周建偉

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇蘇州215006)

本文用射影幾何觀點討論二次曲線焦點與準(zhǔn)線的性質(zhì), 有關(guān)極點, 極線, 共軛等概念可參閱射影幾何教材[1],[2]. 熟悉歐氏幾何的讀者可以嘗試用平面幾何的方法證明這些結(jié)論, 作進一步的研究.

平面上二次曲線可以是橢圓, 雙曲線或拋物線, 把圓看成特殊的橢圓. 本文有些材料取自[2], 例如定理1,3, 為了完整寫出了它們的證明. 下面是焦點與準(zhǔn)線的射影幾何定義.

定義如果過歐氏平面上點F的任意一對關(guān)于二次曲線共軛的直線都垂直,那么F叫做二次曲線的焦點,F的極線是準(zhǔn)線.

可以證明這樣定義的焦點與通常的定義一樣, 且焦點總在對稱軸上. 下面利用這一射影幾何定義討論二次曲線有關(guān)焦點的性質(zhì).

定理1設(shè)F是二次曲線的一個焦點,T是曲線上弦PQ端點處切線的交點,PQ交F對應(yīng)的準(zhǔn)線于R, 則TF與RF分別是∠PFQ的內(nèi)外角平分線.

證如圖1,ξ是F對應(yīng)的準(zhǔn)線. 易知R的極線是TF, 因此直線FR與TF共軛. 由假設(shè)F是焦點,FR與TF垂直.P,Q,S=FT×PQ,R是調(diào)和點列,FP,FQ,FS,FR是調(diào)和直線. 再由FR與FS垂直, 可知TF與RF是∠PFQ的內(nèi)外角平分線.

如圖2, 如果定理1中二次曲線是雙曲線,P,Q分別是雙曲線兩支上點. 則RF1是∠PF1Q的內(nèi)角平分線, 而TF1是∠PF1Q的外角平分線.

圖1 圖2

利用定理1容易得到：

下面的引理在討論二次曲線焦點的性質(zhì)時常有用, 證明見[2] p.153例4.

引理2設(shè)三角形ABC的三邊分別與二次曲線切于D,E,F, 設(shè)P為直線EF上任一點, 則直線BP與CP關(guān)于二次曲線共軛.

定理3如果三角形的三邊都與拋物線相切, 則三角形的三個頂點與焦點四點共圓.

圖3-1 圖3-2

證如圖3-1, 設(shè)拋物線上點A,B的切線交于C, 拋物線頂點D處的切線與CA,CB分別交于S,T;F是拋物線的焦點. 先證明C,S,T,F四點共圓. 過F作CA的平行線與CA交于P∞,C∞是拋物線上的無窮遠(yuǎn)點, 圖3-2畫出了無窮遠(yuǎn)直線. 由引理2,SF與FP∞共軛, 而F是焦點,SF與FP∞垂直,SF與CA也垂直. 同理,TF與CB也垂直, 四點C,S,T,F共圓.

由證明可以得到拋物線焦點的作法:

設(shè)拋物線的任一切線η交拋物線的頂點處切線于S, 過S作η的垂線與對稱軸的交點F就是焦點.

從定理3的證明還可以得出拋物線焦點的光學(xué)性質(zhì)：

定理4設(shè)η是拋物線的任一切線, 直線ξ過η上切點A平行于拋物線的對稱軸,F是焦點, 則AF,ξ與η的交角相等.

證如圖4, 設(shè)E是η與拋物線對稱軸DF的交點,S是頂點D處切線與η的交點. 由定理1,SF是∠AFE的角平分線; 從定理3的證明知道,FS垂直于η,所以∠EAF=∠AEF,EFA構(gòu)成等腰三角形, 這證明了拋物線焦點的光學(xué)性質(zhì).

圖4 圖5

定理5二次曲線的任一切線上切點及它與準(zhǔn)線的交點所成線段對焦點張成直角.

證如圖5,F1是焦點, 二次曲線上點P處切線與F1對應(yīng)的準(zhǔn)線ξ1交于Q, 則Q與P,F1都共軛,Q的極線是PF1, 所以PF1與QF1共軛. 從焦點的定義可知,QF1與PF1垂直.

