李自剛 李明 江俊

(1．西安交通大學(xué)，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)(2．西安科技大學(xué)力學(xué)系，西安 710054)

不對中聯(lián)軸器－柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為*

李自剛1?李明2江俊1

(1．西安交通大學(xué)，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)(2．西安科技大學(xué)力學(xué)系，西安 710054)

主要研究了在滑動軸承支承下轉(zhuǎn)子間具有平行不對中故障的柔性聯(lián)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為．首先，在考慮到聯(lián)軸器的連接剛度后，基于兩轉(zhuǎn)子間運(yùn)動的幾何關(guān)系和位移約束條件推導(dǎo)了在非線性油膜力作用下平行不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，理論分析表明該系統(tǒng)是一個含有時(shí)變系數(shù)和強(qiáng)非線性特征的11自由度非自治系統(tǒng)．然后采用數(shù)值方法重點(diǎn)分析了系統(tǒng)的非線性振動特性，例如，系統(tǒng)的軸心軌跡、頻譜相應(yīng)，Poincaré截面等．結(jié)果表明:在較低轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子的渦動軌跡在較小的范圍內(nèi)作同步振蕩;隨著轉(zhuǎn)速的提高，系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分叉現(xiàn)象，以及準(zhǔn)周期、混沌運(yùn)動等復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為．最后討論了聯(lián)軸器的連接剛度對系統(tǒng)運(yùn)動特性的影響．

轉(zhuǎn)子不對中， 聯(lián)軸器剛度， 約束關(guān)系， 非線性油膜力

引言

轉(zhuǎn)子不對中是引起機(jī)械故障最為重要的原因之一．據(jù)報(bào)道，在所測得的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障中，60%是由轉(zhuǎn)子的不對中引起的［1］．因此研究不對中聯(lián)軸器－柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)行為對系統(tǒng)的故障診斷和狀態(tài)監(jiān)測具有重要的理論及工程意義．

多年來，國內(nèi)外研究學(xué)者對具有平行不對中故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)問題已做了大量研究，取得了一些重要的研究成果．例如，文獻(xiàn)［2］利用有限元法分析了一個簡化的不對中轉(zhuǎn)子模型，并指出二倍頻分量是這類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征頻率．進(jìn)入二十世紀(jì)后，隨著日益增長的工業(yè)和國防建設(shè)需求，各種新型飛行器、車輛、艦船的出現(xiàn)，以致轉(zhuǎn)子趨于大型、高速、重載，而轉(zhuǎn)子與定子間的間隙卻相對縮小，因此不對中引起的各種振動也就變得更加嚴(yán)重．在文獻(xiàn)［3］中，Al－Hussain 采用 Lagrange方法分析了由一個不對中的剛性聯(lián)軸器連接的兩個Jeffecott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性，其中的不對中效應(yīng)主要體現(xiàn)在系統(tǒng)的彈性力上，而在系統(tǒng)的動態(tài)力中未予以考慮，因此系統(tǒng)的動力學(xué)方程中只存在彈性耦合，而慣性項(xiàng)是解耦的;而文獻(xiàn)［4］通過分析剛性聯(lián)軸器的不對中問題，建立了剛度隨時(shí)間變化的線性系統(tǒng)模型;文獻(xiàn)［5－6］考慮到轉(zhuǎn)子剛度的非對稱和圓盤的不平衡等因素后，分別研究了轉(zhuǎn)子不對中和軸承不對中系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為．近年來，一些學(xué)者則更加關(guān)注于振動信號中的諧波響應(yīng)．文獻(xiàn)［7］通過分析軸心軌跡和頻譜圖的特點(diǎn)，揭示了不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一些非線性動力學(xué)行為;文獻(xiàn)［8］則利用解析和數(shù)值的方法分別分析了一個在彈性支撐下具有完整約束的不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，結(jié)果表明，在系統(tǒng)響應(yīng)中不僅存在與不平衡響應(yīng)一致的工頻成分，還存在著倍頻以及組合頻率的振動分量;在文獻(xiàn)［9］中，作者重點(diǎn)對具有軸承不對中故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)做了研究;而文獻(xiàn)［10］從試驗(yàn)的角度分析了不對中對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特征．

