王洪雪, 李新國, 王晨曦

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

0 引言

傳統(tǒng)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法是在滾動(dòng)為零的假設(shè)下,將飛行器的運(yùn)動(dòng)解耦為俯仰、轉(zhuǎn)彎兩個(gè)通道,然后在兩個(gè)通道上分別設(shè)計(jì)制導(dǎo)律,從而將三維制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二維制導(dǎo)問題[1]。但對(duì)于高超聲速滑翔飛行器,由于采用BTT控制方式,滾動(dòng)為零的假設(shè)不再成立,兩個(gè)通道之間存在強(qiáng)烈的耦合關(guān)系,雙通道解耦的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法不再適用。

文獻(xiàn)[1]利用李群方法獲得了非解耦的三維制導(dǎo)律,該制導(dǎo)律能夠滿足終端速度方向要求,但制導(dǎo)律形式比較復(fù)雜,涉及許多矢量和矩陣計(jì)算,不易于工程實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[2]結(jié)合微分幾何和李群方法的優(yōu)點(diǎn),設(shè)計(jì)了一種帶落角約束的新型三維制導(dǎo)律,但該制導(dǎo)律同樣包含矢量和李群運(yùn)算,在仿真平臺(tái)和彈載計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)有一定的難度。

最優(yōu)控制理論在解決非線性系統(tǒng)問題時(shí),直接求解哈密爾頓-貝爾曼-雅可比(HJB)方程十分困難。針對(duì)這種情況,文獻(xiàn)[3]提出了θ-D非線性次優(yōu)控制方法,該方法能夠克服上述困難,可以獲得HJB方程的近似閉環(huán)解,控制精度高,計(jì)算量小,已成功應(yīng)用于導(dǎo)彈六自由度非線性自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)[4]和導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)[5]。

本文基于θ-D方法,建立了飛行器-目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)方程,在不進(jìn)行通道解耦的條件下,通過重新定義狀態(tài)變量,設(shè)計(jì)了一種滿足落角約束的三維制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律制導(dǎo)精度高,計(jì)算量小,可實(shí)時(shí)生成制導(dǎo)指令,易于工程實(shí)現(xiàn)。

1 問題描述

飛行器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系及坐標(biāo)系如圖1所示。其中,Oxyz為慣性坐標(biāo)系;Oxtytzt為視線坐標(biāo)系;O,M分別為目標(biāo)和飛行器;r為目標(biāo)指向飛行器的視線矢量;ξ,ε分別為視線方位角和高低角。圖中規(guī)定ξ,ε,η符號(hào)為正;θ,ψV,φ,δψV符號(hào)為負(fù)。

圖1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系及坐標(biāo)系Fig.1 Relative motion and coordinate system

在視線坐標(biāo)系中,視線坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度為:

(1)

則:

(2)

由于d2r/dt2=a(a為飛行器的加速度矢量),則飛行器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為:

(3)

式中,axt,ayt,azt為飛行器加速度矢量在視線坐標(biāo)系中的投影。

飛行器的運(yùn)動(dòng)方程組為:

(4)

式中,γ為彈道傾角;ψV為彈道偏角;σ為傾側(cè)角;D為氣動(dòng)阻力;L為氣動(dòng)升力。

2 θ-D次優(yōu)控制方法

考慮如下非線性時(shí)變系統(tǒng):

(5)

取性能指標(biāo)函數(shù)為:

(6)

式中,x∈Rn;f∈Rn;B∈Rn×m;u∈Rm;B為常值矩陣;Q為n階半正定對(duì)角矩陣;R為m階正定對(duì)角矩陣;f(x)連續(xù)可微,且f(0)=0為平衡狀態(tài)。該無約束非線性調(diào)節(jié)器的最優(yōu)解可通過求解如下HJB偏微分方程得到:

(7)

式中,V(x)為性能指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值,即:

(8)

V(x)連續(xù)可微,且V(x) ≥ 0。最優(yōu)控制為:

u=-R-1BT?V/?x

(9)

由于該最優(yōu)控制中包含有?V/?x項(xiàng),需要求解HJB偏微分方程。然而,一般情況下求解HJB方程是非常困難的,這也限制了最優(yōu)控制理論在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。

在式(6)中引入擾動(dòng)項(xiàng),則指標(biāo)函數(shù)變?yōu)?

(10)

(11)

式中,A0為常數(shù)矩陣,且[A0,B]為穩(wěn)定對(duì)象,[A0+A(x),B]逐點(diǎn)可控。令λ=?V/?x,結(jié)合式(10),可將原HJB方程(7)整理為:

(12)

假設(shè)λ可表示為θ的冪級(jí)數(shù),即:

(13)

式中,Ti為待定矩陣。將式(13)代入式(12),并將θ的冪系數(shù)置為0,整理可得如下方程組:

(14)

(15)

…

(16)

其中:

(17)

式中,ki,li>0為可調(diào)參數(shù)(i=1,2,3,…,n)。θ-D次優(yōu)控制為:

u=-R-1BT?V/?x=-R-1BTλ

(18)

顯然,式(14)為代數(shù)黎卡提方程,從中很容易求得T0;式(15)和式(16)為關(guān)于Ti的線性李雅普諾夫方程,很容易求解,具體步驟參見文獻(xiàn)[5]。在求解式(18)的過程中,中間變量θ可由Ti與θi相乘消去。從控制量的求解過程中可以發(fā)現(xiàn),θ-D次優(yōu)控制方法可以獲得非線性系統(tǒng)的閉環(huán)控制,且計(jì)算量不大,可應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的實(shí)時(shí)次優(yōu)控制。

