徐業(yè)基

(復(fù)旦大學(xué)管理學(xué)院統(tǒng)計系，上海200433)

設(shè)齊次隨機場{x(m,n)}是含有兩個取整數(shù)值m,n的齊次隨機場，Ex(m,n)=0，它的線性預(yù)測問題的一般提法是：設(shè)T及T′是平面上格子點的兩個集合，當(dāng)(m,n)∈T時，{x(m,n)}值已觀察到，而當(dāng)點(m′,n′)∈T′時，{x(m′,n′)}值未知，現(xiàn)在要以已觀察到的值的線性組合及均方意義下的極限去預(yù)測未觀察到的值{x(m′,n′),(m′,n′)∈T′}，使均方誤差最小.熟知，其預(yù)測值是PHx(T)x(m′,n′)，其中P是正交投影算子，Hx(T)是由{x(m,n),(m,n)∈T}所張成的線性閉包.

江澤培[1,2]首先研究了半平面的線性預(yù)測理論(即T={(m,n),-∞

引理1[1,2]設(shè)齊次隨機場{x(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度為fx(λ,μ)，且為垂直正則

dZx(λ,μ)是{x(m,n)}的隨機譜測度，則

(1)

(2)

(3)

(4)

若進一步設(shè)f(λ,μ)有正的上、下界，則

(5)

引理2[4]設(shè)齊次隨機場{x(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fx(λ,μ)有正的上、下界，則預(yù)測問題6(1) (即T={(m,n),-∞

(6)

(7)

(8)

{φ(λ)}由下列式?jīng)Q定

(9)

(10)

又預(yù)測問題6(1)線性預(yù)測x(m,n)， (n≥1)，其預(yù)測值為

(11)

引理3[5]設(shè)H1是Hilbert空間，H2是H1中的一個子空間，x,y∈H1.若x-y正交于y及H2，則‖x-y‖≤‖x-PH2x‖，且這式等號成立的充分必要條件是y=PH2x.

引理4(Neumann) 設(shè)P1,P2及P分別是Hilbert空間M1,M2及δ(M1,M2)的正交投影算子，其中δ(M1,M2)是由M1,M2所張成的線性閉包，則

P1+P2-P2P1，P1+P2-P2P1-P1P2+P1P2P1，

P1+P2-P2P1-P1P2+P1P2P1+P2P1P2-P2P1P2P1…

強收斂于P.

定理1設(shè)齊次隨機場{x(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fx(λ,μ)有正的上、下界，則預(yù)測問題22(m′)(即T={(m,n),m≤0或n≤0}{(m′,0)}(m′>0)T′22(m′))線性預(yù)測x(m′,0)的預(yù)測值為

(12)

其中

(13)

預(yù)測誤差為δ22(m′)：

(13′)

用以上方法可計算P1P2P1,P2P1P2，…，一起代入，即證明定理1.

(14)

證作x(m,n)=y(n,m)，則x(m,n)仍為齊次隨機場，譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fx(λ,μ)=fy(μ,λ)，且有正的上、下界，隨機譜測度dZx(λ,μ)=dZy(μ,λ)，再由定理1知

定理2證畢.

定理3設(shè)齊次隨機場{y(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fx(λ,μ)為正，且有界，則預(yù)測問題23線性預(yù)測x(m′,0)的預(yù)測值為

(15)

其中Hx(T23)是由{x(m,n),m≥1,n≥1}所張成的線性閉包，而預(yù)測誤差為

(16)

(17)

(18)

證由正交投影的性質(zhì)知，當(dāng)(m,n)∈T23時

(19)

再由

得

(20)

(21)

結(jié)合(20),(21)得

(22)

(23)

qm,n=pm,nqm′,0(m,n)∈T22(m′),

(23′)

則容易驗證qm′,0{qm,n}滿足關(guān)系式

(24)

又記

(25)

(26)

則有

事實上，若qm′,0≠0，則

即知E|Q|2<∞.若qm′,0=0，則

關(guān)于x(m′,0)-Q與Q及Hx(T23)的正交性可直接由Q的定義來驗證.

下面記HQ是(23),(23′),(25)中變動{pm,n}所得的Q全體，對HQ中任意一個元素Q，若qm′,0≠0，則

若qm′,0=0,則由qm′,0的定義得

由此推出

(28)

結(jié)合(22)與(28)式，即證得(16).

