郭樹起 孔艷平 楊紹普

(1．石家莊鐵道大學(xué)工程力學(xué)系，石家莊 050043)(2．石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械學(xué)院，石家莊 050043)

簡支梁移動質(zhì)量響應(yīng)分析*

郭樹起1?孔艷平1楊紹普2

(1．石家莊鐵道大學(xué)工程力學(xué)系，石家莊 050043)(2．石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械學(xué)院，石家莊 050043)

隨著行車速度與交通量不斷增加，荷載不斷加重，橋梁的移動荷載響應(yīng)越來越得到人們的重視．考慮移動車輛的慣性效應(yīng)與橋梁的阻尼效應(yīng)時，需要把車輛荷載簡化為移動質(zhì)量進(jìn)行研究，這時得到的控制方程是變系數(shù)偏微分方程，在數(shù)學(xué)上通常難以精確求解．經(jīng)分離變量與模態(tài)疊加后，化為變系數(shù)常微分方程組．本文利用WKB法，得到了近似的動力學(xué)響應(yīng)，并與數(shù)值解、移動常力、Inglis解進(jìn)行了比較．

簡支梁， 移動質(zhì)量， WKB法

引言

隨著行車速度的不斷提高，交通密度的不斷增加，荷載的不斷的加重，移動荷載與結(jié)構(gòu)的動力相互作用問題越來越得到人們的重視．常見的移動荷載模型有移動力、移動質(zhì)量和移動車輛．移動荷載與均勻的各向同性的材料及其結(jié)構(gòu)的耦合動力學(xué)的研究有很長的歷史和很多文獻(xiàn)．Flyba的專著匯集了前人的工作，進(jìn)行了系統(tǒng)的理論分析研究，對近后續(xù)學(xué)術(shù)研究產(chǎn)生了巨大的影響［1－2］．我國科學(xué)工作者也走在本領(lǐng)域的前列，著名學(xué)者有:北京交通大學(xué)的夏禾，東南大學(xué)的鄧學(xué)鈞和孫璐［3］，鐵道科學(xué)研究院的潘家英和高芒芒［4］，同濟(jì)大學(xué)李國豪院士［5］，臺灣的楊永斌教授［6］．還有西北大學(xué)的宋一凡教授［7］，西南交通大學(xué)的翟婉明教授［8］，鄭州的李廣慧在無碴軌道軌道方面的工作［9］，湖南大學(xué)的陳政清［10］，均在在本領(lǐng)域做了大量的工作并有專著出版．這些專著中引用了大量的文獻(xiàn)，評述了本領(lǐng)域?qū)W術(shù)發(fā)展概況．

文獻(xiàn)中對于移動常力的情況進(jìn)行了詳盡的研究，但對于移動質(zhì)量、移動車輛等更復(fù)雜的情形，由于問題的復(fù)雜性，通常采用數(shù)值仿真的方法．本文則利用改進(jìn)的WKB［11－12］法，得出了此問題的近似解，并與移動常力解、Inglis解、數(shù)值仿真進(jìn)行了比較．分析計(jì)算表明，本文得到的解析解具有更高的精度，精度明顯高于Inglis解、移動常力解．

1 控制方程

當(dāng)有移動質(zhì)量存在時，歐拉-伯努利梁的控制方程為

其中移動質(zhì)量M1以勻速V在梁上通過，式中圓括號內(nèi)第一項(xiàng)表示車輛所在位置橋梁振動的豎向加速度，后面兩項(xiàng)對橋梁的阻尼與剛度有所影響，一般可以忽略不計(jì)［12］．因此考慮移動荷載的質(zhì)量的簡支梁動力平衡方程簡化為

圖1 簡支梁上移動質(zhì)量示意圖Fig．1 The schematic diagram of simple supported beam under the moving mass

對簡支梁按照振型分解，即

由于有無窮個變量，而且互不獨(dú)立，難于解析求解．在此采用改進(jìn)的WKB法［12－13］求解此方程的近似解．由于式(4)各個模態(tài)之間耦合．難以求得解析解．因此轉(zhuǎn)而求近似解．略去除耦合項(xiàng)，即略去質(zhì)量矩陣的非主對角線元素，此時式(4)變?yōu)?/p>

一般來說，考慮第一階模態(tài)就有很好的精度，即使對于移動常力的情況，通常也只取第一階模態(tài)．這時不存在模態(tài)耦合問題，式(4)與式(5)相同．

