徐瀝泉

(無(wú)錫市教育科學(xué)研究院，江蘇無(wú)錫214001)

1 引言與背景簡(jiǎn)介

美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論(MR)制定的國(guó)際通用數(shù)學(xué)學(xué)科分類(the Mathematics Subject Classification)、簡(jiǎn)稱 (MSC) ，2010版，把數(shù)學(xué)方法論(學(xué))正式列為一個(gè)專門的數(shù)學(xué)分支類，其代號(hào)為00A35，Methodology of mathematics， 并與教授法didactics緊密相聯(lián).本文就以此為據(jù)，就數(shù)學(xué)方法論(methodology of mathematics)(下簡(jiǎn)稱MM)在我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，作一概述.因?yàn)樵缭?970年代，我國(guó)就把數(shù)學(xué)方法論從科學(xué)方法論和科學(xué)哲學(xué)中分離出來(lái)，作為一個(gè)單獨(dú)的數(shù)學(xué)分支.徐利治先生率先提倡用波利亞的數(shù)學(xué)教育思想和方法論模式指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué).在他的倡導(dǎo)下，大連理工大學(xué)、南京大學(xué)、曲阜師范大學(xué)等許多大學(xué)數(shù)學(xué)教師先后組織讀書(shū)討論班，系統(tǒng)地研究Polya，有意識(shí)地應(yīng)用方法論的觀點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)，指導(dǎo)改革.

如所知，20世紀(jì)30代起，美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家Polya致力于運(yùn)用方法論模式切實(shí)地提高美國(guó)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)水平，使美國(guó)一躍而成為世界上的數(shù)學(xué)六強(qiáng)和兩大數(shù)學(xué)超級(jí)強(qiáng)國(guó)之一(當(dāng)然還有其他許多方面的原因).正是他的數(shù)學(xué)探索法的研究也為爾后美國(guó)的“問(wèn)題解決”的現(xiàn)代研究奠定了必要的基礎(chǔ).“文革”之前，Polya的數(shù)學(xué)教育思想在中國(guó)就有了研究與傳播；“文革”后，這種研究與傳播明顯地活躍起來(lái).我國(guó)科學(xué)出版社還專門組織翻譯出版了波利亞的《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》3本經(jīng)典著作[1-3].但在此以前并沒(méi)有人系統(tǒng)而明確地提及數(shù)學(xué)方法論這一概念，尤其是沒(méi)有把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支從科學(xué)方法論中獨(dú)立出來(lái).直到徐利治把數(shù)學(xué)方法論正式定義為一個(gè)科學(xué)分支，并于1983年出版了他的專著《數(shù)學(xué)方法論選講》[4](注，而后又出版了《數(shù)學(xué)方法學(xué)概論》[5]).在我國(guó)首開(kāi)數(shù)學(xué)方法論研究與應(yīng)用的先河.徐利治教授現(xiàn)身說(shuō)法，親自到長(zhǎng)春、大連、南京、武漢等地講演數(shù)學(xué)方法論和波利亞的數(shù)學(xué)教育思想.1987年8月在大連理工大學(xué)組織召開(kāi)了“全國(guó)數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)史學(xué)術(shù)研討會(huì)”(下稱大連研討會(huì))，徐利治教授作了“數(shù)學(xué)方法論系列演講”.1988年徐利治教授致信給正在籌備“波利亞數(shù)學(xué)教育思想與數(shù)學(xué)方法論研討會(huì)”的首都師范學(xué)院數(shù)學(xué)系周春荔教授和天津特級(jí)教師楊世明等老師，提出：“要用波利亞的數(shù)學(xué)教育思想改革教材和教學(xué)法，培養(yǎng)波利亞型的數(shù)學(xué)工作者.”會(huì)議是1989年5月在北京召開(kāi)的，題為“全國(guó)第一屆數(shù)學(xué)方法論與Polya數(shù)學(xué)教育思想學(xué)術(shù)研討會(huì)”(下稱北京研討會(huì)).這是理論背景.我們?cè)賮?lái)看一下當(dāng)時(shí)的現(xiàn)實(shí)背景.

由上可知數(shù)學(xué)方法論應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的探討和理論研究自大學(xué)始，但是它的教育實(shí)驗(yàn)(即實(shí)踐活動(dòng))卻首先在我國(guó)的高中階段開(kāi)始實(shí)施.

20世紀(jì)80年代，隨著改革開(kāi)放的深入，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革也出現(xiàn)許多新事物.在數(shù)學(xué)教材方面，有美籍華裔數(shù)學(xué)家項(xiàng)武義與國(guó)內(nèi)有關(guān)專家合作編寫的中學(xué)數(shù)學(xué)《實(shí)驗(yàn)教材》.在數(shù)學(xué)教學(xué)法方面，有上海的“讀讀、議議、講講、練練”的八字教學(xué)法、“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”，湖南的“引導(dǎo)探索法”，中科院心理所的“自學(xué)輔導(dǎo)教學(xué)法”(主要在初中階段進(jìn)行)等新的教學(xué)法更是如雨后春筍般地出現(xiàn)，但不久又銷聲匿跡了[6].

另一方面，我國(guó)于1977年恢復(fù)高考，為渴望知識(shí)、有志于攀登科學(xué)技術(shù)高峰的青年提供深造的機(jī)會(huì).但因考生多招生少，畢業(yè)后就業(yè)難等問(wèn)題，使得正常的擇優(yōu)錄取，逐漸兌變?yōu)橐詰?yīng)付升學(xué)考試為目的的教育思想和教育行為的應(yīng)試教育.它是一種畸形的教育模式，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)法的改革造成很大沖擊.

