司 林

(北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京100083)

1 引 言

判斷一個(gè)向量組的線性關(guān)系(即線性相關(guān)還是線性無關(guān)),一方面可以考慮用定義，把問題轉(zhuǎn)換為判斷相關(guān)方程組是否有非零解，另外的常用方法就是應(yīng)用下面的定理：

定理1[1]設(shè)α1,α2,…,αt與β1,β2,…,βs是兩個(gè)向量組.如果

(i) 向量組α1,α2,…,αt可以經(jīng)β1,β2,…,βs線性表出；

(ii)t>s，

那么向量組α1,α2,…,αt必線性相關(guān).

上面的定理在判斷向量組的線性關(guān)系時(shí)起著很重要的作用，與它等價(jià)的一個(gè)命題則給我們提供了比較向量個(gè)數(shù)的重要方法，即

定理2[1]設(shè)α1,α2,…,αt與β1,β2,…,βs是兩個(gè)向量組.如果

(i)向量組α1,α2,…,αt可以經(jīng)β1,β2,…,βs線性表出，

(ii)向量組α1,α2,…,αt線性無關(guān)，

那么t≤s.

事實(shí)上，定理2只是與定理1等價(jià)的眾多命題中的一個(gè)，當(dāng)然也是常用到的重要的一個(gè).

在本文中，我們從命題邏輯的角度分析了定理1的結(jié)構(gòu)，不論是定理1還是定理2，它們較在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中碰到的一般數(shù)學(xué)命題的結(jié)構(gòu)都要復(fù)雜一些.在分析定理1的邏輯結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，討論了所有與它等價(jià)的命題，其中也包括了定理2.我們認(rèn)為本文中的分析方法對(duì)于人們很好的理解其它復(fù)雜結(jié)構(gòu)的命題也是有益的.

2 定理1的邏輯結(jié)構(gòu)及其等價(jià)命題

把上面定理1中的簡(jiǎn)單命題抽取出來[2]，并且記

p：向量組α1,α2,…,αt可以經(jīng)β1,β2,…,βs線性表出；

q：向量組α1,α2,…,αt中所含向量的個(gè)數(shù)大于向量組β1,β2,…,βs中所含向量的個(gè)數(shù)；

r：向量組α1,α2,…,αt線性相關(guān).

注1 (i)以上面文字表述的以q代表的命題替代了定理1中的條件(ii)t>s；

(ii)向量組α1,α2,…,αt與向量組β1,β2,…,βs中所含向量的維數(shù)相同.

下面利用命題邏輯中的等值演算來更為一般的揭示與定理1等價(jià)的命題.

情況Ⅰ 由于

這樣可得與定理1等價(jià)的如下命題.

命題1設(shè)α1,α2,…,αt與β1,β2,…,βs是兩個(gè)向量組.如果向量組α1,α2,…,αt可以經(jīng)β1,β2,…,βs線性表出，那么向量組α1,α2,…,αt中所含向量個(gè)數(shù)小于等于向量組β1,β2,…,βs中所含向量個(gè)數(shù)或者向量組α1,α2,…,αt線性相關(guān).

注2 在此處用到的邏輯聯(lián)接詞“∨”是“相容或”，亦即如果復(fù)合命題p∨q為真，則有三種情況發(fā)生：(i)命題p為真；(ii)命題q為真；(iii)命題p與命題q均為真.

這樣的話，在命題1中結(jié)論“向量組α1,α2,…,αt中所含向量個(gè)數(shù)小于等于向量組β1,β2,…,βs中所含向量個(gè)數(shù)或者向量組α1,α2,…,αt線性相關(guān)”也就蘊(yùn)含了三種情況：

(i)向量組α1,α2,…,αt中所含向量個(gè)數(shù)小于等于向量組β1,β2,…,βs中所含向量個(gè)數(shù)；

(ii)向量組α1,α2,…,αt線性相關(guān)；

(iii)向量組α1,α2,…,αt中所含向量個(gè)數(shù)小于等于向量組β1,β2,…,βs中所含向量個(gè)數(shù)并且向量組α1,α2,…,αt線性相關(guān).

在后面涉及的諸多命題中，如果結(jié)論以“或”相連接，也會(huì)有三種相應(yīng)的情況，我們不再一一說明.另外，等值演算的具體過程也將被略去.

命題2設(shè)α1,α2,…,αt與β1,β2,…,βs是兩個(gè)向量組.如果向量組α1,α2,…,αt中所含向量個(gè)數(shù)大于向量組β1,β2,…,βs中所含向量個(gè)數(shù)，那么向量組α1,α2,…,αt不能由向量組β1,β2,…,βs線性表出或者向量組α1,α2,…,αt線性相關(guān).

命題3設(shè)α1,α2,…,αt與β1,β2,…,βs是兩個(gè)向量組.如果向量組α1,α2,…,αt線性無關(guān)，那么向量組α1,α2,…,αt中所含向量個(gè)數(shù)小于向量組β1,β2,…,βs中所含向量個(gè)數(shù)，或者向量組α1,α2,…,αt不能由向量組β1,β2,…,βs線性表出.

命題4設(shè)α1,α2,…,αt與β1,β2,…,βs是兩個(gè)向量組.如果向量組α1,α2,…,αt可以經(jīng)β1,β2,…,βs線性表出且向量組α1,α2,…,αt線性無關(guān)，那么向量組α1,α2,…,αt中所含向量個(gè)數(shù)小于或等于向量組β1,β2,…,βs中所含向量個(gè)數(shù).

注3 命題4即為上面的定理2.

可以像上面所做的那樣不斷地對(duì)定理1對(duì)應(yīng)的命題公式作等值演算，這樣可以得到眾多的等價(jià)命題，其中有一些是乏味的，如命題3.另外也有一些命題是很有意義的，如命題4.通過這樣的演算，對(duì)兩個(gè)重要的常用結(jié)果(即上文中的定理1和定理2)的結(jié)構(gòu)有了更清晰的認(rèn)識(shí)，也可以更好地把握它們之間的聯(lián)系.

3 結(jié) 論

一般來講，分析命題的結(jié)構(gòu)的常用方法就是考慮它們的逆命題，否命題，以及最重要的逆否命題.這樣的方法對(duì)于分析簡(jiǎn)單的命題結(jié)構(gòu)，特別是p→q,即“如果…,那么…”型的命題是有效的.但在高等數(shù)學(xué)里所處理的一些重要命題(如第一節(jié)的定理1，定理2)一般結(jié)構(gòu)要復(fù)雜些，這時(shí)考慮用簡(jiǎn)單的數(shù)理邏輯的方法來分析它們的結(jié)構(gòu)，分析命題間的內(nèi)在聯(lián)系就很方便了.

注4 本文僅以命題邏輯為工具對(duì)特定的一些命題做了分析.另外，如有必要，也可以考慮用謂詞邏輯作更為精細(xì)但也更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析，在此不再舉例

致謝本文是作者于2012.9-2013.9期間在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院訪問時(shí)完成的，在此作者非常感謝北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院宗傳明教授一貫的支持和幫助.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 王萼芳，石生明修訂． 高等代數(shù) [M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2003:123-125．

[2] 屈婉玲，耿素云，張立昂． 離散數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2008:16-38．