丁 勇

(南京醫(yī)科大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)教研室，南京210029)

特殊的矩陣都有一些有趣的性質(zhì)，這些矩陣在不同場(chǎng)合被用來(lái)作為典型的例子進(jìn)行分析，說(shuō)明相關(guān)的問(wèn)題，例如范德蒙矩陣[1]，Hilbert矩陣[2]等.

本文發(fā)現(xiàn)了一個(gè)與組合數(shù)有關(guān)的對(duì)稱正定矩陣，該矩陣有一些有趣的性質(zhì)，下面進(jìn)行討論.

1 組合數(shù)矩陣

設(shè)j-1為非負(fù)整數(shù)，用aij表示和為j-1的i≥1個(gè)非負(fù)整數(shù)所有取值的組合數(shù)，例如a33=6表示和為2的3個(gè)非負(fù)整數(shù)所有取值的組合有6種：

(2,0,0)， (1,1,0)， (1,0,1)， (0,2,0)， (0,1,1)， (0,0,2).

將aij組成如下方陣

(1)

則上述矩陣有如下的規(guī)律性：第1行的元素全為1，其余行的第j個(gè)元素恰為上一行前j個(gè)元素的和，即

(2)

命題1滿足(2)式的矩陣An的元素aij是和為j-1的i個(gè)非負(fù)整數(shù)所有取值的組合數(shù).

證顯然，和為定值j-1(j=1,2,…,n)的1個(gè)非負(fù)整數(shù)取值的組合只有一種，即只能取該值，故a1j=1，從而第1行的元素全為1.

和為定值j-1的2個(gè)非負(fù)整數(shù)取值，第一個(gè)數(shù)可取k(0≤k≤j-1)，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)數(shù)確定后，第二個(gè)數(shù)也隨之確定，即為j-1-k，故有j種組合，從而

引理[3]設(shè)整數(shù)m≥1，則

(3)

命題2滿足(2)式的矩陣An的元素為

(4)

證已知

歸納假設(shè)

由(2)，(3)可得

現(xiàn)在aij又可理解為從j+i-2個(gè)不同元素中取出i-1個(gè)元素的組合數(shù)，與前面的和為非負(fù)整數(shù)j-1的i個(gè)非負(fù)整數(shù)所有取值的組合數(shù)之間有何聯(lián)系？下面以j=4,i=3進(jìn)行比較，進(jìn)一步認(rèn)清兩者聯(lián)系(表1).

表1 aij=a33的兩種組合數(shù)的聯(lián)系

表1左邊為和為3的3個(gè)非負(fù)整數(shù)所有取值的組合，右邊為從5個(gè)元素abcde中取3個(gè)的組合. 比較表1可發(fā)現(xiàn)，左邊和右邊兩者聯(lián)系可以這樣理解：第一個(gè)數(shù)為從開(kāi)始連續(xù)取元素的個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)為第一次取后隔一個(gè)再連續(xù)取剩余元素的個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)為第二次取后隔一個(gè)再連續(xù)取剩余元素的個(gè)數(shù).

(5)

由以上討論可知，矩陣(1)的元素與組合數(shù)有關(guān)，故不妨稱其為組合數(shù)矩陣.

由公式(2)不難寫出

圖1 5階組合數(shù)矩陣與斜行元素示意圖

2 組合數(shù)矩陣的性質(zhì)

定義從i=1開(kāi)始，下標(biāo)之和i+j=k+1的元素aij稱為第k斜行的元素.

例如，a11為第1斜行的元素，a12和a21稱為第2斜行的元素，a13，a22和a31稱為第3斜行的元素，….斜行元素示意圖見(jiàn)圖1.

關(guān)于An的元素有如下性質(zhì).

性質(zhì)1(i)aij=aji(對(duì)稱性)；

(ii)aij=ai,j-1+ai-1,j(i,j≥2)，

(6)

即當(dāng)i,j≥2，An的任一元素為左邊元素和上邊元素之和；

(ii)由(2)可得

(iii)由(6)及對(duì)稱性可得ann=an,n-1+an-1,n=2an,n-1為偶數(shù)，由(2)及對(duì)稱性可得

(iv)由(4)可知

(v)由(4)可知

證(i) 記An的順序主子式為

顯然|A1|=|1|=1. 歸納假設(shè)|Ak|=1，由(6)可知

ai+1,j-aij=ai+1,j-1，ai,j+1-aij=ai-1,j+1，

從而依次將

第i行(i=k+1,k,…,2)減去第i-1行，可得

再依次將第i列(i=k+1,k,…,2)，減去第i-1列，可得

從而

(ii)由性質(zhì)1的(i)可知對(duì)稱性，再由性質(zhì)2的(i)及線性代數(shù)知識(shí)可知(ii)成立.

性質(zhì)3(i)An的特征值都大于0，An的特征值之和為奇數(shù)；

(ii) 當(dāng)n>1時(shí)，

證(i)由An的正定性可知其特征值都大于0，因?yàn)榫仃嚨奶卣髦抵蜑閷?duì)角線元素之和，由a11=1和性質(zhì)1的(iii)可得證.

3 猜 想

組合數(shù)矩陣An，除了上述的性質(zhì)外，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，還發(fā)現(xiàn)其特征值可能還有如下有趣的性質(zhì)，由于尚未證明，因此是猜想.表2是部分?jǐn)?shù)據(jù)的結(jié)果.

表2 組合數(shù)矩陣An (1≤n≤10)的特征值

(i)An有n個(gè)不同的特征值.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，An有一個(gè)特征值為1，其余特征值兩兩配對(duì)乘積為1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，特征值兩兩配對(duì)乘積為1；

例如，n=2時(shí)，

(ii)An與其逆矩陣有相同的特征值；

(iii)Ak+1的特征值分散在Ak的特征值兩邊；

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 葉彩兒. 范德蒙行列式的新證明及其應(yīng)用[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2011, 27(6) : 135-139.

[2] 李慶揚(yáng)，王能超，易大義. 數(shù)值分析[M]. 5版. 北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3] 簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組. 簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)手冊(cè)[M]. 上海：上海教育出版社，1977：3-197.

[4] 吳世熙. 排列與組合[M]. 南京：江蘇人民出版社， 1979：60.

[5] 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研組. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 北京：人民教育出版社，1979：42-43.

[6] 丘維聲. 簡(jiǎn)明線性代數(shù)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社， 2002.