方 茹， 楊國俅， 王 勇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150001)

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.發(fā)散思維是創(chuàng)新思維的主要形式之一，而一題多解是發(fā)散思維的具體表現(xiàn)[1-3]. 通過一題多解，使學(xué)生從不同角度，不同側(cè)面，不同層次對問題進(jìn)行深入探究，開闊視野，加深對問題的理解，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì). 在解題過程中能夠培養(yǎng)學(xué)生的探索鉆研精神，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力. 本文作者給出一道高等數(shù)學(xué)題的九種解法，并把問題進(jìn)一步拓展，探究問題的本質(zhì).

例已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m). 當(dāng)m≤2時(shí), 證明f(x)>0.

證1當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時(shí), ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2),故只需證明當(dāng)m=2時(shí),f(x)=ex-ln(x+2)>0.

綜上，當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

當(dāng)m≤0,t≥0,t+m>0時(shí)，

當(dāng)0≤m≤2時(shí)，

綜上，當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

上面兩種證明方法都是通過證明f(x)的最小值大于0，進(jìn)而證得f(x)>0.

證3令x+m=t, 則f(x)=et-m-lnt，t∈(0,+∞).當(dāng)m≤2,f(x)≥et-2-lnt.

進(jìn)而，當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

證4由于f(x)=ex-ln(x+m)>0等價(jià)于e-m>e-(x+m)ln(x+m). 令t=x+m, 則等價(jià)于e-m>e-tlnt. 令g(t)=e-tlnt,t∈(0,+∞), 當(dāng)m≤2時(shí), 只需證g(t)=e-tlnt的最大值小于e-2即可.

當(dāng)t∈(0,1)時(shí),g(t)=e-tlnt<0

綜上所述，當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

證5由于f(x)=ex-ln(x+m)>0等價(jià)于eex>x+m. 當(dāng)x+m>0時(shí)，等價(jià)于eex-x>m. 考查函數(shù)g(x)=eex-x,x∈(-∞,+∞).由g′(x)=exeex-1，可知g′(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增且?x0使得g′(x0)=0.

當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

由于g′(x0)=ex0eex0-1=0,x0≠0, 得-x0=ex0.故g(x)的最小值為g(x0)=e-x0+ex0>2≥m. 從而，當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

證6欲證：當(dāng)m≤2時(shí),f(x)=ex-ln(x+m)>0, 我們先證

ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m).

令g(x)=ex-x-1,h(x)=x+1-ln(x+2), 則g′(x)=ex-1.g′(x)=ex-1=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0.

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)下降;

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)上升;

從而g(x)=ex-x-1≥g(0)=0, ex≥x+1且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=0.

當(dāng)x∈(-2,-1)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)下降;

當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)上升;

從而h(x)≥h(-1)=0,x+1≥ln(x+2)且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=-1.

因此當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時(shí), ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m)且等號不能同時(shí)成立, 所以，當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

證7欲證：當(dāng)m≤2時(shí),f(x)=ex-ln(x+m)>0, 我們先證ex≥x+1≥ln(x+m)不等式ex≥x+1成立的證明同證法6，下面證明x+1≥ln(x+m).

當(dāng)x∈(-m,1-m)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)下降;

當(dāng)x∈(1-m,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)上升;

從而h(x)≥h(1-m)=2-m≥0,x+1≥ln(x+m)且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=-1.因此當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時(shí), ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m)且等號成立時(shí)有x=0且x=-1, 所以當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

當(dāng)x∈(-∞,-ln2)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)下降;

當(dāng)x∈(-ln2,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)上升;

從而

當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)下降;

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)上升;

方法6至8是下面一般化方法的特例.

令g(x)=ex-ax-b,h(x)=ax+b-ln(x+2). 則g′(x)=ex-a,g′(x)=ex-a=0當(dāng)且僅當(dāng)x=lna.

當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)下降;

當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)上升;

從而

g(x)=ex-ax-b≥g(lna)=a-alna-b≥0, ex≥ax+b.

且等號不同時(shí)成立, 所以f(x)>0.

若令a=1, 則2a-lna-1=1≤b≤a-alna=1,即b=1, 從而當(dāng)m≤2時(shí)，

ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m),

且等號不同時(shí)成立. 所以f(x)>0.

ex≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m)，

所以f(x)>0.

從以上九種解法可以看出，證法1,2,3是思路常規(guī)的證法，比較容易想到；證法4,5利用等價(jià)變換法，等價(jià)不等式的選取具有靈活性，本方法可挖掘問題的本質(zhì)；證法6-8是構(gòu)造不等式法，不等式的構(gòu)造有難度；證法9是對證法6-8的方法總結(jié)，并升華成一類方法.

通過探討高等數(shù)學(xué)中常見的一題多解，分析了各種求解方法之間的差別與聯(lián)系，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度主動思考問題，尋找各種解題途徑，變定向思維為多向思維，挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 潘杰，蘇化明.一道考研數(shù)學(xué)試題的多種解法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，12(2)：62-64.

[2] 張宗達(dá). 工科數(shù)學(xué)分析(上冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[3] 吳良森. 數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(下冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2004.