這兩件事引起教育界有識(shí)之士和數(shù)學(xué)老師的反思：新的數(shù)學(xué)教學(xué)法自身有什么不足？如何既提高學(xué)生素質(zhì)又避免應(yīng)試教育的弊端？

相繼出席了大連研討會(huì)和北京研討會(huì)的老師們逐漸形成了這樣一個(gè)構(gòu)想：用數(shù)學(xué)方法論的觀點(diǎn)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育改革，即孕育了貫徹?cái)?shù)學(xué)方法論的數(shù)學(xué)教育思想(下稱MM教育思想).江蘇無(wú)錫的與會(huì)者建議把MM教育思想與無(wú)錫地區(qū)當(dāng)時(shí)正在進(jìn)行的數(shù)學(xué)教育改革結(jié)合起來(lái)，進(jìn)行題為“貫徹?cái)?shù)學(xué)方法論的數(shù)學(xué)教育方式，全面提高學(xué)生素質(zhì)”數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)(下稱MM課題或MM實(shí)驗(yàn)).

該設(shè)想得到無(wú)錫市教育行政部門的支持.時(shí)任無(wú)錫市教委主任周稽裘先生親自部署：由無(wú)錫市教育科學(xué)研究所負(fù)責(zé)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與組織實(shí)施；協(xié)調(diào)市教研室、江南大學(xué)·教育學(xué)院、市數(shù)理學(xué)會(huì)抽調(diào)骨干教師組成MM課題組、在高中階段隨機(jī)抽取實(shí)驗(yàn)學(xué)校和實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

在時(shí)任江蘇省教委主任袁相碗(原南京大學(xué)副校長(zhǎng))和副主任周稽裘的支持與推薦下，1991年該課題被列為全國(guó)教育科學(xué)“八五規(guī)劃”課題(全國(guó)教育科學(xué)(八五)規(guī)劃課題批準(zhǔn)通知，教科規(guī)辦(1991)13號(hào))，和江蘇省教育科學(xué)九五規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)為蘇教科規(guī)(重)字(九五)018號(hào)).MM課題的后續(xù)研究項(xiàng)目也是江蘇省十五、十一五規(guī)劃的青年專項(xiàng)課題(江蘇省教育科研重點(diǎn)項(xiàng)目).

1994年第一輪實(shí)驗(yàn)結(jié)束以后，通過(guò)了由江蘇省教育委員會(huì)委委托的，以王梓坤院士為首的專家委員會(huì)(其成員有徐利治、林夏水、張奠宙、馬明等)的鑒定，并給予高度評(píng)價(jià).鑒定意見(jiàn)如下：

由無(wú)錫市教育科學(xué)研究所和無(wú)錫市MM課題組設(shè)計(jì)并組織實(shí)施的《貫徹?cái)?shù)學(xué)方法論的教育方式，全面提高學(xué)生素質(zhì)》數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱MM課題或MM實(shí)驗(yàn))，在1989年—1994年實(shí)驗(yàn)期間，取得了一系列重要成果.

該實(shí)驗(yàn)在深入分析了二十世紀(jì)八十年代以來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革得失的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)和借鑒了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)方法論研究的理論成果，并把它與我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革的實(shí)踐相結(jié)合，率先在較大范圍內(nèi)成功地進(jìn)行了具有教育科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)，應(yīng)該說(shuō)是數(shù)學(xué)教育方面的一個(gè)創(chuàng)舉.

該實(shí)驗(yàn)充分考慮了數(shù)學(xué)教育的文化教育功能和技術(shù)教育功能，把在數(shù)學(xué)教學(xué)中，提高學(xué)生的一般文化素養(yǎng)和數(shù)學(xué)品質(zhì)作為實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，有其堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，實(shí)驗(yàn)方案中對(duì)MM因子的分解、轉(zhuǎn)化，可控變量和基本操作的設(shè)計(jì)，狀態(tài)變量的控制以及指標(biāo)體系的制訂與評(píng)價(jià)，是比較科學(xué)的，對(duì)無(wú)關(guān)變量的控制是有效的.

該實(shí)驗(yàn)的觀察資料和數(shù)據(jù)均來(lái)自實(shí)驗(yàn)本身，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的定性概括是適當(dāng)?shù)?，統(tǒng)計(jì)分析是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，?shí)驗(yàn)結(jié)果支持了它的研究假設(shè).

此外，該實(shí)驗(yàn)所確證的MM數(shù)學(xué)教育方式，只需對(duì)原有教材適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行教學(xué)法加工，操作簡(jiǎn)便，能與各種優(yōu)秀教學(xué)方法協(xié)同使用，既能減輕師生負(fù)擔(dān)，又能提高教學(xué)效益，從而大幅度提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

因此，鑒定組認(rèn)為，這種數(shù)學(xué)教育方式在大、中、小學(xué)以及職教和成人教育中，都是可行的，有效的.值得繼續(xù)實(shí)驗(yàn)和大力推廣.

中國(guó)教育報(bào)以“一項(xiàng)數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)通過(guò)專家鑒定”為題發(fā)布了該鑒定消息(第2089號(hào) 1994年12月31日，教育科學(xué)版 第74期，馬思援)

“MM實(shí)驗(yàn)”通過(guò)專家鑒定，標(biāo)志著一種新的數(shù)學(xué)教育方式(簡(jiǎn)稱MM教育方式)的正式誕生.因此，MM實(shí)驗(yàn)便進(jìn)入一個(gè)新的階段——邊實(shí)驗(yàn)邊推廣階段.

由于數(shù)學(xué)方法論的原則性高，所以它的應(yīng)用廣泛而深入.不久就在我國(guó)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中得到推廣應(yīng)用.