上述研究重點(diǎn)討論了在非線性油膜力作用下不對中剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)問題，其中相鄰轉(zhuǎn)子間的位移約束關(guān)系往往被忽略，而這種約束對系統(tǒng)整體的動力學(xué)行為有時(shí)起著相當(dāng)大的作用．文獻(xiàn)［11－12］考慮了兩個轉(zhuǎn)子間位移不對中約束關(guān)系，建立了多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型．本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了轉(zhuǎn)子間的運(yùn)動幾何關(guān)系和聯(lián)軸器連接剛度，重點(diǎn)探討該柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為，以及同時(shí)具有平行不對中和質(zhì)量不平衡這兩種故障時(shí)系統(tǒng)的非線性振動特征．

1 不對中聯(lián)軸器－柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

1．1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1為在滑動軸承支承下柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖．由于聯(lián)軸器的制造精度或安裝誤差，其相鄰轉(zhuǎn)子的軸線存在不對中偏移，并且兩轉(zhuǎn)子在運(yùn)動過程中保持大小不變的不對中量d．為方便問題的討論，現(xiàn)作如下基本假設(shè):1)轉(zhuǎn)子間不對中量為小量;2)轉(zhuǎn)子及圓盤近似做平面運(yùn)動．圖中m、M分別為軸頸和圓盤的集中質(zhì)量;xi、yi為質(zhì)量集中點(diǎn)的坐標(biāo);k為轉(zhuǎn)子剛度;a為圓盤的質(zhì)量偏心;Ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度，t為時(shí)間．

圖1 不對中聯(lián)軸器－柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)Fig．1 Mechanical model of a flexible misaligned－rotor system

圖2為通過4個銷釘連接的不對中聯(lián)軸器的運(yùn)動受力圖．假設(shè)在初始狀態(tài)下，兩轉(zhuǎn)子在x方向存在不對中偏差，如圖2(a)所示．其中，Rj為第1個轉(zhuǎn)子上聯(lián)軸器中心到第j個銷釘?shù)木嚯x;r為第2個轉(zhuǎn)子上銷釘?shù)倪\(yùn)動半徑．

當(dāng)兩轉(zhuǎn)子1和轉(zhuǎn)子2分別繞其軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖2(b)所示，轉(zhuǎn)子1上第j個銷釘在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)能夠表示為

圖2 不對中聯(lián)軸器運(yùn)動形式Fig．2 Orientation of the misaligned coupling

1．2 運(yùn)動方程

由于平行不對中量的存在兩轉(zhuǎn)子之間的位移是相互耦合的，其約束關(guān)系可以表示為

基于分析力學(xué)理論，上式為一完整約束關(guān)系，可設(shè)

同樣，轉(zhuǎn)子2上第j個銷釘?shù)淖鴺?biāo)可以表示為

其中ψ具有明顯的物理含義，它是兩個轉(zhuǎn)子連心線與x軸之間的夾角．

引入上述約束條件，并記在固定坐標(biāo)系下系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為 q=(x1，y1，x2，y2，x4，y4，x5，y5，x6，y6，ψ)，得到系統(tǒng)的動能和勢能表達(dá)式為

系統(tǒng)的廣義力即除了有勢力外的主動力為Q=(Fjx，F(xiàn)jy)，j=1，3，4，6．進(jìn)而由第 2 類 Lagrange方程可得到系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為

其中參數(shù)

