王向東， 張彩霞， 戎海武

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院理學(xué)院， 廣東佛山528000)

設(shè)E是Lebesgue 可測集，對于定義在E上的可測函數(shù)列fn(x)(n=1,2,…)，若對于任意的ε>0，存在δ>0，對于任意可測集e?E，當(dāng)me<δ時，都有

則稱fn(x)的積分列在E上等度絕對連續(xù).

對于滿足條件me<δ(e?E)的集e，令

于是有

從而

故得

即

故有

令δ=minδ1,δ2，則δ>0且當(dāng)me<δ(e?E)時，有

注意到

則當(dāng)me<δ,e?E時，

從而可知fn(x)(n=1,2,…)在E上的積分是等度絕對連續(xù)的.

定理2設(shè)mE<∞，若定義在E上的可測函數(shù)列fn(x)滿足條件：

fn(x)≤g(x) (n=1,2,…)

在E上幾乎處處成立，并且函數(shù)g(x)在E上可積，則fn(x)在E上的積分是等度絕對連續(xù)的.

證由于

fn(x)≤g(x) (n=1,2,…)

在E上幾乎處處成立，根據(jù)積分的單調(diào)性，有

即fn(x)在E上可積.

從而

即fn(x)在E上的積分具有等度絕對連續(xù)性.

[參 考 文 獻]

[1] 郭大鈞,等.實變函數(shù)與泛函分析[M]. 濟南：山東大學(xué)出版社，1984.

[2] 王向東,等.度量空間與Lebesgue 積分[M]. 鄭州：河南大學(xué)出版社，1994.