2 什么是MM教育方式，為什么要實(shí)施這種方式，怎樣操作效果如何？

“貫徹?cái)?shù)學(xué)方法論的教育方式”并非在課堂上向?qū)W生講授數(shù)學(xué)方法論或數(shù)學(xué)觀，而是把數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)方法論的思想有機(jī)地融入數(shù)學(xué)教學(xué)中.為此，設(shè)計(jì)者把MM教育方式轉(zhuǎn)化為可操作的、可評(píng)價(jià)的一種課堂教學(xué)方式.MM方式是怎樣提出來(lái)的？為什么要在數(shù)學(xué)教育中貫徹這種方式？

2.1 第一，我們要搞清楚什么是數(shù)學(xué)方法論？

20世紀(jì)下葉，國(guó)內(nèi)外一些著名數(shù)學(xué)家都致力于對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究.他們從本體論與認(rèn)識(shí)論的角度提出了“數(shù)學(xué)是一種模式真理”的數(shù)學(xué)觀.按照這種觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)模式在本體上具有兩重性.就其內(nèi)容而言具有明確的客觀意義，它是思維對(duì)于客觀實(shí)在的能動(dòng)反應(yīng)，任何數(shù)學(xué)模型都有它的現(xiàn)實(shí)原型；就其形式結(jié)構(gòu)而言數(shù)學(xué)并非客觀世界中的真實(shí)存在，而只是創(chuàng)造性思維.亦即理性的創(chuàng)造物.從前者而言，數(shù)學(xué)是人們所發(fā)現(xiàn)的；從后者而論，數(shù)學(xué)又是人們所發(fā)明的.而數(shù)學(xué)的每一次重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，都是以決定數(shù)學(xué)向本質(zhì)上的嶄新?tīng)顟B(tài)過(guò)渡的杰出成就為標(biāo)記的.這中間伴隨著認(rèn)識(shí)論與方法論上的突破，伴隨著數(shù)學(xué)思想方法的革命性的變革.有一門學(xué)問(wèn)就是專門以數(shù)學(xué)的思想方法作為研究對(duì)象的，它就是數(shù)學(xué)方法論.徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問(wèn).”

2.2 第二，我們要搞清楚數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)方法論有什么關(guān)系？

從數(shù)學(xué)方法論觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)具有兩重性，它既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)(從最后被定型的數(shù)學(xué)來(lái)看)，又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)(從創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)來(lái)看).因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的這兩個(gè)側(cè)面，使學(xué)生受到全面的數(shù)學(xué)教育，忽視數(shù)學(xué)的歸納性的一面是不完全的數(shù)學(xué)教育.

另外，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法論的觀點(diǎn)和高級(jí)神經(jīng)活動(dòng)心理學(xué)已有的研究成果，分析數(shù)學(xué)思維，我們看到，數(shù)學(xué)思維也有兩重性，一類是進(jìn)行邏輯推理的抽象思維；另一類是進(jìn)行合情推理或似真推理的形象思維.這后一類思維的具體表現(xiàn)形式是觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、聯(lián)想、不完全歸納等.它們不僅在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中起著十分重要的作用，而且廣泛應(yīng)用于社會(huì)生活之中.因此，我們不應(yīng)該把數(shù)學(xué)單純地理解為一門工具科學(xué)，而應(yīng)該把它當(dāng)作一種文化形態(tài)來(lái)對(duì)待，在數(shù)學(xué)中致力于提高人們的一般文化修養(yǎng).當(dāng)然要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的這種文化教育功能，就必須采用一定的方式來(lái)組織教學(xué).

Polya曾以解題為例，說(shuō)明離開(kāi)似真推理，人們無(wú)法接受數(shù)學(xué)中抽象結(jié)論的道理.這個(gè)例子說(shuō)的是他在證明Carleman不等式，

的時(shí)候，他用一個(gè)等式來(lái)定義正數(shù)ci=c1c2…cn=n+1n，把它鑲嵌到序列ai之中，從而

證明本身是非常簡(jiǎn)潔而巧妙的，但是這里推理的關(guān)鍵是定義序列c1,c2,c3,…，學(xué)生對(duì)此就無(wú)法理解，會(huì)感到“它是突然從天而降的”.這就是我們接受抽象結(jié)論的困難所在.古人云：“象顯可征，雖愚不惑；形潛莫睹，雖智猶迷”，就是這個(gè)道理.因?yàn)槿藗儫o(wú)法了解到它的來(lái)源與構(gòu)想，只能被動(dòng)地承認(rèn)其正確.若整個(gè)數(shù)學(xué)教材基本上是按這種體系編寫，教師又不對(duì)它進(jìn)行教學(xué)法加工，學(xué)生就只有被動(dòng)地接受與理解這些法則.靠套公式，模仿例題而日復(fù)一日、年復(fù)一年地機(jī)械操練.這對(duì)他們智力水平的提高很難有成效.學(xué)生的智力得不到發(fā)展，而所學(xué)內(nèi)容卻不斷深化，長(zhǎng)此以往，他們就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭惡情緒.

Polya指出，要使學(xué)生真正理解與掌握數(shù)學(xué)中的抽象結(jié)論，就必須采用一種所謂“啟發(fā)式”的敘述形式，把抽象結(jié)論的來(lái)龍去脈完全剖析給學(xué)生.他以c1,c2,c3,…這個(gè)序列的發(fā)現(xiàn)為例，詳細(xì)敘述了他是如何觀察、聯(lián)想、猜測(cè)到嵌入這個(gè)序列后才可以用平均不等式來(lái)加以證明.起初想直接用平均不等式來(lái)證明，卻出師不利.這就好比磨刀時(shí)要蘸水增大刀刃與磨刀石之間的接觸面一樣；在ai間鑲嵌ci之后，可能會(huì)縮小ai間的差異.因?yàn)槠骄坏仁疆?dāng)且僅當(dāng)ai全相等時(shí)等式成立，當(dāng)ai不全相等時(shí)，兩邊是不同的，而當(dāng)ai很不相等時(shí)，兩邊的差距就會(huì)更大.故想到構(gòu)造補(bǔ)償因子ci來(lái)解決矛盾.

這一典型例子基本上反映了數(shù)學(xué)中發(fā)明創(chuàng)造的一般過(guò)程.提示了任何真理的出現(xiàn)，都得經(jīng)歷一番磨練.說(shuō)明了在失敗的現(xiàn)實(shí)中往往蘊(yùn)含了成功的全部信息，關(guān)鍵是能否破譯事實(shí)所提供的那些無(wú)形的密碼.

由此可見(jiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難，并不是它本身的抽象形式；而是離開(kāi)了它抽象的背景，離開(kāi)了用似真推理來(lái)發(fā)現(xiàn)它的過(guò)程，離開(kāi)了在受到挫折以后對(duì)反饋信息的分析，離開(kāi)了生動(dòng)活潑的創(chuàng)造發(fā)明的活動(dòng)機(jī)制.所以我們認(rèn)為要把數(shù)學(xué)方法論的原則貫徹到數(shù)學(xué)教學(xué)中去.