Fjx，F(xiàn)jy(j=1，3，4，6)分別為作用于轉(zhuǎn)子 1 和轉(zhuǎn)子 2上的4個軸承非線性油膜力在x和y方向上的分量;a為圓盤的質(zhì)量偏心距;β為兩圓盤偏心距間初始夾角;Ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速;δ為平行不對中量．根據(jù)文獻(xiàn)［13］所述油膜力表達(dá)式，采用短軸承假設(shè)，當(dāng)相鄰轉(zhuǎn)子間具有的平行不對中量δ時(shí)，其油膜力分量可表示為

1．3 無量綱運(yùn)動方程

為使所研究的內(nèi)容具有更廣泛的適用性，利用滑動軸承的特征尺寸－軸承的間隙c，軸頸集中質(zhì)量m，時(shí)間t，將方程(7)～(17)進(jìn)行無量綱化，為此引入無量綱量

并記dx/dt=x，dx/dτ=x'，…，則無量綱后的運(yùn)動方程為

其中ω、n、α分別表示為無量綱轉(zhuǎn)速、質(zhì)量比和質(zhì)量偏心率，K和Kb分別為無量綱轉(zhuǎn)軸剛度和銷釘剛度，Δ為無量綱不對中量，fjx、fjy分別是x和y方向的無量綱軸承油膜力分量

2 非線性動力學(xué)分析

由以上分析可知，方程(19)～(29)是一個具有強(qiáng)非線性特征的11自由度非自治系統(tǒng)，方程中含有非線性油膜力及sinψ、cosψ這樣的非線性函數(shù)，因此得到方程的解析解或近似解是十分困難的．為了研究其動力學(xué)特性，比較可行的是采用數(shù)值方法求解．取 σ =3．0，α =0．05，并令兩圓盤偏心距間初始夾角β=0，無量綱轉(zhuǎn)軸剛度K=20．0，銷釘剛度 Kb=15．0，圓盤質(zhì)量 n=10．0，其中 Δ =0．1表示不對中量為軸承間隙的十分之一，即為微小不對中量情況．使用穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、軸心軌跡、Poincaré截面和最大Lyapunov指數(shù)為判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法．

圖3為采用4－5階變步長Runge－Kutta法，經(jīng)過充分衰減后求得的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨無量綱轉(zhuǎn)速變化的分叉圖．從圖中可以看出，在較低轉(zhuǎn)速時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行較為穩(wěn)定，做周期1運(yùn)動，此時(shí)轉(zhuǎn)子不平衡力對系統(tǒng)的作用處于主導(dǎo)地位．隨著轉(zhuǎn)速的提高，轉(zhuǎn)子的振幅逐漸增大并呈現(xiàn)出倍周期以及準(zhǔn)周期分叉現(xiàn)象．當(dāng)無量綱轉(zhuǎn)速ω≈4．11時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動，此時(shí)轉(zhuǎn)子振幅迅速變大．

圖3 不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化分叉圖ω =1．0→5．0，Δ =0．1Fig．3 Bifurcation diagrams of the steady－state response with the parameter ω =1．0→5．0 when Δ =0．1

圖4(a)為ω=1．50時(shí)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)及相應(yīng)的頻譜圖、軸心軌跡圖及其Poincaré截面圖，由圖中可見其軸心軌跡在某些位置曲率變化較大，時(shí)域內(nèi)表現(xiàn)為拍振，頻譜圖中在 f/2，f，3f/2，2f，3f等處有離散譜峰，倍頻成分明顯．通過計(jì)算該轉(zhuǎn)速下的最大Lyapunov指數(shù)為－0．06895，表明在該轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)呈現(xiàn)周期2特性．

圖4(b)為ω=4．50時(shí)結(jié)合多種方法判斷系統(tǒng)的運(yùn)動情況．從圖中能夠看出系統(tǒng)響應(yīng)中有諧波分量產(chǎn)生，并形成連續(xù)譜成分，其中某些低頻成分較大．另外，Poincaré截面呈現(xiàn)出具有自相似結(jié)構(gòu)的奇怪吸引子，在該轉(zhuǎn)速下的最大Lyapunov指數(shù)為0．03669，由此可以判斷系統(tǒng)在該轉(zhuǎn)速下已經(jīng)進(jìn)入混沌．