3 θ-D三維末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

結(jié)合式(5)、式(11),重新定義狀態(tài)變量,并將相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(3)整理成如下形式:

(19)

其中:

A(X)=

式中,A0為常值矩陣,可任意選取,本文取為初始點(diǎn)處A(X)的值。

經(jīng)簡單分析即可發(fā)現(xiàn),在飛行器接近目標(biāo)的過程中視線高低角ε逐漸趨近于彈道傾角的絕對(duì)值|γ|,且在目標(biāo)點(diǎn)附近,兩者近似相等。因此,可將對(duì)落角的約束轉(zhuǎn)換為對(duì)視線高低角的約束,即要求飛行器命中目標(biāo)時(shí),ε=-γf。這可以通過在θ-D控制算法中設(shè)置成目標(biāo)值來實(shí)現(xiàn),即:

(20)

一般情況下,擾動(dòng)項(xiàng)Tiθi只需計(jì)算前三項(xiàng)即可滿足制導(dǎo)精度的要求,則θ-D三維末制導(dǎo)律為:

U= -R-1BT(T0+T1θ+T2θ2)×

(21)

4 制導(dǎo)指令生成

本文飛行器采用BTT-180控制方式,制導(dǎo)指令為迎角α和傾側(cè)角σ。假設(shè)飛行器飛行過程中保持側(cè)滑角為零,控制系統(tǒng)理想工作。

由于所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律計(jì)算出的加速度指令是在視線坐標(biāo)系中,需要將該指令變換到彈道坐標(biāo)系中。視線坐標(biāo)系到彈道坐標(biāo)系的變換矩陣為:

(22)

則加速度指令在彈道坐標(biāo)系中為:

(23)

飛行器所受重力和氣動(dòng)力的合力在彈道坐標(biāo)系中的投影為:

(24)

則:

(25)

根據(jù)式(25)可得:

(26)

(27)

根據(jù)式(26),可得飛行器的升力系數(shù)CL=Lcom/(qSref),迎角指令αcom可根據(jù)CL在當(dāng)前高度和馬赫數(shù)下反插值求得。

由于飛行器傾側(cè)角的范圍為-180°～180°,需要對(duì)式(27)進(jìn)行變換以得到傾側(cè)角指令。令χ=ay2+gcosγ,有:

5 仿真結(jié)果及分析

本文以CAV-H為對(duì)象,迎角范圍為0°～20°,落角約束γf=-90°。仿真初始條件:飛行器初始位置(60,30,-80)km,V0=1600 m/s,γ0=-10°,ψV0=-137°,α0=10°,σ0=0°,目標(biāo)在坐標(biāo)系原點(diǎn),A0=A(X0)。狀態(tài)權(quán)重矩陣Q和控制權(quán)重矩陣R的選取對(duì)制導(dǎo)律的性能有很大的影響,本文按如下原則選取:在初始時(shí)刻,飛行器與目標(biāo)距離較遠(yuǎn),視線角變化較慢,對(duì)制導(dǎo)精度要求不高,狀態(tài)權(quán)重系數(shù)可以取小一些,以避免產(chǎn)生較大的控制量。當(dāng)飛行器接近目標(biāo)時(shí),為了獲得較高的制導(dǎo)精度,需要較大的權(quán)重系數(shù)。同時(shí),由于對(duì)飛行器終端速度大小和視線方位角沒有約束,相應(yīng)的狀態(tài)權(quán)重系數(shù)可以取得很小。相關(guān)參數(shù)選取如下:

Q=diag(2e4/r,1e-3,6.8e12/r,9.5e6/r,

1e-3,1.65e8/r)

R=diag(5e5,3e5,3e5)

l1=l2=10,k1=k2=0.9

仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。圖2和圖3分別為飛行器的三維彈道曲線和彈道傾角變化曲線?？梢钥闯?飛行器飛行彈道光滑平穩(wěn),經(jīng)82.05 s命中目標(biāo),著地點(diǎn)為(0.54,-0.44) km,彈道傾角收斂到-89.2°,能夠滿足制導(dǎo)精度的要求和落角約束。圖4和圖5分別為迎角變化曲線和傾側(cè)角變化曲線。從圖中可以看出,在18.6 s前,飛行器以最大迎角飛行,主要是為了使飛行器航向快速對(duì)準(zhǔn)目標(biāo);48.7 s后,飛行器迎角增大主要是為了下壓彈道,使彈道傾角收斂到期望落角,最后迎角迅速減小,收斂至2.8°,末端迎角較小。

圖2 三維彈道曲線Fig.2 3D trajectories

圖3 彈道傾角變化曲線Fig.3 Flight path angle curve

圖4 迎角變化曲線Fig.4 Angle of attack curve

圖5 傾側(cè)角變化曲線Fig.5 Bank angle curve

6 結(jié)束語

本文基于θ-D次優(yōu)控制方法,設(shè)計(jì)了一種滿足落角約束的三維末制導(dǎo)律。對(duì)于采用BTT控制方式的飛行器,該制導(dǎo)律不需要進(jìn)行通道解耦,是一種具有閉環(huán)形式的次優(yōu)制導(dǎo)律,控制精度高,計(jì)算量小,易于工程實(shí)現(xiàn)。仿真結(jié)果表明,本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能滿足制導(dǎo)精度要求和落角約束。同時(shí),本文對(duì)于存在強(qiáng)烈耦合作用的BTT飛行器的制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有一定的參考意義。需要說明的是,該制導(dǎo)律并沒有考慮目標(biāo)的機(jī)動(dòng)和隨機(jī)干擾因素的影響,其打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的能力和魯棒性有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

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