2.3 怎樣操作？

那么，到底怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)而有效地組織這種方式？

①在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師遵循數(shù)學(xué)本身的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等規(guī)律，遵循學(xué)生的身心發(fā)展和認(rèn)知規(guī)律；師生自覺(jué)地遵循“教學(xué)·研究·發(fā)現(xiàn)”同步協(xié)調(diào)原則和“既教(學(xué))證明又教(學(xué))猜想”的原則；充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的科學(xué)技術(shù)功能和文化教育功能；教師恰當(dāng)?shù)夭皇r(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的返璞歸真教育、數(shù)學(xué)的美育、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)法教育、數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品質(zhì)教育、數(shù)學(xué)史志教育，進(jìn)行數(shù)學(xué)中的合情推理、邏輯推理和一般解題方法的教學(xué)；并引導(dǎo)學(xué)生不斷地自我增進(jìn)一般科學(xué)素養(yǎng)，社會(huì)文化修養(yǎng)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì)，全面提高學(xué)生素質(zhì).這就是數(shù)學(xué)方法論的數(shù)學(xué)教育方式.下面我們給出經(jīng)中國(guó)社會(huì)科學(xué)院資深研究員林夏水先生修改以后，MM方式基本操作表的最新表述(同[6]，如表1).

表1 MM基本操作表

注 在水平欄的每一個(gè)空格中，可用序號(hào)①或②或③或④填寫您認(rèn)為最合適的等級(jí).它們分別標(biāo)志著優(yōu)或良或中或下的4個(gè)不同級(jí)別的水平，如你認(rèn)為該堂數(shù)學(xué)課上無(wú)該項(xiàng)操作也可以不填.進(jìn)入專家系統(tǒng)后可對(duì)此進(jìn)行模糊綜合評(píng)判和統(tǒng)計(jì)分析[7-10].

經(jīng)林夏水修改后使MM教育方式蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)觀突顯出來(lái)了，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)觀與MM教育方式的一致性.這一基本操作表是從數(shù)學(xué)方法論和數(shù)學(xué)觀到MM教育方式的一個(gè)轉(zhuǎn)換器，如圖1.

圖1 MM方式流程圖

有學(xué)者指出：“波利亞是嘗試把數(shù)學(xué)方法論應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的第一人，取得了相當(dāng)?shù)某删?，但是他沒(méi)有具體地解決如何把數(shù)學(xué)方法論用于數(shù)學(xué)教學(xué)的問(wèn)題，更沒(méi)有把它作為一種教學(xué)的方式方法.MM實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)者所設(shè)計(jì)的MM基本操作表，由于弄清了由‘?dāng)?shù)學(xué)方法論基本原理’到‘學(xué)生素質(zhì)’的轉(zhuǎn)換機(jī)制，從而解決了MM能夠成為一種教育方式的核心問(wèn)題.”見(jiàn)文獻(xiàn)[11-13].

②把MM方式的實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)進(jìn)行分解，就得到下面的指標(biāo)體系表(見(jiàn)表2).

從縱向看，通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)，必須使學(xué)生具備一般科學(xué)素養(yǎng)，提高社會(huì)文化修養(yǎng)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì)，我們稱之為“縱向要求集”；從橫向看，指導(dǎo)語(yǔ)欄內(nèi)給出了每一類指標(biāo)所要達(dá)到的三級(jí)水平，我們稱之為“橫向水平集”.

評(píng)價(jià)：我們把縱向要求集{一般科學(xué)素養(yǎng)，社會(huì)文化修養(yǎng)，數(shù)學(xué)品質(zhì)}和橫向水平集{合格水平，較高水平，高級(jí)水平}的“笛卡兒乘積集”的某些子集作為MM方式的綜合評(píng)價(jià)研究.若一般科學(xué)素養(yǎng)符合指導(dǎo)語(yǔ)欄目中的全部?jī)?nèi)容，社會(huì)文化修養(yǎng)和數(shù)學(xué)品質(zhì)符合相應(yīng)的指導(dǎo)語(yǔ)欄目中的合格水平，我們就說(shuō)實(shí)驗(yàn)基本成功，并形象地說(shuō)是達(dá)到了“?！毙驮u(píng)價(jià)；若一般科學(xué)素養(yǎng)和社會(huì)文化修養(yǎng)達(dá)到相應(yīng)指導(dǎo)語(yǔ)的全部?jī)?nèi)容，數(shù)學(xué)品質(zhì)達(dá)到合格水平，我們就說(shuō)實(shí)驗(yàn)成功，并形象地說(shuō)達(dá)到“F”型評(píng)價(jià)；若一般科學(xué)素養(yǎng)，社會(huì)文化修養(yǎng)，數(shù)學(xué)品質(zhì)都達(dá)到其相應(yīng)指導(dǎo)語(yǔ)的全部?jī)?nèi)容，我們就說(shuō)實(shí)驗(yàn)取得圓滿成功，并形象地說(shuō)是達(dá)到“E”型評(píng)價(jià).(見(jiàn)圖2，表2的評(píng)價(jià)示意圖)

表2 MM指標(biāo)體系表

注① 三大能力指數(shù)學(xué)的邏輯推理能力，運(yùn)算能力和空間想象能力.

注② 表2 評(píng)價(jià)示意圖

圖2 表2 的評(píng)價(jià)示意圖

2.4 效果如何？

有發(fā)現(xiàn)的設(shè)計(jì)必有發(fā)現(xiàn)的經(jīng)歷.MM方式的出現(xiàn)，一改過(guò)去學(xué)生學(xué)習(xí)的被動(dòng)局面，使他們對(duì)既教證明又教猜想的探索規(guī)律產(chǎn)生濃厚興趣，整個(gè)教學(xué)過(guò)程也就融入發(fā)明發(fā)現(xiàn)的主旋律之中.現(xiàn)擇其一二，有興趣的讀者可參閱參考文獻(xiàn)[14].