圖4 不同轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位移響應(yīng)、位移響應(yīng)頻譜圖、軸心軌跡圖和Poincaré截面圖Fig．4 Time and frequency spectrum diagram，orbits，Poincaré maps of the rotor system for different Ω

圖5 不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨聯(lián)軸器銷釘剛度變化分叉圖Kb=3．0→18．0，Δ =0．1Fig．5 Bifurcation diagrams of the steady－state response with the parameter Kb=3．0→18．0 when Δ =0．1

下面主要討論聯(lián)軸器的連接剛度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響情況．圖5為當(dāng)轉(zhuǎn)速ω=2．0時(shí)，不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨銷釘剛度變化的分叉圖．從圖5可以看出，當(dāng)轉(zhuǎn)子的連接剛度較小時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)為混沌振蕩，其振幅較大;隨著銷釘剛度的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期2，周期3等倍周期分叉現(xiàn)象以及混沌運(yùn)動的復(fù)雜非線性動力學(xué)行為，其頻域上低頻諧波分量較為明顯;當(dāng)轉(zhuǎn)子間的連接剛度較大時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)歷逆倍周期分叉而表現(xiàn)為周期1運(yùn)動，同時(shí)在該參數(shù)下系統(tǒng)的振幅也較之前明顯減?。?/p>

3 結(jié)論

主要研究了在滑動軸承支承下不對中聯(lián)軸器－柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為．考慮到聯(lián)軸器的連接剛度以及兩轉(zhuǎn)子間運(yùn)動的幾何關(guān)系和位移約束條件，推導(dǎo)了在非線性油膜力作用下具有平行不對中的多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型．然后采用數(shù)值方法，重點(diǎn)分析了在不同轉(zhuǎn)速和連接剛度下系統(tǒng)的非線性振動特征．主要結(jié)論如下:

(1)在低轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)以周期運(yùn)動為主，頻譜中除存在與不平衡故障同步的工頻外，還存在由于不對中引起的倍頻振動分量，這正是轉(zhuǎn)子不對中故障所具有的典型特征．

(2)隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的提高，系統(tǒng)發(fā)生了一系列分叉現(xiàn)象，出現(xiàn)2倍周期、準(zhǔn)周期等．并且在較高轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)逐漸過渡到混沌狀態(tài)，同時(shí)振幅也隨之增大．

(3)聯(lián)軸器銷釘剛度使影響系統(tǒng)動力學(xué)行為的重要因素．在一定轉(zhuǎn)速下，較小的銷釘剛度使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)出十分復(fù)雜的振動現(xiàn)象，多次出現(xiàn)倍周期分叉和混沌等．

1 劉占生，趙廣，龍鑫．轉(zhuǎn)子系統(tǒng)聯(lián)軸器不對中研究綜述．汽輪機(jī)技術(shù)，2007，49(5):321～325(Liu Z S，Zhao G，Long X．Survey of the research on coupling with misalignment of rotary machinery．Turbine Technology，2007，49(5):321 ～325(in Chinese))

2 Sekhar A S，Prabhu B S．Effects of coupling misalignment on vibration of rotating machinery．Journal of Sound and Vibration，1995，185(4):555～671

3 Al－Hussain K M，Redmond I．Dynamic response of two rotors connected by rigid mechanical coupling with parallel misalignment．Journal of Sound and Vibration，2002，249:483 ～498

4 Lees A W．Misalignment in rigidly coupled rotors．Journal of Sound and Vibration，2007，305(1):261 ～271

5 李明，李自剛，張瑩博．具有平行不對中故障的非對稱柔性發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)研究．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2012，32(5):111～118(Li M，Li Z G，Zhang Y B．Non－linear dynamics of unsymmetrical generator rotor systems with parallel misalignment．Proceedings of the CSEE，2012，32(5):111～118．(in Chinese))

