似復(fù)雜的幾何圖形往往是由基本圖形組合得到的，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)重視對基本圖形的結(jié)論及其應(yīng)用的挖掘和探究.

[關(guān)鍵詞] 三角形；基本圖形

我們知道，復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組合而成的，若能從復(fù)雜的圖形中抽離出基本圖形，并將基本圖形的結(jié)論加以應(yīng)用，勢必能化繁為簡. 下面，我們來分析常見的圖形——“紙飛機(jī)”型的基本圖形，本文給出了關(guān)于角和邊的兩個(gè)結(jié)論，這兩個(gè)結(jié)論可以用來簡潔地解決有關(guān)競賽題，現(xiàn)舉例說明其應(yīng)用.

“紙飛機(jī)”型關(guān)于角的結(jié)論及

其應(yīng)用

結(jié)論1 如圖1所示，若四邊形ABCD是凹四邊形，則∠BCD=∠A+∠B+∠D.

證明方法很多，現(xiàn)給出其中的三種.

證法1 如圖2所示，延長BC交AD于點(diǎn)E，由三角形的外角性質(zhì)可知∠CED=∠A+∠B，∠BCD=∠CED+∠D，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D.

證法2 如圖3所示，作射線AC，由三角形的外角性質(zhì)可知∠1=∠BAC+∠B，∠2=∠DAC+∠D，所以∠BCD=∠BAD+∠B+∠D，結(jié)論成立.

證法3 如圖4所示，連結(jié)BD，在△ABD中，∠1+∠2=180°-∠ABC-∠ADC-∠A，在△BCD中， ∠BCD=180°-∠1-∠2，所以∠BCD=∠A+∠ABC+∠ADC，結(jié)論成立.

對于幾類復(fù)雜圖形的求角度問題，可通過識別或構(gòu)造滿足“紙飛機(jī)”型的圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形的角度和.

應(yīng)用1 識別“紙飛機(jī)”型，轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和問題

例1 如圖5 所示， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（ ）

A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°

分析 可發(fā)現(xiàn)“紙飛機(jī)”型圖形——凹四邊形AOCB，根據(jù)結(jié)論1可知∠AOC=∠A+∠B+∠C. 由三角形的內(nèi)角和為180°可知∠DOE+∠D+∠E=180°，而∠AOC=∠DOE，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故答案為A.

例2 如圖6所示， 試求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).

分析 圖5中，讓點(diǎn)B運(yùn)動，使得線段BC，AB與DE相交即可得到圖6，故“紙飛機(jī)”型圖形——凹四邊形AOCB依然存在， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E也是180°.

應(yīng)用2 識別“紙飛機(jī)”型，轉(zhuǎn)化為四邊形的內(nèi)角和問題

例3 如圖7所示， 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).

分析 可發(fā)現(xiàn)“紙飛機(jī)”型圖形——凹四邊形AOED，根據(jù)結(jié)論可知∠AOE=∠A+∠D+∠E，而∠AOE=∠BOF，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOF+∠B+∠C+∠F. 又因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°.

以上例題均只需識別“紙飛機(jī)”型圖形即可，下面舉一些需要添加輔助線構(gòu)造“紙飛機(jī)”型圖形的問題.

應(yīng)用3 構(gòu)造“紙飛機(jī)”型求角度和

例4 如圖8所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).

分析 如圖9所示，連結(jié)CF，構(gòu)造“紙飛機(jī)”型圖形——凹四邊形DEFC，根據(jù)結(jié)論可知∠DCF=∠D+∠E+∠CFE，而∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠AFC=360°，所以∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠E+∠AFE=360°.

例5 如圖10所示，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù).

分析 如圖11所示，連結(jié)EG，構(gòu)造“紙飛機(jī)”型圖形——凹四邊形DEGO，根據(jù)結(jié)論可知∠DOG=∠5+∠DEG+∠OGE，而∠EGF+∠7+∠GEF=180°，∠AOC=∠DOG，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠AOC+∠EGF+∠7+∠GEF=360°+180°=540°.

注意 類似地，可連結(jié)AC構(gòu)造“紙飛機(jī)”型圖形進(jìn)行求解.

例6 （2003年全國初中數(shù)學(xué)競賽）如圖12所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G等于（ ）

A. 360° B. 450° C. 540° D. 720°

分析 解決此題的方法和例5類似，如添加輔助線CG構(gòu)造“紙飛機(jī)”型圖形，可求得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

應(yīng)用4 特殊“紙飛機(jī)”型圖形的求角度問題

例7 如圖13所示，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE與CF相交于點(diǎn)G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，求∠A的度數(shù).

分析 設(shè)∠ABE=x，∠ACF=y，則∠GBD=x，∠GCD=y. 在“紙飛機(jī)”型圖形——凹四邊形GBDC中，根據(jù)結(jié)論1可知∠BDC=x+y+∠BGC，所以x+y=40°. 在“紙飛機(jī)”型圖形——凹四邊形ABGC中，∠BGC=x+y+∠A，從而可得∠A=60°.

例8 （1997年上海市初中數(shù)學(xué)競賽）如圖14所示，E，D分別在△ABC中邊BA和CA的延長線上，CF，EF分別平分∠ACB和∠AED. 若∠B=70°，∠D=40°，則∠F=______.

分析 設(shè)∠ACF=x，∠BEF=y，則∠ACB=2x，∠BED=2y. 由外角性質(zhì)可知∠EAC=∠D+2y，∠EAC=∠B+2x，在“紙飛機(jī)”型圖形——凹四邊形EACF中，根據(jù)結(jié)論1可得∠EAC=∠F+∠ACF+∠FEB=∠F+x+y. 從而， ∠F=（∠B+∠D）=55°.

“紙飛機(jī)”型關(guān)于邊的結(jié)論及其

應(yīng)用

結(jié)論2 如圖15所示，若四邊形ABCD是凹四邊形，則AB+AD>BC+CD.

證明 如圖15所示，延長BC交AD于點(diǎn)E，在△ABE中，AB+AE>BC+CE①，在△DEC中，CE+ED>CD②. 由①②兩式可得AB+AE+ED>BC+CD，即AB+AD>BC+CD.

例9 如圖 16所示，O為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則AB+BC+AC>OA+OB+OC.

分析 由結(jié)論2可知AB+AC>BO+OC，AB+BC>AO+OC，AC+BC>AO+OB，上三式左右分別相加可得AB+BC+AC>OA+OB+OC.