① 平面解析幾何中有一個(gè)我們都熟悉的問(wèn)題，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡.

顯然，它的軌跡是一個(gè)圓，但是問(wèn)題在于能否推陳出新.MM方式要求我們加強(qiáng)一般解題方法的教學(xué)，要求我們盡可能地把解題過(guò)程及其結(jié)果放在不斷探索、試驗(yàn)、總結(jié)、回顧并不斷深化的數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)體系中去考察.為此，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)小實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生仔細(xì)觀察并驗(yàn)證其結(jié)果.

比如用一根教棒，使其兩個(gè)端點(diǎn)在黑板的內(nèi)角邊緣上滑動(dòng).

誰(shuí)知這一個(gè)十分簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)卻帶來(lái)了出人意料的收獲，發(fā)現(xiàn)了“星形線作為直線族與橢圓族的公包絡(luò)”這樣一個(gè)鮮為人知的事實(shí)[15].這一發(fā)現(xiàn)不僅把分布在數(shù)學(xué)教材中看來(lái)似乎是零星的、分散的、孤立的而實(shí)際上是相互聯(lián)系的習(xí)題，例如線段的中點(diǎn)軌跡、圓、橢圓與直線的參數(shù)方程，橢圓規(guī)的構(gòu)造及原理，星形線等等串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)整體，把由方程求曲線和由曲線求方程，曲線的切線的概念，以及求切線和切線長(zhǎng)等許多數(shù)學(xué)知識(shí)融為一體；并且在勾通初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間的連接渠道方面也做了一些穿針引線的作用，這里只給出如下的直觀圖示，如圖3.

圖3 直線族與橢圓族的公包絡(luò)

[蘇]A 斯托利也爾指出，畫(huà)一個(gè)等腰梯形并從它的兩底和腰來(lái)求高和給定一個(gè)鉚釘并由一些已知尺寸來(lái)求另一些未知尺寸，這兩個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)方面可能完全一樣，但從教法的觀點(diǎn)看，又各不相同[16].上述發(fā)現(xiàn)就得益于教棒的兩個(gè)端點(diǎn)在黑板的內(nèi)角邊緣上滑動(dòng)的那個(gè)小實(shí)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì).

② 在數(shù)學(xué)教學(xué)中確當(dāng)?shù)亟M織抽象分析法的教學(xué)，其基本措施有兩條.一條是引導(dǎo)學(xué)生從具體素材中直接抽象出數(shù)學(xué)模型，即把非數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)化：二是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)前人或他人所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型(如教材中的定理公式等)進(jìn)一步理論化.下面我們給出運(yùn)用抽象分析法系統(tǒng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型而達(dá)到數(shù)學(xué)中的再創(chuàng)造再發(fā)現(xiàn)的又一實(shí)例.

如所知，基于對(duì)代數(shù)中的“算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)”等有關(guān)定理的探討，許多研究者都把它放到凸函數(shù)的范疇中去探討.我們則在解題方法論(即一般解題方法)的觀點(diǎn)下，把函數(shù)

分別定義為冪平均函數(shù)和加權(quán)冪平均函數(shù)(這里ai為不全相等的正數(shù)，qi>0).借助于數(shù)學(xué)作圖軟件Mathematica，其圖像如下(圖4)：

圖4-1 冪平均函數(shù)f(x)的圖像 圖 4-2 冪平均函數(shù)F(x)的圖像

利用其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

并構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)φy=ylnnyy>0，詳細(xì)討論了冪平均函數(shù)的有界性、連續(xù)性和一致連續(xù)性、可導(dǎo)性及其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性等等，從而完成了“冪平均函數(shù)及其平均不等式”這一數(shù)學(xué)模型的綜合構(gòu)建，幾乎用到了經(jīng)典微積分學(xué)的全部重要知識(shí)[17].

③ 再看一個(gè)先由經(jīng)驗(yàn)歸納再用抽象分析法達(dá)到數(shù)學(xué)中又一發(fā)現(xiàn)的例子[18].

3點(diǎn)鐘之后又過(guò)多少時(shí)間，手表上的分針和時(shí)針又互相垂直？

把它一般化，我們從“某時(shí)刻起多久鐘表之長(zhǎng)短針(分針和時(shí)針)互相垂直”這一更具一般性的問(wèn)題入手，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)歸納，得到公式：

(1)

其中T的單位是分鐘，

分別表示該數(shù)的最大整數(shù)部分和小數(shù)部分.公式(1)就是已知變量T(某時(shí)刻)和未知變量t(多長(zhǎng)時(shí)間)之間的函數(shù)關(guān)系，記作tT.爾后經(jīng)過(guò)證明，再把它展成Fourier級(jí)數(shù)：

(2)

由(1)和(2)，并把

等一些具體的數(shù)代入，可推出：

等等.

進(jìn)而猜想

等等.事實(shí)上，

其中等式右邊分母上的另一個(gè)π放在了求和號(hào)下.

綜上所述，MM方式一方面徹底改變了學(xué)生學(xué)習(xí)的被動(dòng)局面，為他們提供了正確的思想方法和學(xué)習(xí)方法；另一方面在方法論的意義上，日常生活中最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)現(xiàn)象也不再局限于初等數(shù)學(xué)這一小塊彈丸之地，而與整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域連成一片.這就為學(xué)生吸取數(shù)學(xué)科學(xué)中的現(xiàn)代思想，自我增進(jìn)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的文化素養(yǎng)開(kāi)辟了一塊良好的運(yùn)動(dòng)場(chǎng).