6 李自剛，李明．具有軸承不對中故障的柔性非圓截面多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為．振動工程學(xué)報(bào)，2012，25(1):68 ～73(Li Z G，Li M．Non－linear dynamics of flexible multi－rotor system with a misaligned journal bearing and non－circular cross section of shaft．Journal of Vibration Engineering，2012，25(1):68 ～73(in Chinese))

7 Paolo P，Andrea V，Steven C．Nonlinear effects caused by coupling misalignment in rotors equipped with journal bearings．Mechanical Systems and Signal Processing，2012，30:306～322

8 Li M．Nonlinear dynamics of a rotor system subject to a holonomic constraint of parallel misalignment．Proceedings of the2nd International Conference on Dynamics．Vibration and Control，2007，222 ～226

9 李明，阿梅．具有軸承不對中的多跨柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)研究．動力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011，9(4):309～313(Li M，A M．Nonlinear dynamics of flexible multi－rotor－system supported on misaligned journal bearing．Journal of Dynamic and Control，2011，9(4):309 ～313(in Chinese))

10 趙廣，劉占生，陳鋒等．轉(zhuǎn)子－聯(lián)軸器－軸承－隔振器系統(tǒng)不對中及鎖頻故障試驗(yàn)研究．動力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2009，7(2):171 ～176(Zhao G，Liu Z S，Chen F，et al．Experiment research on misalignment and frequency－locking trouble ofrotor－coupling－bearing－isolatorsystem．Journal of Dynamic and Control，2009，7(2):171 ～ 176(in Chinese))

11 Li M，He L．The dynamics of a parallel－misaligned and unbalanced rotor system under the action of non－linear oil film forces．Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part C:Journal of Mechanical Engineering Science，2010，224(C9):1875 ～1889

12 Li Z G，Li M．Non－linear dynamics of a flexible multi－rotor bearing system with a fault of parallel misalignment．Applied Mechanics and Materials，2012，138 －139:104 ～110

13 鐘一諤，何衍宗，王正等．轉(zhuǎn)子動力學(xué)．北京:清華大學(xué)出版社，1987(Zhong Y E，He Y Z，Wang Z，et．a(chǎn)l．Rotor dynamics． Beijing:Tsinghua University Press，1987(in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11072190，11172223)

? Corresponding author E－mail:lzghsfy@hotmail．com

NONLINEAR DYNAMICS OF A FLEXIBLE ROTOR SYSTEM COUPLED BY A MISALIGNED COUPLING*

Li Zigang1?Li Ming2Jiang Jun1
(1．State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures，Xi'an Jiaotong University，Xi'an710049，China)(2．Department of Mechanics，Xi'an University of Science and Technology，Xi'an710054，China)

The dynamic behaviors of a flexible multi－rotor system supported on journal bearing with a misaligned coupling were investigated．Firstly，the dynamic model of a rotor system under the action of the nonlinear oil film forces was developed after taking into account the movement relationships and displacement constraint，which describes the misalignment relation between two rotors，and the theoretical analysis reveals that the system with eleven DOF is of strong nonlinear properties and time－varying parameter．Then，the nonlinear dynamic characteristics，such as steady state response，rotor orbit，Poincaré section and the largest Lyapunov exponent，were studied．The results show that，at low speed，the orbit synchronously oscillates within a small zone;as the speed increases，the dynamic characteristics become complicated，and the period doubling，quasi－period and chaotic oscillations occur．Finally，the effects of the bolt stiffness on dynamic behaviors were also discussed．

rotor misalignment， coupling stiffness， constraint relationship， nonlinear oil film force

30 May 2013，

8 June 2013．

10．6052/1672－6553－2013－073

2013－05－30 收到第 1 稿，2013－06－08 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072190，11172223)

E－mail:lzghsfy@hotmail．com