首先無量綱化，令

則式(5)變?yōu)?/p>

我們首先考慮無阻尼的情形．

2 無阻尼情形

若阻尼等于零，即ξ=0，控制方程化為

根據(jù)改進(jìn)的WKB法，取其次方程的一階近似解

則根據(jù)常數(shù)變易法可以得到自由振動解為

其中φi1與φi2如式(9)所示．實(shí)際中一般取一階模態(tài)，即

可見隨著ρM的增加，撓度也跟著增加．隨著無量綱Ω值的減弱，撓度也迅速增加．從Ω的定義可以知道，移動質(zhì)量的行走速度增加可以減弱Ω的值，對于式(13)，仍難以寫為簡單函數(shù)的表達(dá)式．對于ρM＜1的情形，我們可以式(10，12)中的積分進(jìn)行對ρM泰勒展開為收斂級數(shù)．當(dāng)ρM＞1時，泰勒展開的級數(shù)收斂性難以判定．注意到

其中h是新的常數(shù)，定義為

參數(shù)h表示了移動質(zhì)量與系統(tǒng)總質(zhì)量的比值，其范圍在0與1之間變化．φn1、φn2、Fn與pn均可用此參數(shù)展開．但是由于系統(tǒng)的解與ρM成正比，因此Fn分子上的ρM不必用h展開．這樣可以假設(shè)pn(τ)的形勢如下

通常只需要計(jì)算第一階模態(tài)所對應(yīng)的p1(τ)

隨著階數(shù)的增高，pni的表達(dá)式變得復(fù)雜．?dāng)?shù)值解表明，計(jì)算前第一階振型的前3項(xiàng)即可．經(jīng)過計(jì)算得到式(17)中的pn0(τ)、pn1(τ)與pn2(τ)計(jì)算結(jié)果如下

其中Acn、Asn與Atn如式(22 ～24)所示

當(dāng)n=1時化為式(18)中的系數(shù)．顯然當(dāng)h為0，則上述解化為移動常力的解．取式(18)中取前三項(xiàng)，簡支梁的移動質(zhì)量響應(yīng)可以近似表達(dá)為

3 WKB解、移動常力解、Inglis解與數(shù)值解比較

將h=0帶入式(31)得到移動常力的第一階振動表達(dá)式

圖2 不同ρ值的簡支梁跨中撓度曲線Fig．2 The deflection curve of simple supported beam at midspan with different value of ρ

圖3 不同Ω值的簡支梁跨中撓度曲線Fig．3 The deflection curve of simple supported beam at midspan with different value of Ω

圖4 WKB解、Inglis解、移動常力解與數(shù)值解比較Fig．4 The deflection curve of simple supported beam at midspan for four solutions

圖5 阻尼存在時WKB解、Inglis解、移動常力解與數(shù)值解比較Fig．5 The deflection curve of simple supported beam at midspan for four solutions with damping

4 有阻尼時的情形

此時這樣pn(τ)就在無阻尼解的基礎(chǔ)上再加上阻尼的影響．設(shè)不考慮移動物體的慣性影響時，相應(yīng)的解為 ρMDn(ξn，τ)，且容易求出．計(jì)算表明，當(dāng)阻尼為零時，ρMDn(ξn，τ)化為移動常力的解．那么在上兩節(jié)解的基礎(chǔ)上疊加ρMDn(ξn，τ)可以得到有阻尼時的近似解．即此時有第n階pn(τ)的一般表達(dá)式可以假設(shè)設(shè)為

通常只需要計(jì)算第一階模態(tài)p1(τ)，其形式表述為

隨著階數(shù)的增高，pn的表達(dá)式變得非常冗長．若在pni(τ)中計(jì)入阻尼的影響，可以增加精度，但表達(dá)式過于繁瑣．復(fù)雜計(jì)算與數(shù)值仿真表明，若要在高階項(xiàng)中考慮阻尼的影響，需考慮其他方法．

經(jīng)過計(jì)算得到式(35)中的的系數(shù)表達(dá)式，再令n=1，立即得到第一階振型的表達(dá)式．pn1、pn2表達(dá)式已經(jīng)在前面給出．本節(jié)則給出Dn(ξn，τ)的表達(dá)式．對于弱阻尼0 ＜ξn＜1，有:

再令n=1，即得D1(ξ1，τ)表達(dá)式．?dāng)?shù)值仿真與本節(jié)解析解的比較如圖5、6所示，可以看出，在在較小阻尼與Ω時，WKB解具有很好的精度．

