朱湘贛

(昆明理工大學(xué)理學(xué)院, 昆明650093)

1 引 言

對(duì)于期望相對(duì)增長(zhǎng)率為μ的正值隨機(jī)過(guò)程St, 若差dSt/St-μdt作布朗運(yùn)動(dòng), 即滿足dSt/St-μdt=σdWt(其中σ為波動(dòng)率,Wt～N(0,t)為標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程), 或

dSt=μStdt+σStdWt，

(1)

則稱隨機(jī)過(guò)程St的運(yùn)動(dòng)為幾何布朗運(yùn)動(dòng).可以證明幾何布朗運(yùn)動(dòng)還可表述為下面兩種等價(jià)形式：

(2)

(3)

2 離散逼近

假設(shè)隨機(jī)過(guò)程St連續(xù)取值(正值),其期望相對(duì)增長(zhǎng)率μ為常數(shù).現(xiàn)考慮St在時(shí)間區(qū)間[0,t]內(nèi)的情況. 為達(dá)到離散逼近的目的，設(shè)St從零時(shí)刻開(kāi)始每隔Δt波動(dòng)一次，每次波動(dòng)相互獨(dú)立、上下波動(dòng)等可能且波動(dòng)的相對(duì)幅度相同.令n=[t/Δt]及

(4)

則對(duì)j=1,2,…,n, 各BjΔt相互獨(dú)立并服從兩點(diǎn)分布:

(5)

其中aΔt表示BjΔt的波動(dòng)幅度.通過(guò)計(jì)算易得

(6)

由(4)得

SjΔt=S(j-1)Δt(1+μΔt+BjΔt)，

所以

從而

令ε(Δt)=t-nΔt(0≤ε(Δt)<Δt), 則有

所以

(7)

此為(2)式, 故St服從幾何布朗運(yùn)動(dòng).

3 應(yīng) 用

3.1 應(yīng)用于股票期權(quán)

股票可看作連續(xù)交易(休市期雖然不交易，但投資者腦海里無(wú)時(shí)無(wú)刻不在根據(jù)各種影響股價(jià)的情況變化對(duì)股價(jià)重新進(jìn)行評(píng)估,因此交易可看作連續(xù)進(jìn)行). 另外，股票價(jià)格在無(wú)重大消息面的影響之下,其期望相對(duì)收益率(決定于其所對(duì)應(yīng)的實(shí)體資產(chǎn)的相對(duì)收益率)也比較穩(wěn)定.因此股票價(jià)格過(guò)程可認(rèn)為滿足離散逼近的相關(guān)條件，從而可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述.

股票期權(quán)是指買方在交付了權(quán)利金后即取得在合約規(guī)定的到期時(shí)刻或到期時(shí)刻以前按協(xié)議價(jià)買入或賣出一定數(shù)量相關(guān)股票的權(quán)利. 這里以歐式看漲期權(quán)(要到規(guī)定的到期時(shí)刻方可行權(quán))為例, 設(shè)K為敲定價(jià)(期權(quán)執(zhí)行價(jià)格),V為權(quán)利金(期權(quán)價(jià)格),μ為股票的期望相對(duì)收益率,σ為波動(dòng)率，St為股票現(xiàn)價(jià),T為到期時(shí)刻,r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.若股票價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)方程(2)，則到期時(shí)刻股票價(jià)格可表示為

(8)

定義股票看漲期權(quán)價(jià)格為到期時(shí)刻期權(quán)的即時(shí)收益期望的現(xiàn)值，即

V=exp[-r(T-t)]E[max(ST-K,0)]，

(9)

那么由(8)，(9)兩式可求得

V=Stexp[(u-r)(T-t)]Φ(d1)-Kexp[-r(T-t)]Φ(d2)，

其中Φ表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，

當(dāng)股票的期望相對(duì)收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r時(shí)，便得到Black-Scholes公式[1]