④ 最后舉一個(gè)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的例子[19].徐利治教授說(shuō)過(guò)，對(duì)一條定理，如果只是在邏輯上能夠證明還不算真懂，還必須在頭腦里留下直觀的印象才算真正搞清楚[20].數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一條刻畫(huà)一致最大功效檢驗(yàn)函數(shù)φ的“Neyman-Pearson基本引理”，我們從直覺(jué)與邏輯這兩個(gè)方面對(duì)它進(jìn)行了分析，既給出了φ的隨機(jī)化檢驗(yàn)形式，運(yùn)用測(cè)度論的觀點(diǎn)論證了N-P充要條件；同時(shí)又給出了它的直觀的圖像表示.較之以往的N-P引理，其形式更為完美，證明更加嚴(yán)謹(jǐn)，且在推廣的N-P引理中擴(kuò)大了檢驗(yàn)函數(shù)的集類Fφ.下面給出奈曼結(jié)構(gòu)的邏輯框架和它的直觀圖示，如圖5-1，5-2和圖6：

圖5-1 奈曼條件的充分性框架

圖5-2 奈曼條件的必要性框架

圖6 N-P引理直觀圖示

3 MM課題的推廣應(yīng)用與成果簡(jiǎn)介

3.1 MM課題的延伸與拓展

MM實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)者、組織者和支持者們，應(yīng)各地各級(jí)各類學(xué)校的邀請(qǐng)，不辭辛苦，奔赴全國(guó)各地，幫助他們?cè)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案、培訓(xùn)教師、言傳身授，把MM實(shí)驗(yàn)班、實(shí)驗(yàn)校、實(shí)驗(yàn)基地一個(gè)一個(gè)地建立起來(lái)，使MM教育方式在全國(guó)得到推廣應(yīng)用.實(shí)驗(yàn)學(xué)校由普通高中、職中擴(kuò)大到小學(xué)、大學(xué)和成人教育學(xué)校[21].一支既能勝任教學(xué)，又能從事科研的Polya型的數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍正在形成.

MM教育方式傳播到了我國(guó)的臺(tái)灣.臺(tái)灣中央研究院數(shù)學(xué)所的《數(shù)學(xué)傳播季刊》先后發(fā)表了三篇MM教育方式的專題論文[22-24].

作者于2004年7月4-11日，應(yīng)國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)秘書(shū)長(zhǎng)Bernard R. Hodgson (伯納德·霍奇森)教授和秘書(shū)處的邀請(qǐng)出席了在丹麥?zhǔn)锥几绫竟匍_(kāi)的第10屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-10)，并在大會(huì)的課題研究組作了以“Briefing on MM Education Way，a New Way of Mathematics Teaching(MM教育方式簡(jiǎn)介，一種嶄新的數(shù)學(xué)教學(xué)方式)”為題的報(bào)告.

此文后經(jīng)吳仲和博士(美國(guó)加)擴(kuò)充后，發(fā)表于國(guó)際數(shù)學(xué)教育雜志[25](Jianting Hu，Journal of Mathematics Education，December 2008，Vol. 1，No. 1，pp. 114-118.)

早在1997年底，美國(guó)蒙哥馬利大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、美籍華人章雪藻女士回國(guó)訪問(wèn)期間，從北京的報(bào)刊上看到無(wú)錫正在進(jìn)行的MM實(shí)驗(yàn)，就專程來(lái)錫考察與訪問(wèn)了無(wú)錫市當(dāng)時(shí)正在組織和進(jìn)行MM實(shí)驗(yàn)的單位和學(xué)校.她回國(guó)后寫來(lái)了一封存熱情洋溢的信說(shuō)：“在無(wú)錫，看到我的同行們工作是那么地帶勁，有成效.很是受鼓舞…，我羨慕你們，辛勤勞動(dòng)不僅自己獲得成就滿足，不僅自己成長(zhǎng)，你們的血汗滴在自己的土地上，你們的成長(zhǎng)融在祖國(guó)的成長(zhǎng)中……”

2007年5月17日柏林自由大學(xué)格拉夫教授應(yīng)邀到北京講學(xué)之前，也從香港先專程到無(wú)錫訪問(wèn)、考察了MM實(shí)驗(yàn)，他與實(shí)驗(yàn)學(xué)校的師生進(jìn)行了座談.最后，他特別認(rèn)真地把他的感受寫下來(lái)，對(duì)MM實(shí)驗(yàn)給予充分肯定與贊揚(yáng).

MM課題組也因此由無(wú)錫市擴(kuò)大到江蘇省和全國(guó)的許多地區(qū).圍繞數(shù)學(xué)方法論和推廣應(yīng)用MM方式的全國(guó)性的學(xué)術(shù)會(huì)議相繼在北京(PM1)、上海(PM2)、湖北襄樊(PM3)、武漢(PM4)、天津(PM5)、濟(jì)南·淄博(PM6)、甘肅天水(PM7)、新疆昌吉(PM8)、成都(PM9、圖7)等地召開(kāi)(PM是波利亞數(shù)學(xué)教育思想和數(shù)學(xué)方法論的簡(jiǎn)稱).

圖7-1 2008 年9 月28 日PM9在成都市西南交通大學(xué)國(guó)際會(huì)議廳舉行 圖7-2 開(kāi)幕式上成都市人民政府副市長(zhǎng)傅勇林教授致歡迎詞

MM課題研究促使教師站到學(xué)科教育的最前沿，涌現(xiàn)了一批既能勝任教學(xué)，又能從事科學(xué)研究的Polya型的數(shù)學(xué)教師.他們大都身兼國(guó)家和省、市級(jí)科技拔尖人才，全國(guó)先進(jìn)教師和全國(guó)勞模等多個(gè)榮譽(yù)稱號(hào).也都是本地區(qū)的數(shù)學(xué)教學(xué)專家(特級(jí)教師honored master educationist)、教授(含教授級(jí)高級(jí)教師).

MM課題的實(shí)施始于1989年5月，至今已是第25年.

在中國(guó)自然辯證法研究會(huì)全國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)委員會(huì)的指導(dǎo)下，20多年來(lái)邊實(shí)驗(yàn)邊推廣，也取得了許多矚目的研究成果.

2006年10月，由吳勤文老師領(lǐng)題的《TEC教學(xué)實(shí)驗(yàn)》(MM實(shí)驗(yàn)子課題)又通過(guò)了以王梓坤院士為首的專家鑒定委員會(huì)的鑒定，其專著《TEC教學(xué)概論》[26]，又獲2006年新疆維吾爾自治區(qū)第七屆哲學(xué)社會(huì)科學(xué)優(yōu)秀成果一等獎(jiǎng)(自治區(qū)區(qū)政府頒發(fā)).同時(shí)，由科學(xué)出版社出版的專著《教學(xué)·研究·發(fā)現(xiàn)——MM方式演繹》[27]，獲2006年江蘇省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)優(yōu)秀成果三等獎(jiǎng)(省政府頒發(fā)).