下面利用焦點的射影定義推出離心率的概念.

定理6二次曲線上任一點到焦點的距離與它到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比是一個常數(shù), 稱為二次曲線的離心率.

圖6

證如圖6, 設(shè)ξ是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線.P是二次曲線上任一點,B是ξ與過F的對稱軸的交點,C是P向ξ作垂線的垂足,PC∥BF. 如圖6, 設(shè)A是BF與二次曲線的交點,下證 |PF|∶|PC|=|AF|∶|AB|.

設(shè)P,A處切線交于D,AP與ξ交于E,EF交CP于G. 由定理1知道,DF與EF分別是∠PFA的內(nèi)外角平分線. 在ΔPFG中∠PFG=∠PGF, 從而|PG|=|PF|. 在ΔECG中,BF∥CG, 因此|CP|∶|PF|=|CP|∶|PG|=|BA|∶|AF|是常數(shù).

如果圖6中二次曲線是拋物線, 則B,F,A與拋物線上的無窮遠(yuǎn)點是調(diào)和點列,BA=AF,拋物線的離心率等于1. 利用標(biāo)準(zhǔn)方程, 易知橢圓的離心率小于1,雙曲線的離心率大于1.利用定理6容易證明:

定理7橢圓上點到兩焦點的距離之和是常數(shù); 雙曲線到兩焦點距離之差是常數(shù).

這樣, 上面定義的焦點與中學(xué)平面幾何定義的焦點是一致的.

定理8設(shè)F1,F2是橢圓的焦點,ξ是橢圓過P的切線, 則F1P與F2P和ξ的夾角相等.

證可以用橢圓的離心率證明, 下面的證明可以給出更多的幾何信息.

圖7

如圖7, 過橢圓頂點A,B的切線交ξ于C,D. 由定理1,CF1,DF1與DF2,CF2分別是∠AF1P, ∠BF2P的角平分線. 記S=CF2×DF1,CF2,DF1,PS是ΔPF1F2的角平分線. 由引理2,CF1,DF1;CF2,DF2共軛且垂直, 四點C,F1,F2,D共圓,

∠CDF1=∠CF2F1=∠BDF2,

∠F1CP=∠DF2B=∠PF2D, ∠F2DP=∠AF1C=∠CF1P.

因此ΔCF1P與ΔF2DP相似, ∠CPF1=∠DPF2.

這也給出了橢圓焦點的作法：

設(shè)AB是橢圓的長軸,橢圓的任一切線交A,B處切線于C,D, 以CD為直徑的圓與AB的交點F1,F2就是橢圓的焦點.

定理9設(shè)ξ是雙曲線過P的切線, 則F1P與F2P和ξ的夾角相等,F1,F2是焦點.

證如圖8, 設(shè)A,B是F1F2與雙曲線的交點, 過B的切線與ξ交于C. 由定理1,

∠PF1C=∠CF1B, ∠PF2C=∠CF2B,

因此CP也是∠F1PF2的平分線.

定理8, 9分別是橢圓與雙曲線焦點的光學(xué)性質(zhì).

圖8 圖9

定理10如果拋物線的兩切線垂直, 那么兩切線上切點的連線通過焦點, 且兩切線的交點位于準(zhǔn)線上.

證如圖9, 設(shè)AC,BC是拋物線互相垂直的切線,F是焦點, 過拋物線的頂點D作DF的垂線交AC,BC于G,H. 從定理3的證明可知,HF⊥CB,GF⊥AC,CHFG是矩形. 由定理1,GF與HF分別是∠AFD,∠DFB的平分線, 這證明了A,F,B共線,也證明了C與F共軛. 所以C在準(zhǔn)線上,AB過焦點.

也可以證明, 交點在拋物線的準(zhǔn)線上的兩切線垂直.

定理11拋物線的外切三角形的垂心在拋物線的準(zhǔn)線上.