(29)

定理4設(shè)齊次隨機場{y(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fy(λ,μ)有正的上、下界，記Zy(λ,μ)是{y(m,n)}的隨機譜函數(shù)，則預(yù)測問題23線性預(yù)測y(m′,0) (m′>0)的預(yù)測誤差為

(30)

其中δ22(m′)是譜密度為fx(λ,μ)的齊次隨機場{x(m,n)}的預(yù)測問題22(m′)線性預(yù)測x(m′,0)的預(yù)測誤差，由定理1中的(13′)決定.

預(yù)測值為

(31)

(32)

(33)

(34)

利用上面的結(jié)果及方法，即可證明定理4.

定理5設(shè)齊次隨機場{x(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fx(λ,μ)有正的上、下界，則預(yù)測問題23線性預(yù)測x(0,m′) (m′>0)的預(yù)測值為

(35)

結(jié)合定理4，證法類似定理2，故證明從略.

今后我們稱PHx(T23)x(0,0)為頂一步預(yù)測值，PHx(T23)x(m′,0) (m′>0)為右一步預(yù)測值，PHx(T23)x(0,m′) (m′>0)為左一步預(yù)測值.它們總稱為一步預(yù)測值.下面我們討論二步預(yù)測問題，即要求得PHx(T23)x(-1,-1) (頂二步預(yù)測值)，PHx(T23)x(m′,-1) (m′≥0) (右二步預(yù)測值)，PHx(T23)x(-1,m′) (m′≥0) (左二步預(yù)測值).它們總稱為二步預(yù)測值.我們定義推移算子U-1為U-1x(m,n)=x(m-1,n),V-1為V-1x(m,n)=x(m,n-1).

定理6設(shè)齊次隨機場{x(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fx(λ,μ)有正的上、下界，則預(yù)測問題23線性預(yù)測x(-1,-1)的預(yù)測值(預(yù)二步預(yù)測值)為

(36)

(37)

證預(yù)測問題23線性預(yù)測x(0,0)的預(yù)測值為

(38)

(39)

再結(jié)合(38)得

(40)

故結(jié)合(38),(39),(40)及定理4，定理5得

PHx(T23)x(-1,-1)

定理6證畢.

定理7設(shè)齊次隨機場{x(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fx(λ,μ)有正的上、下界，則預(yù)測問題23線性預(yù)測x(m′,-1),m′≥0的預(yù)測值(右二步預(yù)測值)為

(42)

(43)

證明類似于定理6的證明，故從略.

定理8設(shè)齊次隨機場{x(m,n)}的譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度fx(λ,μ)有正的上、下界，則預(yù)測問題23線性預(yù)測x(-1,m′),m′≥0的預(yù)測值(左二步預(yù)測值)為

(44)

證法類似于定理2，故從略.

注 由定理6，定理7，定理8，我們求得了預(yù)測問題23的二步預(yù)測值，從而以此類推，同法可求得任意步預(yù)測值.

(45)

(46)

證作x(m,n)=y(-m,-n)，則{x(m,n)}仍為齊次隨機場，譜函數(shù)絕對連續(xù)，譜密度f(λ,μ) =f(-λ,-μ)，隨機譜測度dZk(λ,μ)=dZy(-λ,-μ)，

定理9證畢.

[參 考 文 獻]

[1] CHIANG T P. On linear extrapolation of a discrete homogeneous field[J]. Dokl. Nauk SSSR, 1957, 112: 207-210.

[2] 江澤培.平穩(wěn)隨機場的預(yù)測理論(I)：半平面預(yù)測[J].北京大學(xué)學(xué)報，1989，25(1): 25-50.

[3] 徐業(yè)基.具有離散參數(shù)齊次隨機場的線性預(yù)測(X)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯,2002，12(1):74-82.

[4] 徐業(yè)基.具有離散參數(shù)齊次隨機場的線性預(yù)測(XIII)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2005，21(2)：172-179.

[5] 徐業(yè)基.具有離散參數(shù)齊次隨機場的線性預(yù)測(II)[J].復(fù)旦學(xué)報，1983，22(3)：307-315.

[6] 徐業(yè)基.具有離散參數(shù)齊次隨機場的線性預(yù)測與馬氏性(III)[J].科學(xué)研究月刊，2007，31(7)：57-59.

[7] 徐業(yè)基.具有離散參數(shù)齊次隨機場的線性預(yù)測與馬氏性(V)[J].科學(xué)研究月刊，2008，45(10)：67-72.