2009年9月27日-10月2日全國(guó)第十屆數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研討會(huì)暨M(jìn)M課題實(shí)施20周年紀(jì)念活動(dòng)，在江蘇省無(wú)錫市舉行(圖8).開(kāi)幕式上還舉行了《數(shù)學(xué)方法論應(yīng)用傳播叢書(shū)》首發(fā)儀式[28].

圖8 九十高齡的徐利治教授宣布會(huì)議開(kāi)幕

開(kāi)幕式上，王梓坤院士專門發(fā)來(lái)了賀詞：MM數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)方法系國(guó)內(nèi)首創(chuàng)，是數(shù)學(xué)界的重要?jiǎng)?chuàng)新.它不僅有充足的理論依據(jù)，而且在相當(dāng)廣泛的范圍內(nèi)取得了很好的實(shí)際效果.通過(guò)20 周年紀(jì)念，MM 課題一定會(huì)更加完善，水平更加提高，并將取得更大的成績(jī)，為我國(guó)的數(shù)學(xué)教育和研究作出更多的新貢獻(xiàn).[29]

劉紹學(xué)教授還寫來(lái)了一封題為“祝賀MM實(shí)驗(yàn)二十年”的熱情洋溢的賀信：我第一次接觸MM 教學(xué)法是1997 年在武漢召開(kāi)的MM 教學(xué)交流會(huì)上、即是我做為數(shù)學(xué)通報(bào)主編了解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)情況的一次活動(dòng).雖然是第一次接觸，但MM教學(xué)方法的主張以及了解到的它的實(shí)踐活動(dòng)，卻給了我很深的印象, 以說(shuō)是“一見(jiàn)如故”. MM 教學(xué)法使我一下子就聯(lián)想到我的老師傅種孫先生的教學(xué).傅先生在我大三的時(shí)候(1949)給我們班講近世代數(shù)課.從小學(xué)到大學(xué)聽(tīng)過(guò)很多優(yōu)秀教師的課、名家的課，給我留下很深的印象.然而，聽(tīng)過(guò)一學(xué)期傅先生的課后，我就非常明確了：將來(lái)教書(shū)時(shí)，就要以傅先生的教學(xué)為榜樣，學(xué)習(xí)傅先生的教學(xué).

1997 年我寫過(guò)一篇小文，記敘我對(duì)傅先生教學(xué)的兩點(diǎn)印象：講體會(huì)，并在某些關(guān)鍵處想出“醒耳”的語(yǔ)言，畫(huà)龍點(diǎn)睛出自己的體會(huì).這是有時(shí)化力氣也不容易作到的.錢(學(xué)森)老在數(shù)十年后回憶他中學(xué)生活時(shí)，仍記得傅先生在課堂上講的一段話(大意)：“只要承認(rèn)這些前提，這些幾何定理就是對(duì)的.在地球上對(duì)，到了火星上仍然是對(duì)的”.我覺(jué)得，這是傅先生對(duì)公理法的深入理解和熱情贊賞，又很有想象力的采用絕妙語(yǔ)言去表達(dá).真是言者有意，聽(tīng)者有心.借用別人的體會(huì)，借用別人的語(yǔ)言，在教學(xué)中也會(huì)有好的效果.但那最多是講鄰家小孩的故事的效果，絕沒(méi)有講自己親生兒女的故事時(shí)那種親切感人的效果.關(guān)于自己的教學(xué)，我也曾這樣寫過(guò)，“應(yīng)該承認(rèn)，在課堂上有許多時(shí)候我是把數(shù)學(xué)作為‘神學(xué)’硬著頭皮搬給同學(xué)們的，對(duì)此我心中是有歉意的.多虧我的科研經(jīng)歷，它在很多情形下幫助我理解或設(shè)計(jì)出書(shū)上的定理是如何在人們的手中試驗(yàn)、摸索和制作出來(lái)的.當(dāng)學(xué)生們聽(tīng)著這樣的講述而面露會(huì)心微笑時(shí)，我最認(rèn)識(shí)到自己科研的價(jià)值和意義.”我確信，許多老師，特別是MM 教學(xué)方法的實(shí)踐者，都會(huì)與我有同樣的感受.

我認(rèn)為MM 教學(xué)法的主張和傅先生的實(shí)際教學(xué)的作為是一致的：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué).要深入理解教學(xué)內(nèi)容，要對(duì)教學(xué)內(nèi)容有感受有體會(huì)，雖然不能對(duì)所有內(nèi)容都作到這一點(diǎn)(這是很難作到的)，但一定是努力去作了.這是教好課的首要條件.

謹(jǐn)以此短文祝賀MM 課題實(shí)施二十年.(同[29]).

全國(guó)第十一屆數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研討會(huì)(下簡(jiǎn)稱PM11)于2012年9月27日-10月2日在黔西南州興義市召開(kāi)(圖9 http:∥www.5ishuxue.cn/).中國(guó)社科院哲學(xué)所林夏水研究員作了題為《數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)觀與MM教育方式》的報(bào)告，闡述了數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)方法論的一致性、MM教育方式蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)觀、MM教育方式體現(xiàn)一種新的數(shù)學(xué)教育觀.北京師范大學(xué)張英伯教授作了題為《法蘭西英才教育掠影》的報(bào)告.