V=StΦ(d1)-Kexp[-r(T-t)]Φ(d2)，

3.2 應(yīng)用于股票遠(yuǎn)期合約

股票遠(yuǎn)期合約是指合約雙方約定在某到期時(shí)刻按約定的價(jià)格買賣約定數(shù)量的股票.若不計(jì)股息紅利，考慮時(shí)段[0,T]上從0時(shí)刻看在未來(lái)某一時(shí)刻t約定的遠(yuǎn)期合約價(jià)格，記St為股票在時(shí)刻t的價(jià)格,μ為股票的期望相對(duì)收益率，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，則在未來(lái)時(shí)刻t約定并以T(T>t)為到期時(shí)刻的遠(yuǎn)期合約價(jià)格為Ft=Stexp[r(T-t)]2. 求偏導(dǎo)，

利用(1)，有

=-rStexp[r(T-t)]dt+exp[r(T-t)](μStdt+σStdWt)

=(μ-r)Stexp[r(T-t)]dt+σStexp[r(T-t)]dWt，

即

dFt=(μ-r)Ftdt+σFtdWt，

(10)

故未來(lái)時(shí)刻t的遠(yuǎn)期合約價(jià)格Ft也服從幾何布朗運(yùn)動(dòng).

3.3 應(yīng)用于GDP的比較

當(dāng)今中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度為世界所關(guān)注，下面考慮這么一個(gè)問(wèn)題：若干年后中國(guó)的GDP能以多大概率超越第一經(jīng)濟(jì)大國(guó)美國(guó).

中國(guó)近幾年GDP增長(zhǎng)率波動(dòng)不大，美國(guó)的也不十分劇烈，可以認(rèn)為兩國(guó)GDP的年增長(zhǎng)率具有獨(dú)立平穩(wěn)性;并且在理論上或腦海想象中，可以把GDP看成是時(shí)間的連續(xù)函數(shù),從而可用幾何布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)兩國(guó)GDP進(jìn)行擬合.設(shè)Xt,Yt分別表示中國(guó)和美國(guó)在第t年的GDP，并假設(shè)其相互獨(dú)立，且期望年增長(zhǎng)率分別為μ1,μ2,波動(dòng)率分別為σ1,σ2，則Xt,Yt滿足(3),即

(11)

(12)

由Xt,Yt的獨(dú)立性及(11)，(12)兩式可得

(13)

lnXt-lnYt～N(lnX0-lnY0+μt,σ2t).

(14)

這里取樣時(shí)間間隔以年為單位(Δt=1)，μ,σ2的估計(jì)可分別利用下述兩式進(jìn)行:

其中r(Xj),r(Yj)分別表示兩國(guó)GDP在第j年的增長(zhǎng)率.

lnX10-lnY10～N(-0.5920,0.0061)， lnX20-lnY20～N(0.0211,0.0121)，

lnX25-lnY25～N(0.3277,0.0152)， lnX30-lnY30～N(0.6342,0.0182)，

從而

P{X10>Y10}=P{lnX10-lnY10>0}=1-Φ(7.5999)=1.4766×10-14≈0.

同理可得

P{X20>Y20}=0.5760, P{X25>Y25}=0.9961, P{X30>Y30}≈1.

這就是說(shuō)中國(guó)GDP在2018年超過(guò)美國(guó)的可能性幾乎沒(méi)有，2028年的可能性為57.6%，2033年的可能性為99.6%，2038年的可能性幾乎為百分之百.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 姜禮尚. 期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M]. 北京：高等教育出版社, 2003.

[2] 田軍, 周衛(wèi)東.期貨合約與遠(yuǎn)期合約的相互關(guān)系研究[J].中國(guó)管理科學(xué), 2002, 10(z1): 212-216.

[3] 龔光魯，錢敏平. 應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程教程及在算法和智能計(jì)算機(jī)中的隨機(jī)模型[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2004.

[4] http:∥www.tradingeconomics.com