證設(shè)ΔABC外切于拋物線. 如果∠BAC是直角,A也是ΔABC的垂心. 由定理10,A在準(zhǔn)線上. 設(shè)ξ,η是拋物線的兩條不垂直的定切線，由Steiner定理, 拋物線的其它切線與ξ,η的交點給出這兩直線間的射影映射ψ. 如果 另一切線交ξ,η于B,C, 則ψ(B)=C. 所有與ξ垂直的直線交于一個無窮遠(yuǎn)點P∞, 同理設(shè)Q∞是η的垂線的交點. 由此可得線束P∞與Q∞間的射影映射φ, 它把過B的垂線變?yōu)檫^C的垂線,φ的對應(yīng)直線的交點就是拋物線相應(yīng)外切三角形的垂心. 對于拋物線, 無窮遠(yuǎn)直線是切線, 易知它也是φ的不變直線,φ是透視, 因此它的對應(yīng)直線交點共線. 分別取垂直于ξ,η的切線, 這時對應(yīng)三角形的垂心在準(zhǔn)線上, 因此φ決定的直線就是準(zhǔn)線. 我們證明了拋物線的外切三角形的垂心在拋物線的準(zhǔn)線上.

以下是一些有關(guān)二次曲線焦點準(zhǔn)線的問題, 讀者可以試著給出證明.

1. 圓錐曲線的準(zhǔn)線與一對不垂直的共軛直徑所成三角形的垂心是焦點.

2. 設(shè)等邊ΔABC的三邊與拋物線相切, 三邊BC,CA,AB上切點分別是A′,B′,C′, 則AA′,BB′,CC′相交于拋物線的焦點.

3. 證明圓錐曲線過焦點的弦的中點軌跡是同類型的圓錐曲線.

4. 設(shè)F,ξ,D分別是拋物線的焦點, 準(zhǔn)線, 頂點,P是拋物線上任意一點,H是由P向ξ作垂線的交點. 證明點X=HF×PD的軌跡是一個橢圓.

5. 設(shè)F是拋物線的焦點,過拋物線上點A,B的切線交于C, 證明：ΔCAF與ΔBCF相似.由此可得已知拋物線的焦點及它的一條切線及切點作拋物線的其它切線切點的方法.

6. 設(shè)拋物線上弦PQ垂直于P處切線,T是P,Q處切線的交點,F是焦點, 過P垂直于PF的直線交TF于C. 證明:TF=FC,CQ⊥TC.

7. 設(shè)橢圓的直徑AB端點處切線與橢圓上點P的切線交于C,D;E是CF1,DF2的交點,F1,F2是焦點. 試證,ΔCPF1與ΔF2PD,ΔCED相似, ∠CED=∠CPF1是定角(與直徑AB的選取無關(guān)).

8. 設(shè)AA′是橢圓的長軸,F1,F2是焦點,P是橢圓上任意一點,F1Y,F2Y′垂直于P處切線,Y,Y′是垂足. 證明:X=AY×A′Y′的軌跡是一個橢圓.

9. 設(shè)橢圓上點P與焦點F1,F2的連線交橢圓于另外兩點Q,R;Q,R處切線交于T, 證明：PT是∠QPR的平分線, 且PT垂直于P處切線.

10. 設(shè)F是拋物線的焦點, 過準(zhǔn)線ξ上點D作拋物線的切線,切點分別是A,B. 證明：DA,DB分別是DF與ξ成兩角的平分線. 由此可以得到已知拋物線的焦點準(zhǔn)線作拋物線上點與切線的方法.

11. 設(shè)F,ξ是圓錐曲線的一對焦點準(zhǔn)線,T是曲線上點P,Q處切線的交點, 這兩條切線分別交準(zhǔn)線于E,S. 證明：∠EFT=∠TFS.

12. 設(shè)橢圓上點P的切線與對稱軸F1F2交于T,PF1,PF2交橢圓于Q,R,QR交F1F2于S,F1,F2是焦點. 試證:SF1=F2T.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] Busemann H, Kelly P。 射影幾何與射影度量[M]. 周紀(jì)安,等譯.天津：天津師大出版社, 1985.

[2] 周建偉, 高等幾何[M], 北京: 高等教育出版社, 2003.