圖9 美麗的金州和PM11大會(huì)開(kāi)幕式現(xiàn)場(chǎng)

圖10 PM11大學(xué)教師代表

金秋時(shí)節(jié)，丹桂飄香.在這收獲的日子里，來(lái)自全國(guó)MM方式實(shí)驗(yàn)基地、實(shí)驗(yàn)學(xué)校的老師和志愿者分別歡聚在興義市紅星路小學(xué)、興義市第五中學(xué)和賽文實(shí)驗(yàn)學(xué)校和興義民族師范學(xué)院，座談、欣賞和點(diǎn)評(píng)各地實(shí)驗(yàn)學(xué)校實(shí)驗(yàn)老師帶來(lái)的MM方式教學(xué)精彩的公開(kāi)課和觀摩研究課.這些研究課較好地展現(xiàn)了MM教育方式的特點(diǎn)和風(fēng)格，受到了與會(huì)代表的贊許和好評(píng)，也獲得了評(píng)課專家的充分肯定.興義民族師院數(shù)科院院長(zhǎng)彭光明教授深有感觸地說(shuō)：“全國(guó)第十一屆數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研討會(huì)選在興義市舉辦，這是我們的榮幸，是對(duì)我們的鼓勵(lì)和鞭策，我們將把握這次機(jī)會(huì)，給數(shù)學(xué)教學(xué)注入新的活力，給MM教育方式課題實(shí)驗(yàn)搭建更加廣闊的平臺(tái).” 圖10是大學(xué)代表在興義民族師院的合影.

3.2 MM方式在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用例

較早地把MM方式引進(jìn)高數(shù)教學(xué)研究的學(xué)校有湖北省襄陽(yáng)高等師范專科學(xué)校，即現(xiàn)在的襄樊學(xué)院.1993年在該校召開(kāi)了PM3，即第3屆Polya數(shù)學(xué)教育思想、數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育研討會(huì).當(dāng)時(shí)的青年教師魏躍春老師已晉升正教授，并走上了校級(jí)領(lǐng)導(dǎo)崗位(現(xiàn)任襄樊學(xué)院紀(jì)委書(shū)記).濮陽(yáng)教育學(xué)院，即現(xiàn)在的濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院于1998年正式拉開(kāi)了“數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)高等數(shù)學(xué)教學(xué)”實(shí)驗(yàn)研究的序幕.武漢教育學(xué)院(即現(xiàn)在的江漢大學(xué))，天津師大、山東省教育學(xué)院、天水師院等也緊緊跟上，相繼在武漢、天津、濟(jì)南、天水等地召開(kāi)了PM4、PM5、PM6等.如今，大學(xué)類別已由教育學(xué)院、師專發(fā)展到師范大學(xué)，理工科大學(xué)和綜合性大學(xué).他們用MM方式設(shè)計(jì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，出版了許多專著和研究論文.其單位與個(gè)人列舉一些如下：

① 濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，徐獻(xiàn)卿、紀(jì)保存、楊憲立、孔杰老師等早就開(kāi)始用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)高師數(shù)學(xué)教育改革，其子課題有MM(H)教育方式與概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)；鄭兆順教授指出，MM(HT)實(shí)驗(yàn)是高師數(shù)學(xué)教育改革的成功嘗試，注HT指高師[30-33].

② 云南師范大學(xué)信息傳播系，朱云東、羅濱、揚(yáng)建鋼、肖瀾楠老師等著重研究“MM教育方式與現(xiàn)代教育技術(shù)”[34].

③ 棗莊學(xué)院，從牛家驥教授到明清河、王兵教授等，長(zhǎng)期以來(lái)在高師數(shù)學(xué)方法論教學(xué)法的實(shí)踐與探索中積累了寶貴的經(jīng)驗(yàn)[35].

④ 梧州高等師范?？茖W(xué)校，鄒澤民教授，MM教育方式下常微分方程教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究[36].

⑤ 天水師范學(xué)院，侯維民，謝保利，王貴軍，何德明，用MM教育方式指導(dǎo)高師數(shù)學(xué)精品課程的建設(shè)，從數(shù)學(xué)方法論的觀點(diǎn)揭示高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)多種聯(lián)系；還有王三福，左衛(wèi)平等的子課題“關(guān)于分維概念的情境設(shè)置”[37-39].

⑥ 南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，朱鳳琴，大學(xué)數(shù)學(xué)的MM教育實(shí)踐及其認(rèn)識(shí)，其中有“微分中值定理的MM教學(xué)設(shè)計(jì)”等，這是MM方式用于工科數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的案例[40].

⑦ 隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系，陳安寧對(duì)中學(xué)新課標(biāo)與MM教育方式的比較研究[41].

⑧ 錦州醫(yī)學(xué)院畜牧獸醫(yī)學(xué)院，李占波，非線性教學(xué)設(shè)計(jì)下MM教育方式的課件設(shè)計(jì)[42].

⑨ 湖南師范大學(xué)數(shù)科院，崔登蘭，湖南城市學(xué)院，成紅艷對(duì)MM教育方式與高師解析幾何教學(xué)的研究[43].

⑩ 通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，李春華，王煜等，論高師院校的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也應(yīng)實(shí)施MM教育方式[44].

由MM數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)所確定的MM教育方式起始于江蘇無(wú)錫的三所普通高中和一所職業(yè)中學(xué).那么它為什么會(huì)推廣應(yīng)用到全國(guó)，并且適用于高等學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)改革呢？正如中國(guó)社科院哲學(xué)所林夏水研究員所說(shuō)：MM 教育方式雖然是數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育結(jié)合的產(chǎn)物, 但它卻蘊(yùn)涵多種數(shù)學(xué)觀, 表明它具有深刻的哲理根據(jù)；同時(shí)也說(shuō)明它體現(xiàn)一種新的數(shù)學(xué)教育觀. 這就是它具有強(qiáng)大生命力的原因所在：這就是MM 教育方式能夠由無(wú)錫傳遍祖國(guó)大江南北、港澳臺(tái), 甚至走上國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)講臺(tái), 介紹、宣傳MM 教育方式的根本原因(同[6]).

注:數(shù)學(xué)方法論(MM)原為全國(guó)教育科學(xué)(八五)規(guī)劃課題(教科規(guī)辦1991-13號(hào))，江蘇省教育科學(xué)九五規(guī)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(蘇教科規(guī)重字九五018號(hào))，其后續(xù)研究也被立項(xiàng)為江蘇省和其他省(市、自治區(qū))教育科學(xué)十五、十一五、十二五青年專項(xiàng)課題或重點(diǎn)項(xiàng)目.

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