5 結(jié)論

采用WKB法，得到了簡支梁移動質(zhì)量響應(yīng)的解析解．通過與數(shù)值解、Inglis解的比較，得出以下結(jié)論．

1)當(dāng)簡支梁阻尼可以忽略時，即使移動荷載的質(zhì)量是簡支梁的數(shù)倍，WKB解仍然與數(shù)值解符合的很好，通常優(yōu)于Inglis解與移動常力解．

2)當(dāng)考慮簡支梁的弱阻尼時，WKB解與數(shù)值解符合的較好，尤其是在無量綱頻率小于1時．

3)簡支梁移動質(zhì)量的位移響應(yīng)隨著的增加而增加，隨著無量綱頻率的增加而降低．大量數(shù)值仿真表明，當(dāng)阻尼、移動質(zhì)量與無量綱頻率 過大時，WKB法精度稍有降低．

1 Fryba L．Vibrations of solids and structures under moving loads．Academia，Prague，Noordhoff International Publishing，Groninggen，1972

2 Fryba L．Dynamics of railway bridges，Publisher:Thomas Telford，1996

3 鄧學(xué)鈞，孫璐．車輛－地面結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)．北京:人民交通出版社，1998(Deng X J，Sun L．Vehicle－ground structure system dynamics，Beijing:People Jiaotong Press，1998(in chinese))

4 潘家英，高芒芒．鐵路車－線－橋系統(tǒng)動力分析．北京:中國鐵道出版社，2008(Pan J Y，Gao M M．Railway vehicle－line－bridge system dynamics．Beijing:China Railway Press，2008(in Chinese))

5 李國豪．橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動(第二版)．北京:中國鐵道出版社，2003年 (Li G H．The stability and vibrations of bridges(The second edition)．Beijing:China Railway Press，2003(in Chinese))

6 Yang Y B，Yau J D，Wu Y S．Vehicle－bridge interaction dynamics with application to high－speed railways．Singapore:World Scientific Publishing，2004

7 宋一凡．公路橋梁動力學(xué)．北京:人民交通出版社，2000(Song Y F．Highway bridge dynamics．Beijing:Jiaotong Press，2000(in Chinese))

8 翟婉明．車輛－軌道耦合動力學(xué)(第三版)．北京:中國鐵道出版社，2007(Zhai W M．Vehicle－rail coupling dynamics(Third edition)．Beijing:China Railway Press，2007(in chinese))

9 李廣慧．車輛－無碴軌道－橋梁系統(tǒng)振動特性及其應(yīng)用．鄭州:黃河水利出版社，2007(Li G H．The vibrational properties and it applications of Vehicle－ballastless－trackbridge systems．Zhengzhou:Yellow River Water Conservancy Press，2007(in Chinese))

10 陳政清，華旭剛．人行橋的振動與動力設(shè)計(jì)．北京:人民交通出版社，2009(Chen Z Q，Hua X G．Vibration and dynamical design of pedestrian bridges．Beijing:People＇s Jiaotong Press，2009(in Chiness))

11 Guo S Q，Yang S P．Free longitudinal vibrations of non－uniform Rods．Science China Technological Sciences，2011，54(10):2735～2745

12 Guo S Q，Yang S P．Wave Motions in nonuniform one Dimensional Waveguides．Journal of Vibration and Control，2012，18(1):192～100

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11072157，11272219，11227201，10932006)and the National Basic Research Program of China 973 program(2012CB723301)

? Corresponding author E－mail:guoshuqi@stdu．edu．cn

ANALYSIS OF THE DYNAMIC RESPONSE OF A SIMPLE SUPPORTED BEAM UNDER A MOVING MASS*

Guo Shuqi1?Kong Yanping1Yang Shaopu2
(1．Shijiazhuang Tiedao University，Engineering Mechanics Department，Shijiazhuang050043，China)(2．Shijiazhuang Tiedao University，Mechanical School，Shijiazhuang050043，China)

With increasing vehicle speed，traffic volume and axle load，the dynamic response of bridges under moving loads have attracted more and more attentions．In this paper，the vehicle load is simplified as moving mass，i．e．considering the inertia of the vehicle．Then the governing equation is partial differential equations with variable coefficients，which difficult to deal with in math．Using the method of separation of variables and mode superposition，the equations are reduced as ordinary differential equations with variable coefficients．By the modified WKB method，the approximate dynamical response is obtained．

simple supported beam， moving mass， WKB method

24 June 2012，

28 November 2012．

10．6052/1672－6553－2013－052

2012－06－24 收到第 1 稿，2012－11－28 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金(11072157，1272219，1227201，10932006)，國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃973項(xiàng)目(2012CB723301)資助項(xiàng)目

E－mail:guoshuqi@stdu．edu．cn